Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В дальнейшем будет получена оценка решения сч уравнения (3) через я„ во ..., г„, и зрь 1=0, 1, ..., и — т, из которой будет следовать сходимость метода (2). Предварительно нам потребуются некоторые сведения из теории разностных уравнений. 2. Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения. Рассмотрим разностное уравнение а,о„+а,о„,+...+а„о„=О, и=т, т+1, ..., (8) коэффициенты которого а„а„..., а„не зависят от и. Будем искать частные решения уравнения (8), имеющие вид о„= д", где д — число, подлежащее определению. Подставляя о„„=д"-", А=О, 1,..., т, в (8) и сокращая на д" ", получим уравнение аед"+а,д"-'+....+а,д+а„=О, (О) которое называется характеристическим уравнением, соответствующим разностному уравнению (8).
Многочлен Г(д) =а,д"+а,д"-'+... +а,д+а„ (10) называется характеристическим многочленом разностного уравнения (8). Таким образом, разностное уравнение (8) имеет решение д" тогда и только тогда, когда д является корнем характеристического уравнения (10). Более того, если корень д имеет кратность г) )1, то разностное уравнение (8) имеет частные решения о„=и'д", 1'= О, 1,..., г — 1. Докажем последнее утверждеяие.
Подставляя о„«=(я — И)гд™ в (8) н сокращая на Ч"- , получаем уравнение 1~~ а«д~ (и — й)! = О, «=з которое при 1=0 совпадает с характеристическим уравнением (9). Представим многочлен ж р~ о«д" «(л — й) (12) «=з в виде линейной комбинации характеристического многочлена (10) и его производных гто(д), 1=1, 2, ..., / — 1. Для этого воспользуемся сначала разложением по формуле бинома Ньютона, 1 (и — «)! = [(и — т)+(зз — «)1' = ~~Р, С~1(п — лз)~(т — А)! г, з=е 238 где С! /(! 1) ° (! !+ П э , С,' =!. Тогда получим П ФВ ! Я а» (л — »)!Ч~~ = Я С!! (и — ш) Р! ! (Ч).
»=о 1=» (13) где г!-1(Ч) Х (ш») о»Ч !=О 1' "' ' ! ° »~ (14) причем Ре(Ч) ~р(Ч). Лалее, обозначим з=ш — й, /! ~(а) =а!-' и запишем многочлен Р! ~(Ч) в виде ~!-! (Ч) .Я /!-! (з) л»Ч ь=э где /г-~(ге, ..., ш) — разделенная разность !-го порядка функции а1-', построенная по узлам а~ и, а=О, 1, ..., !. При !(/ имеем / ~(гэ) =л! ! =0 и ! ! /! !(г) =,'3/! ю(ам ", а!)(а — аэ)" (* — з1,). !чы Подставляя сюда а гл — й, получим при 1(/ ~!-! (ш й)! ! =*/,~~/!-! (ае "., а!) (т — й) (т — й — 1) ... (т — » — (! — 1)), гео Итак, щ !-! Г! '(Ч):= Х а»Ч"~ Х б! ! (и — Ф) (ш-й — !) " (лв — А- (! — 1)), !=О, 1, ...,/ — 1, (15) где обозначено А,г-~=/1-~(аь аь ° " а~).
С другой стороны, для производных гто(Ч) миогочлена (10) имеем м Ч!г40 (Ч) ~)~ (гл — й) (щ — й — '1) ... (ш — Гг — (! — 1)) а»Ч'" ", »=з (16) !=1,2,...,ль Сопоставляя (15) и (16), получям ! г р! (Ч) -,'Я б! ! .Ч!р(0 (Ч), ! = О, 1, ..., / — 1. !» 239 Интерполируем функцию /! ~(а) алгебраическим многочленом степени ! — 1 по узлам г~=!, !=О, 1, ..., ! — !. В данном случае погрешность интерполяции тождественно равна нулю, так как /! ~(а) =а!-' — многочлен степени ! — !. Поэтому согласно ивтерполяциоиной формуле Ньютона имеем !-! /! ! (а) = /!-! (аз) + ,Я~ /! ! (аа ам " а!) (а — ае) ... (з — а! э), !ьп Поэтому тождество (13) можно переписать в виде «1 /-1 /-/ Я о«(л — «)/д«" «=(л — т)/Р(д)+ Я С/(л — и) Я о//,у/г1/1 (д) = / 7/-/ =(и — ш)/Р(д)+ У~,О/уи/1(д) Я С)п/ .
