Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При т=1 метод (23), (25) совпадает с неявным методом Эйлера. При т=2 и т=З получаем методы з 1 — у„— 2у,, + — у»~ = т~ (1„, у„), (26) 2 2 11 3 1 — у. — Зу.— + — у.—. — — у.—. = т~ (1., У.), 6 2 3 (27) (28) где ц=тХ. Ему соответствует характеристическое уравнение ) — — р) а — 2д+ — =О. 3 1 (29) 2 ) 2 Нам нужно найти множество точек 6 комплексной плоскости р=р,+1рь для которых оба корня дь,(1т) уравнения (29) не превосходят по модулю единицу.
Границей области О является множество таких точек и, для которых ~ д~ =1. Выразим из уравнения (29) параметр 11 через переменное д, т. е. запишем 3 1 р= — — 2д '+ 2 (ЗО) Отсюда видно, что если ~ д ~ =1, т. е. У=е-*', то 3; 1 и р = — — 2ееч+ — е'"~. 2 2 (31) При изменении аргумента ~р от О до 2и точка р описывает замкнутую кривую Г, симметричную относительно действительной оси 266 имеющие, соответственно, второй и третий порядок точности. При т=4 из (23), (25) получим схему (21).
Для практических расчетов используются аналогичные методы вплоть до десятого порядка точности. Важно отметить, что чисто неявные разностные методы обладают хорошими свойствами устойчивости, позволяющими использовать их для решения жестких систем уравнений. Рассмотрим более подробно метод второго порядка (26) и найдем область его устойчивости. Для модельного уравнения (4) метод (26) принимает вид з — У» — 2У»-г+ — у»» = ру», 2 2 (см.
Рис. 7). Для точек )й(д), расположенных снаружи от этой кривой, выполнено условие )д~ (1, поэтому область устойчивости 6 метода (28) представляет собой внешность кривой Г. Точки, расположенные внутри Г, составляют область неустойчивости. Обозначая х=соз ср, можно переписать (31) в виде )й = (1 — х) '+ (у1 — х'(2 — х), откуда следует, что вся кривая Г расположена в правой полу- плоскости. Поэтом область устойчи- У вости метода (26) целиком содержит левую полуплоскость и тем самым ме- 22 тод (26) является А-устойчивым. Исследуем аналогичным образом область устойчивости метода четверто- ~п го порядка (21).
Записывая характеристическое уравнение в виде Мйй(!. р = — (25 — 48!) '+Збт) ' — 1бт) и+Зт( ') !2 Рис. 7. Граница устойчивости метода (26) и полагая д=е-", находим уравнение границы, разделяющей области устойчивости и неустойчивости: )с = — — (1 — х)'(Зх+ 1) ~ 1 (бх' — 16х'+ 15х — 8), 3 3 где х=созср (см. рис.
8). В отличие от предыдущего примера, имеются точки границы, расположенные в левой полуплоскости. Поэтому метод (21) не является А-устойчивым. Найдем теперь значение а, у;, ру при котором метод (21) А(а)- н ~~,' Г,~~. устойчив. Для этого достаточно ,' © найти угол сс, который образует ,'''~' ф касательная т (см. рис.
8), проходящая через точку (О, 0), с д й' и Ро' отрицательным направлением ,.'б оси р,. ф . ~///// Обозначим уу ~у р,(х) = — — (1 — х)а(Зх+ 1), 2 3 (32) Рис. 3. Граница устойчивости мето- у †„и да (2!) р,(х)= (бха — ! бха+15х — 8). 3 Условие касания т с границей определяется следующим уравнением относительно параметра х: (33) Ь 6 ) и (х) 267 9 А. А.
Самарский, А. в. Гулки Из (32) получим ро (х) = 8х (1 — х)', — 8х4 + 1бхз — 4хз — 8х + 5 р,(х) = (34) Уравнение (33) после подстановки в него выражений для р„ )ь, и» Р, из (32), (34) и пРиведениЯ подобных членов сводитсЯ к лйнейному уравнению х — 0,2=0. При х=0,2 из (32) получим 45 9 24 699 Ро= Р1=— 3 ° 54 3 ° 54 так что 1йа= — = ))/6. Р» Ф б 699 1М 5!2 Поэтому метод (21) А(я)-устойчив, где м=агс1н)~бю68'. В заключение отметим, что подробное изложение численных методов решения жестких систем дифференциальных уравнений содержится в книгах (26, 37).
ЧАСТЪ |П РАЗНОСТНЪ|Е МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Здесь излагаются приближенные методы решения краевых задач для уравнений с частными производными. В основе этих методов лежит сведение дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений путем замены дифференциального оператора разностным. ГЛАВА ! вводнын понятия $1. Примеры разностных аппроксимаций Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались в $ 4 ч. 1. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом й, т.
е. множество точек ем=(х,=(й, 1=0, +.1, .+-2,,). Пусть и(х) — достаточно гладкая функция, заданная на отрезке ею+1 — и1 и1 — и; 1 (х, о х,+,]. Обозначим и,=и(х,), и„л=, и-,= хи и~+, — и;, и. = хи 26 Разностные отношения и„„и-., и. называются соответственно х,п правой, левой и центральной разностными производными функции и(х) в точке х;. Каждое из этих разностных отношений аппроксими- рует и'(х) в точке хь т. е. при фиксированном х; и прн й — ~0 (тем са- мым при 1-+-оо) пределом этих отношений является и'(х,). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим 脄— и' (х;) = 0,5йи" (х;) + О (й'), и„-, — и'(х!) = — 0,5йи" (хс) + О(йз), и. — и'(хс)=О(йз).
