Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 41
Текст из файла (страница 41)
озФО, азчеб. Исключим с помощью (29) иэ выражений (22) коэффициенты Ьы. Тогда получим метод "с=1(С,. У,). Уз=1(С,+озт. У,+озтйс). т(йз — Ьс) ! Уз=1[(ум+о,т. ул+и, Ь,+ б.. )' (30) Улсс Ул = ысйс + озйз+ ызэз, 'т ос = 1 — о, — о„ А. А. Сзмзрслца, А. В. Гуззц Приравнивая нулю коэффициенты при тС, 1=0, 1, 2, получаем условия треть- его порядка аппроксимации: о, + от+ оз — — 1, осаз+ азаз = озЬзс+ оз (Ьм + Ьзз) = О 5 з з 3 1 о,аз+ о,а, = оз~эм+ озаз (Ьм + Ьзз) = озЬ„+ оз (Ьзс+ Ьзс)' = 3 ' который имеет третий порядок аппроксимации при условиих азаз+ азиз=.—, аза,+аза,'= —, азчьО, азн' О. 2' з 3' Таким образом, в обзпем случае существует двухпараметрическое семейство трехэтапных методов Рунге — Кутта, имеющих третий порядок аппроксимации.
Задавая аз и а, в качестве свободных параметров, получим нэ (31) 1 1 1 1 — аз —— из 2 3 3 2 аз= аз= (32) а, (аз — аД (аз аз) Кроме того, система (31) имеет два однопараметрических семейства решений, определяемых условиями 2 3 аз аз аз+аз= азт О (33) 3 4 2 3 а, = —, аз = О. аа = —, аз+ 0 любое. (34) 3' 4' Например, полагая аз= —, аз=1, получим из (30), (32) следующий метод 2' третьего порядка аппроксимации: /( л' у«)' з /'('л+ 2 ' ул+ 2 ~) Ьз = / (Гл+ т, ул тйд+ Зтйз). (35) = — (Ьз+ 4Ьз+ Ьз).
т 6 4. Методы четвертого порядка точности. Рассмотрим теперь четырехэтапиый метод уз=/(/л у,). Ьз=/((л+азт.ул+Ьмтйз) Ьз = / (/л+ азт уз + Ьззтйз+ Ьмтйз) (36) Ьз = / (/л + азт ул + Ьззтйз + Ьззтйз + Ьатйз), у, ю у +т(аА+азйз+азйз+ пей ). Погрешность аппроксимации метода (36) равна по определению илез ил ф„= — + азйз+ пзйз+ азйэ + аайз (37) где функции йь 1 1, 2, 3, 4, получаются иэ (36) путем аамеим у на точное ре.
шеи не и „= и (1„) . Чтобы построить схемы четвертого порядка аппроксимации, необходимо разложить функции, входящие в (37), по формуле Тейлора до величин третьего порядка по т включительно и приравнять нулю коэффициенты при степенях т", п=О, 1, 2, 3. Необходимо при этом учесть соотношения (28) и аналогичное выражение для и'". Опуская выкладки, приведем систему уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты метода (36) для того, чтобы данный метод 226 имел четвертый порядок аппроксимации: ог+ оа+ оз+ о4 =.
1 (38) Ьп = ~, Ьзг + Ьзз = а„ Ь44 + Ьзз + Ьзз а41 1 озаз+ о»аз+ о4аз = —, 2 оза +о,аз+ о»а = —, з з з 3 (39) оза, + оза, + озазз =— з з 4 1 (озэзз + о,Ь44 а, + о»Ьмаз — — —, 6 (озЬзз+ о»Ьы) а + о,Ь,»а = —, з 1 з !2 (40) 1 озЬзза,аз + о4Ь»заза» + о»Ь»зазаз = — , 8 1 о»Ь»зйззаз = (41) Заметим сразу же, что азФО, о»чьО согласно (41). Предположим, что 6ФО.