/(л — гл) /гм /=е Итак, получено следующее представление многочлена (12) в виде линейной комбинации характеристического многочлена Р(д) и его производных: /И / а«9~ «(л — /г)/ = (л — и)/ Р (о) + ~' Ь,е~г/О (о), (17) «=о /=х /-/ где ь/ -— р с,(л — ш)ч/с / ь а с/с /-/ — разделенная разность функцяи х/-', покч .Ез / /=о строенная по узлам хэ — — О, х,=1, ..., х<=Ь Если д — корень кратности г характеристического уравнения (9), то Р(о) -О,..., Го-о(д) =О и правая часть уравнения (17) обращается в нуль при /= 1, 1=2, ..., )=с †. Следовательно, функция о, и//«, ..., и'-'г/« являются решениями разностного уравнения (3). 3.
Однородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами. Устойчивость по начальным данным. Задача Коши для уравнения (8) состоит в отыскании сеточной функции о„, удовлетворяющей при всех и)/и уравнению (8) и принимающей прн п= =О, 1, ..., /и — 1 заданные начальные значения о„о„..., о„,. В дальнейшем будем считать, что а,ФО. Тогда уравнение (8) можно разрешить относительно о„: пы пы„о, О« = — — Ол-м Ол-«тн — ... — — Ол-ы по ое оо Отсюда следует, что при а,чьО решение задачи Коши существует и единственно. Говорят, что уравнение (8) устойчиво по начальным данным, если существует постоянная М„не зависящая от и и такая, что при любых начальных данных о„о„..., о„, для его решения выполняется оценка (18) (о„~ (Мх шах )о/~, и =/и, /и+ 1, Оа/~и~-г Тем самым устойчивость означает равномерную по и ограниченность решения задачи Коши, Оказывается, что устойчивость или неустойчивость уравнения (8) по начальным данным целиком определяется расположением корней характеристического уравнения (9).
Будем говорить, что выполнено условие корней, если все корни г)о ..., о' характеристического уравнения (9) лежат внутри или 240 Оп пи-1 Ол-лыь Ол-1 Ол-ь ат ол — ол-т ао а я-1 а, Оп-а н ° ° ° Ол-1 ао ао и представим эту систему в векторной форме $/„=5)г„„п=т, и+1,..., (19) Гдс У'и= (О „ Ол- +о,..., Ол), о 1 о о о о о о а ат-1 а,л-о а, (20) ао ао ао ао Начальный вектор т',= (о„о„..., о„,)' задан.
Нетрудно проверить, что множество собственных чисел матрицы 5 совпадает с множеством корней характеристического уравнения (9). Л е м м а 1. Если выполнено условие корней, то существует норма ~1.1~. вектора такая, что для подчиненной нормы матрицы 5 справедливо неравенство 11Я. (1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что данная лемма уточняет лемму ! из $3 гл.
2, поэтому их доказательства похожи (см. 12, с. 338) ). С помощью преобразования подобия 3 = а5д-' (21) 241 на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней. Справедлива Теорема 1. Условие корней необходимо и достаточно для устойчивости уравнения (8) по начальным данным. Доказательство.
Докажем сначала необходимость. Пусть уравнение (8) имеет корень д, для которого ~ д~ ) 1. Задавая в качестве начальных данных функции оо=д', 1=0, 1, ..., т — 1, получим решение о„=о", п)т, неограниченно возрастающее прн п-о.аа. Для такого решения невозможна оценка вида (18) с константой М„ не зависящей от и. Следовательно, условие 1д,~ ( 1, я=1, 2, ..., по, необходимо для устойчивости.