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные ап- проксимируют и'(х) с первым порядком по й, а центральная раз- ээ 299 ностная производная — со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная иха и„-Х иод — 2и;+ и;, ихх,( аппроксимирует и" (х;) со вторым порядком по Й, причем справедливо разложение и- — и" (хд = — и'и (х;) + 0 (а'). хх~ Ш Рассмотрим дифференциальное выражение Ли = — (й(х) — ) с переменным коэффициентом й(х). Заменим выражение (1) раз- ностным отношением и,.— и;, (2) а где а=а(х) — функция, определенная на сетке вх.
Найдем условия, которым должна удовлетворять функция а(х) для того, чтобы от- ношение (аих)ха аппроксимировало (яи')' в точке х, со вторым по- рядком по й. Подставляя в (2) разложения ихл =и; + — и~+ — и~ +0(йв), а их и- =и'.— — и~+ — и; + 0(йа), хп в где и = и'(х,), получим бахи= "' ' и,'+ "' ' й~+ '" ' ис+ОЯ.
а 2 6 С другой стороны, 1.и = (Аи') '= Фи" +А'и', т. е. ~ апа — а~ П, ~ а,, +а~ ~ли — Ьи (хс) = ~ — Ь) и + ~ — йс) и; + + "' ' и; + 0(Ь'). 6 Отсюда видно, что Е„и — Ьи=О(Ч), если выполнены условия ' =А'(х;)-(-0(й'), "" ' =1~+0(/Р). (3) Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция и(х) имеет непрерывную четвертую производную и Й(х) — диффе- 260 ренцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям (3) удо- влетворяют, например, следующие функции: а;=0,5(6(х1)+6(хг,)), а~=6(х; — 0,56), а;=)'6(х1)6(х~,). Заметим, что если положить а;=6(х,), то получим только первый порядок аппроксимации.
В $2 будет рассмотрен регулярный метод получения разностных аппроксимаций вида (2). В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа д'и деи 1и = —,+ —,. (4) дх, 'дх,' Введем на плоскости (х„х,) прямоугольную сетку с шагом 6, по направлению х, и с шагом 6, по направлению х„т. е. множество точек я» = ((хь хе) ~ х~ = 16ы хе =~6я', 1~ ~=0~ ~1, ~2, ...) (см. рис.
9), и обозначим и;; — 2ин+и; ихх„» ае 1 и; 1+ — 2ин + и, их,хе. Н Ье 2 Рнс. 9. Сетка ых н няткточеч- ныа шаблон Из предыдущих рассуждений следует, что разностное выраже- ние 261 Биип =их„,, + и„-„„. (5) аппроксимирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком, т. е. Б,ии — 1.и(х,', ха1)=О(6,')+О(6,').
Более того, для функций и(х„х,), обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение ае дх,' 12 дхее Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа, так как оно содержит значения функции и(х„х,) в пяти точках сетки, а именно в точках (х„хе), (х,' ', х,'), ! 1 д (х„х, ) (см. рис.
9). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек. 2 2. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом 1. Построение разностной схемы. Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и дополнительных (начальных, граничных) условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Типичными примерами являются: задача Дирнхле для уравнения Лапласа, задача Коши и смешанные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов.
Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи. Существуют различные способы построения разностных схем. В этом параграфе будет рассмотрен один из способов, носящий название интегро-интерполяционного метода (или метода баланса) построения разностных схем. В качестве примера рассмотрим применение интегро-интерполяционного метода к построению разностной схемы следующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: (й(х)и'(х))' — д(х) и(х)+1(х) =О, 0<х<1, (1) — й(0)и'(0)+ри(0) =и„и(1) =и„ (2) где я(х), д(х), 1(х) — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям й(х) )й.)0, о(х) )О, и ~)0, иь и,— заданные числа, При сформулированных предположениях существует и единственно решение и(х) задачи (1), (2).
Будем считать, что это решение является достаточно гладким. Уравнение (1) можно трактовать как уравнение установившегося распределения температуры и(х) в стержне длины 1, на одном конце которого (х=1) поддерживается заданная температура и„ а на другом (х=О) происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона (см. [41)). При этом й(х) — коэффициент теплопроводности, — й(х)и'(х) — тепловой поток, коэффициенты д(х), 1(х) характеризуют плотность тепловых источников.
Для построения разностной схемы введем прежде всего на отрезке [О, 1) равномерную сетку с шагом й, т. е. множество точек св =(х,.=(й,1=0, 1,..., )У йМ=1). Обозначим х, о,=х,-~-О,БЬ, в(х) =й(х)и'(х), пь,и=и~(х, „,) и проинтегрируем уравнение (1) на отрезке [х,,д, х,+,н). Тогда получим уравнение "ии ч+и зим — пь и — ~ о(х) и(х) йх+ ) 1(х) йх=О, (3) ю и которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке 2В2 (х~- ~«, хы г«) Далее, заменим интеграл х Г + у $ д (х) и (х) сХх х~м его приближенным значением и~ ~ а(х) Ых н введем обозначения х~ у «их~ хчм А = — ( а (х) Нх, <р; = — ( 7 (х) дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
