Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В данном случае разностная схема имеет вид а з л уи1 зу +эы1 1 а +Ф 1=1, 2, ..., М вЂ” 1„п=О, 1, ..., К вЂ” 1, ЙУ=1, Кт=Т, (6) ую=рт(1а), уй=рз(1п), п=О, 1, 2, ..., К, ус =и (х;), 1=0, 1, ..., У. Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных.
Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями у'; =и,(х~),1=0, 1,..., Ф. Если решение у";, 1=0, 1, ..., У, на слое и уже найдено, то решение у' " на слое и+ 1 находится по явной формуле у,""=у";+т(у-" .+~р,"), 1=1,2, ..., У вЂ” 1, (У) а значения у, ' = р, (1„,), уй = р, (1„+,) доопределяются из граничных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения уГ" при заданных у"; требуется решать систему уравнений. Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность г,*'=у," — и(хь 1„) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) — (3). Подставляя в (6) у"; =г,"+и(хь 1„), получим уравнение для погрешности еа! е г ° 2е ° + е! й-1 ! -1 т ь' 1=1, 2,..., й1 — 1, п=О, 1,..., К вЂ” 1, йй(=1, Кт=Т, (8) г,"=г„"=О, и=1, 2,, К, г~~=О, 1=0, 1,..., й1, где ~ре= — иел + и-"„, + Чч — погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на решении задачи (1) — (3), ф,".
=0(т+й'). Можно оценить решение г," уравнения (8) через правую часть !р,". и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по т и вторым — по й. Однако это исследование мы отложим до 9 3 гл. 3, а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постояннымн коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем.
Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии т(0,5п', означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым. Рассмотрим уравнение уам а уа 2 а+уа (9) ье Э т. е. однородное уравнение, соответствующее (6). Будем искать частные решения уравнения (9), имеющие вид уч( ) =даеиьч, (! 0) где! — мнимая единица, !у — любое действительное число и д — число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на е*'"', получим д — ! ее~а' — 2+ е ~ат т ье откуда найдем д = 1 — 4у з(п' —, у = — . .,му (1 1) 2 Ье Начальные условия у';(~р) =в*э', соответствующие решениям вида (10) (нх называют гармониками), ограничены.
Если для некоторого р множитель д станет по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при п-~со. В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же 1д) (1 для всех действительных ер, то все решения вида (10) ограничены при любом и и разностное уравнение (9) называется устойчивым.
В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении и. Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Для уравнения (9) неравенство ~д~ (1 выполняется согласно (1!) при всех ~р тогда и только тогда, когда Т(0,5. Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия т(0,5й'. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) условно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид т/й'(0,5.
Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, й=!0-'. Тогда шаг т не должен превосходить 0,5.10-', и для того чтобы вычислить решение у~ при 1=1, надо взять число шагов по времени л=т ')2 1О', т.
е. провести не менее 2 1О' вычислений по формулам (7). В следующем пункте будет показано, что многие неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми при любых шагах Ь и т. Такие схемы называются абсолютно устойчивыми. 3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (хь 1„), (х; „1„+,), (х„1„+,) (см. рис. 11, б) и имеющая вид ,л+1 ч,лм о аы ~ лн м~ у~ Эи1 ву~ +Е д + З (12) т — В лв 1=1,2,...,У вЂ” 1, н=0,1,...,К-1, у.""=р,(1.„), у"'"=р,(1.„), л=0,1, ..., К вЂ” 1, у7=и (хг), 1=0, 1, ..., М.
Здесь у™ =1(хь 1еы)+0(т+й'). Схема имеет первый порядок аппроксимации по т и второй — по й. Решение системы (12) нахо- дится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с н=1. Одна- ко теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения у " по известным у"; требуется решить систему уравнений уу,",", — (1 + 27) у,"" + уу,"'," = — Р,", 1= 1, 2,, М вЂ” 1, (13) уо = р1(1ан), ун = ре (1ны), где 7=т/Ь', Р; =-ус +т~ри Эту систему можно решать методом прогонки (см. п.
7 $4 ч. 1), так как условия устойчивости прогонки выполнены. Ята Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения л11 л и! — У. Л11 л П11 + Л11 "1 н / У1'-1 имеющие вид (10). Тогда получим .,ьр -' д=(1+4уз!п' — В), у = т 2) лл следовательно, !д~ (1 при любых 1р, т, й. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т. е.
устойчива при любых шагах т и й. Абсолютная устойчивость является основным преимуи(еством неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг т слишком малым, можно взять, например, т=п=10-'. Величина шагов сетки т, Й определяется теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости. Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема Л11 Л У; У! ! л11 л (Улл,1 + Улл,1) + 1'' (14) (15) 1=1,2,...,М вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, ул"=р1(Г.„), уйы=у,(1-.), п=0,1, ..., К вЂ” 1, УГ=и,(х1), с=О, 1, ..., !ч'. Прн о=О получим отсюда явную схему, при в=1 — чисто неявную схему и при о=0,5 — симметричную схему (14).
Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) — (3). Представим решение задачи (15) в виде у! = =и(хь1„)+ г!', где и(хь1„) — точное решение дифференциальной задачи (1) — (3). Тогда для погрешности получим систему 211 для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рис.
11, в. Предлагаем читателю самостоятельно доказать, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации как по й, так и по т (если только 1р," =1(х1,1„+0,5т)+0(тл+йл)), она абсолютно устойчива и ее можно решать методом прогонки. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр в и определим разностную схему Л11 Л ' = УКл+ (! — ) УКл + Р1, уравнений (16) и, перегруппировывая слагаемые, получим, что фр = (и" — и + ~р,") + (а — 0,5) тй + — и' т + О (т' + й').
12 Учитывая уравнение (1) и" — и= — / и следствие из него и'т — и"= = — /", окончательно можем записать, что В ф = ~(а — 0,5) т+ — 1й'+ ~р, — /(хь /„,и)— — — /" (хь /„и) + 0 (т + й'), (1Ь) !2 Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если 1 Ь~ й~ а = а, = — — —, ~р",. = / (хь 1„, „) + — /" (хь /„и) + О (т'+ й), иы и = аг„-„,. + (1 — а) г-„„, + фы 1=1,2,...,/!/ — 1, п=О, 1,...,К вЂ” 1, г"+'= г"+" =О, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, г'. =О, 1=0, 1, ..., й/.
Сеточная функция ф";, входящая в правую часть уравнения (16) и равная ф~ = аи-"„'„', + (1 — а) и„-"„, — иь; + ~р7, (17) называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) — (3). Получим первые члены разложения функции по степеням й и т. Будем разлагать все функции, входящие в выражение для ф"„по формуле Тейлора в точке (х„ /„+0,5т).
Учитывая разложения шх =и(хь 1„~,п)+0(т'), и-„„,. =и" (х~)+ + — и'~(х,)+0(й'), где и"=д'и/дх', п=ди/дт, 1„.,а,=1„+0,5т, получим ф = а(й(хь 1„„) + — и'ч(хь /,н.,)1+ (! — а) /и" (хь А„) + 12 + — и'ч (хь 1,)) — и (хь /„и) + ~р," + 0 (тг) + 0 (й9. Отсюда, проводя разложение в точке (хьг+,и) и обозначая и= =и(хь /„,п), будем иметь 2 12 / ( 2 !2 — й+ ~р", + 0(тт) + 0 (й~» то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по т и четвер- тый — по й. Такая схема называется схемой повышенного порядки 278 аппроксимации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