Пусть уравнение (9) имеет корень д кратности т)1, для которого 1д! =1. Тогда разностное уравнение (8) имеет решение и'-'о", растущее при п-о.ао как и'-', и, следовательно, в этом случае оценка (18) также невозможна. Прежде чем переходить к доказательству достаточности условий теоремы 1, необходимо провести некоторые вспомогательные построения. Запишем (8) в виде эквивалентной системы уравнений приведем 5 к модифицированной жордановой форме 5.
О 51 О 5, где 5„— либо число, либо жорданова клетка 0 54= е 0 ч, 4),— собственное число матрицы 5, е)Π— любое число. Оценим норму !!5 !~ = шах 'Я ! зп ! = шах (! зп ! + ! зп+1 !). 1~1~63 1а1<Л1 !' 1 Здесь з1, совпадает с одним из корней характеристического уравнения, а внедиагональный элемент ! 0 в случае простого корня зп, ЗПМ1 = ~ а в случае кратного корня зп. Если з,,+,— — 0 для некоторого 1, то по условию леммы )з1,! «1. Если же з111,—— а, то з1,— кратный корень, и согласно условию корней выполняется строгое неравенство !з„!(1. Но тогда при достаточно малом е имеем )зп!+!зп !<1. Таким образом, выбирая е достаточно малым, получим !!5!!~« «1. Введем норму вектора !!р!! =!!()у!!ь, (22) где Я определено согласно (21).
Тогда получим !!5!!.=!!5!!с«1. Лемма 1 доказана. Завершим теперь доказательство теоремы 1. Покажем, что условие корней достаточно для устойчивости уравнения (8) по начальным данным. Из уравнения (19), учитывая лемму 1, получим неравенство !! Ъ'.!!. «!!й.!У. 1!!*«!! У.,!!., и,следовательно, !!$~„!!.«!!У„,!!., п=т, и+1, По определению (22) нормы !! !!. имеем !!И!.=И)г!! «И!! !!И! .
(23) 242 С другой стороны, для любой невырожденной матрицы ог справедливо тождество У=ог 'огУ, из которого следует оценка !!У!1,<И-'11ьКУ!1,=!!Я-'!1,!1 У!1.. Таким образом, если норма !! !!. определена равенством (22), то выполняются оценки (!% '11 ) Ю.!!<1!У!! <!!(г!1.!!У!1 (24) Из (23) и (24) получаем !1У 1!»<МД У -!!!с (25) где М,=Щ '!!о!!ог!!о. Заметим, что константа М, не зависит от п. Из (25) следует неравенство )е»!<М, и!ах !ог1, (26) ом!ам-! означающее устойчивость уравнения (8) по начальным данным.
Теорема 1 полностью доказана. 4. Оценка решения неоднородного уравнения. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного разностного уравнения аоу. + а,у„, +... + а„у„„= ту„„, (27) где п=т, т+1,..., величины у„у„..., у„, заданы, правая часть йм У=О, 1,... — заданная функция. Если а,ФО, то для каждой пра- вой части решение задачи Коши существует и единственно. Оно мо- жет быть найдено по рекуррентной формуле а!» а -! а, ту»- У» =- — — У»-м — — У»-!»м — — — У»-! + —, »о ао п=т, т+1, ..., (28) исходя из заданных начальных условий у„у„..., у, и известной правой части до.
В предыдущем пункте получена оценка решения однородного уравнения через начальные данные, означающая устойчивость по начальным данным. Получим теперь аналогичную оценку решения неоднородного уравнения (27) через начальные данные и правую часть. Основным результатом здесь будет доказательство того, что если однородное уравнение (8) устойчиво по начальным данньш, то для неоднородного уравнения (27) справедлива оценка !у,! <М, шах !Уг!+Мо,'Я т!Уо1, (29) оа/а!»-! о=о где М, и М, не зависят от и. Выполнение оценки (29) означает по определению устойчивость уравнения (27) по правой части. Таким образом, будет показано, 243 что из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
