Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Далее, каждой точке х~й соотносится одно и только одно уравнение вида (!), в котором у(х) — искомая сеточная функция. В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных.
Эту систему уравнений и будем называть разностной схемой. 294 Введем понятие связной сетки. Сетку й будем называть связной сеткой, если для любых двух ее узлов х„х,'таких, что по крайней мере один из узлов имеет непустую окрестность, существует такое множество узлов х,енй, 1=1, 2, ... ..., т, что х,епШ'(х,), х,епШ'(х,), ... ..., х енШ'(х,), хХШ'(х ), т. е. каждый последующий узел принадлежит окрестности предыдущего. Аналогичным образом определяется понятие связности любого подмножества из й.
Наглядный смысл требования связности состоит в том, чтобы от любого узла х,енй можно было перейти к любому другому узлу х,е=й, пользуясь только заданными шаблонами. На рис. 13 изображен пример сеточной области, не являющейся связ- Рыс.!3. Нссаызыая сетха ной (шаблон предполагается пятиточечным, таким, как при аппроксимации уравнения Пуассона). Определим сеточный оператор Ь формулами Еу(х) =А(х)у(х) —,~ ~В(х, $) у1в) (2) ЙБш'ив и обозначим В (х) = А (х) — ~ч", В (х, $).
(3) ~еш'(х> Тогда задачу (1) можно записать в виде (.у(х) =Р(х), хай. Заметим, что выражение Ьу(х) можно представить также в виде Ву(х)=В(х)у(х)+ ~ В(х, $) (у(х) — у($)). веш оа Будем говорить, что в точке хенй выполнены условия положительности коэффициентов, если А(х) >О, В(х, ~) >О для всех йепШ'(х), 0(х))О. (5) 2. Принцип максимума и его следствия. Сформулируем теперь основную теорему настоящего параграфа (см. (331). Наряду с сеткой й будем рассматривать какое-либо ее подмножество в и обозначим ш= () Ш(х).
Для наглядности читатель может представить себе, что й — это сетка, введенная в 3 1 прн аппроксимации уравнения Пуассона в прямоугольнике, а ш — множество ее внутренних узлов. Очевидно, 295 что при этом в=2. В общем же случае требуемые свойства множеств ьг и ы сформулированы в приведенной ниже теореме. Заметим, что в этой теореме функция у(х) не обязана являться решением задачи (4), используются только свойства оператора Е.. Теорема 1 (принцип максимума).
Пусть се~ко й и ее подмножество гв являются связными, причем ыс:-й. Пусть в ьэ выполнены условия положительности коэффициентов (5). Тогда, если функция у(х), заданная на ь), не является постоянной на в и Ьу(х) <О при всех кена (6) (либо Лу(х) )О при всех ханы), то у(х) не может принимать наибольшего положительного (соответственно наименьшего отрицательного) значения на в среди всех ее значений на ь. Доказательство.
Пусть выполнено условие (6). Будем доказывать теорему от противного. Допустим, что в точке х,енв функция у(х) принимает наибольшее положительное значение, т. е. у (х,) = шах у (х) О. КЕИ (7) В этой точке выражение 7у(хо) =0(хо)у(хо) + Х В(хо, ~)(у(хь) — у6)) (8) 1еш'ы,) неотрицательно. Действительно, согласно условиям (5) и предположению (7) имеем П(х,))0, у(х,))0, В(х0,$)>0 У(хо))У(ь) так что Ву(х,) )О. С другой стороны, из условия (6) следует, что Ьу(х,) <О.
Таким образом, если выполнено (7) в точке х,енв, то Ьу(х,) О. Но тогда, учитывая неотрицательность всех слагаемых правой части выражения (8), получим П(х,)у(х,) =О, В(х„й) (у(х,) — у(й)) =О, ЦедШ'(х,). Отсюда, в силу предположения у(х,) )О и условия В(х„Э))0 следует у(й)=у(х,) для всех йенШ'(х,). (9) Далее, поскольку у(х) чвсопз1 в ьэ, найдется точка х, ~е, в которой у(хь) (у(х,).