Случай 6=0 будет рассмотрен позже. При 6ФО система (39) имеет следующее решение: ба,а4 — 4аз — 4а, + 3 оа = 4 12аз (аз — аз) (а, — аз) баз໠— 4аз — 4аз+ 3 аз=в 12аз(а — з) (аз — а ) ' 6~аз — 4аз — 4аз+ 3 Оз = 12аз (аз — аз) (аз — аз) * Точно так же, решая систему (40), получим 4аз — 3 озйзз = 24аз (аз — аз) 2 (1 — 2аз) (а4 — аз) — (3 — 4аз) (аз — аз) о»Ь»з (43) (44) (45) (46) (47) 24 (аз — аз) (аз — аз) аз 2аз о4Ь44 12 (аз — аз) аз (48) 8» 227 Система (38) — (41) состоит из одиннадцати уравнений и содержит тринадцать неизвестных. Выберем в качестве независимых параметров неизвестные аз и аз и выразим остальные величины через эти неизвестнме.
Лля этого сначала разрешим группу уравнений (39) относительно переменных оь оз, о» Определитель 6 втой системы 6=а,о,а,(аз — аз) (аз — аз) (а4 — а,). (42) Это означает, что мы не рассматриваем значения параметров аз, аз, а», удовлетворяющие хотя бы одноиу иэ условий аз=О, аз О, а,=О, аз аз, аз=аз, аз=а». Учтем теперь соотношение (41). Прежде всего заметим, что озчьО.
Действительно, при о,=О из (44) и (46) получаем 3 аз- —, а,= О. 4 но в силу (41) имеем азФО. Таким образом, уравнение (41) эквивалентно уран. нению (озЬзз) (о4544) аз 2аз — 1 аз = 1, оз— 12аз (а, — аз) (! — аз) 2аз — 1 аз=в 12а, '(аз — аз) (! — а,) багге — 4аз — 4аз + 3 о— !2 (1 — аз) (! — аз) 4а',— аз — 5аз+ 2 44 24озаз (аз — аз) ( ! — аз) ! — 2аз 4З— ! 2озаз (аа — аз) Ьо — 1 Ьш Ь44 Ьзз — — аз — Ьз, Ь = Ь о, = 1 — оз — оз — о,. Здесь, как уже отмечалось, озФО, озчьО, т. е.
азчь0,5, база,— 4а,— 4аз+Зчь0. Приведенйое выше решение справедливо при ЬФО, т. е. йогда параметры аз, ам аз удовлетворяют условиям азчьО, 1=2, 3, 4, азчьаз азчьаь азчьаз. Рассмотрим систему (38) — (41) прн тел вначевиях параметров аг, аз, аз, когда 6=0. При аз — — 0 система не имеет решения вследствие (41).
При аз =О система (40) принимает вид 1 1 (озбм+ озЬ44) а, = —, [озззз+ о,Ь„) о 6 12 ' 1 озазазбзз = — , 8 (49) ! откуда следует, что а,= — н 2 1 озЬзз+ озбзз =— 3 (50) 228 Подставляя сюда выражения для озЬзь озбеь оз нв (44), (46), (48) н приводя подобные члены, получим уравнение аз(1 — а4) =О, из которого следует, что аз=1. Таким образом, при бчьО система (38) — (41) имеет следуюшее двухпараметрическое семейство решений 1 Далее, система (39) при аз = —, а,=б принимает вид 2 4 оз+ 2о4аз = 1, оз+ 4о,а, = —, 3 ' оз+ 8оваз = 2 н имеет единственное решение 2 1 а=1, о=— 4 в ° В в ° 4— о = —.
3 6 1 Подставляя зти значения а,, оз, ов и аз = — в уравнения (49), (50), получаем 2 1 ! 2оз 3 Ь„= —, 2' Кроме тово, нэ (4!) имеем Ьвз = без 1 1 1 Ь41 — бов ь31 — Ь31 2 ' 12оз 2 Точно так же прн условии аз а, система (38) — (4!) имеет решение 1 ов=оз=, п4=1, 2 ' 1 о = — — о 1 — 3 6 2 1 ОВ= — — Ов Оз= —, 3 6 ! Ьзв Ьвз ! 303 без 1 1 Ь„=О, Ь„= — — —, 2 без зависящее от параметра озФО. При аз=аз имеем решение Ьвз = Зоз ! а =— 1 в б ! Ь и— 2 ' 2 оз— 3 1 аз=аз= 1, аз= —, 2 ' 1 Ь. =- —— 41 " боз 1 3 Ь41 = ! Ьзв = б ' В 1 ОВ = — — Ов, б 1 Ь 43 в ЗО4 1 Ьщ=— в Ь1,=1, 1 О1 =- —, 6 зависящее от параметра овФО.
229 1 Ь = без. 24овЬзизз Таким образом, система (38) имеет следующее семейство решений, аависв- щее от параметра озФО1 1 а,= —, аз=о, а,=1, 2 2 1 ОВ= —, Оз= —, 3' 6' 1 3 Ь = —, Ь 31 !2 41 з Определитель б обращается в нуль еше в двух случаях: при а,=о и аз=а,. Оказывается, что в этих случаях система (38) — (41) пе имеет решения. Пусть, например, а,=о. Тогда из первых двух уравнений системы (39) получим За,— 2 2 — За, аз = аз= ба,(аз — аз) ' баз(аз — аз) При этом последнее уравнение системы (39) приводит к условию батат — 4аз — 4аз+3 = О. (51) Аналогична находим, что система (40), (41) разрешима относительно Ьзь Ьеь Ьзз только при условии базаз — баз — 4 аз+ 3 = О. (52) Из (51), (52) находим аз=о, что невозможно в силу (41).
Точно тзк же доказывается, что ие существует решений с аз — — аь 9 3. Многошаговые разностные методы 1. Формулировка методов. Для решения задачи Коши — =)(1, и), С>0, и(0) =из з(1 введем сетку ш,=((„=нт, о=0, 1,...) с постоянным шагом т)0. Обозначим через у„=у(1„), =1(1„у„) функции, определенные на сетке ш,. Линейным т-шого- возм разностныи методом называется система разностных урав- нений — Ьз1з+Ьз~~-т+ +Ь~~~~ (2) н=нз, и+1,..., где а„, Ь, — числовые коэффициенты, не зависящие от н, Ь=О, 1, ... ..., т, причем а,~0.
Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение у„=у(1 ) через найденные ранее значения у. „у —., > У вЂ” . Расчет начинается с п=т, т. е. с уравнения + '+ + — Ь'1 +Ь( + ... +Ь~~. Отсюда видно, что для начала расчета необходимо задать пт начальных значений у„у„..., у„,.
Значение у, определяется исходной задачей (1), а именно полагают у,=и,. Величины у„у„... ..., у, можно вычислить, например, с помощью метода Рупге— Кутта. В дальнейшем будем предполагать, что начальные значения у„у„..., у, заданы. Из уравнения (2) видно, что в отличие от методов Рунге— Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисление правых частей только в точках основной сетки ш,. 230 Метод (2) называется явным, если Ь,=О, и, следовательно, искомое значение у„выражается явным образом через предыдущие значения у„„у, „..., у„„.
В противном случае (т. е. когда Ь,ть ~О) метод называется неявным. Тогда для нахождения у„приходится решать нелинейное уравнение — дл — Ь,|(1„, д„) =Р(у„„у„„..., д„1, вл где 1л а Р~да и Ул-ие "., Ул 4=,'~', ~Ьл~л-э — — 'Ул л) Обычно это уравнение решают методом Ньютона, выбирая начальное приближение у<л> равным у„,. Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены с точностью до множителя. Чтобы устранить этот произвол, будем считать, что выполнено условие ~ Ь,=1, л л означающее, что правая часть разностного уравнения (2) аппроксимирует правую часть дифференциального уравнения (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