Из предположения о связности сетки ы вытекает существование системы узлов х„х„..., х„, принадлежа- щих гв и удовлетворяющих условиям х,енШ'(х,), х,енШ'(х,),..., х„яШ'(х„,), х,яШ'(х ). Из условия (7) и доказанного свойства (9) получаем у(х,)=у(х,). Следовательно, относительно точки х, можно повторить все пре- дыдущие рассуждения и доказать, что у($)=у(х,) для всех фенШ'(х,).
296 Аналогично докажем, что у(х,) =у(х,) =...=у(х„) =у(х,). Оценим величину Ьу (х ) = 0 (х ) у (х„,) + ~ В (х , $) (у (х ) — у ($)). ЕМШ'(коз Из условий (5), равенства у(х„) =у(х,) и предположения (7) по- лучаем строгое неравенство Еу(х ) >В(х, х,)(у(х) — у(х,)))0, которое противоречит условию (6). Таким образом, допущение (7) неверно. Случай, когда Еу(х) >О, для всех хан(о сводится к рас- смотренному случаю путем замены у на — у.
Теорема 1 доказана. Замечание. Принцип максимума остается справедливым и в том случае, когда (о=й. Предполагается при этом, что (о= () Ш(х)=й. В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем омо считать сетку й связной. Следствие 1. Если при всех х~й а) выполнены условия положительности коэффициентов (5), б) Ьу(х) <0(Еу(х) >0), и найдется хотя бы один узел х,~й, в котором 0(х,) >О, х,енй, (10) то у(х) <0(у(х) >0) для всех хай.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если у(х) чоосопз( при х~й, то утверж- дение следует нз принципа максимума. Действительно, предпола- гая, что у(х) >О хотя бы в одной точке хенй, мы допускаем суще- ствование в й положительного максимума функции у(х), что про- тяворечит принципу максимума. Если у(х) = — сопя! при х~й, то в точке х„для которой ол(х,) >О, имеем Еу(хо) = П(хо) у(хо) + Х В(х„$) (у(хо) — у Я)) =!)( о)у(хо)а~ О, й~Ш'\оа откуда получим у(х) =у(х,) <О. Точку хенй назовем граничной точкой, если Ш'(х) — пустое множество, Ш'(х)=Я. Если сетка й содержит хотя бы одну граничную точку х„ то В(хо) =А(хо) — Х В(х, $) =А(хо)) 0 оМШ'(оа и можно применять следствие 1.
Теперь мы уже в состоянии сформулировать достаточные условия однозначной разрешимости задачи (1). Следствие 2. Пусть коэффициенты оператора Е удовлетворяют условиям (5) при каждом хенй и условию (10). Тогда задача (1) имеет единственное решение. 297 Доказательство. Ранее отмечалось, что задача (1) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Поэтому достаточно показать, что однородное уравнение Ьу(х)=0, х~й, имеет только тривиальное решение у(х) = — О. Поскольку условия /.у(х) ) )О и су(х) <О в данном случае выполнены, из следствия 1 заключаем, что в каждой точке х~й одновременно выполняются неравенства у(х))0 и у(х)<0. Но это справедливо лишь тогда, когда у(х) =0 на й.
Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в том, что разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона (см. $ 1), удовлетнрряет всем условиям теоремы 1 и ее следствий и тем самым имеет единственное решение. Для того чтобы доказать непрерывную зависимость решения от правой части н от граничных условий, полученной теоремы недостаточно. Докажем еще несколько утверждений, следующих из принципа максимума. 3. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям. Наряду с задачей (4) рассмотрим задачу /Х(х) =г" (х), хс=й, (1 1) отличающуюся от (4) правой частью. Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть (ри всех х~й вьтолнены условия положительности коэффициентов (5) и вьтолнено условие (10). Тогда, если ~ г" (х) ! < т" (х) для всех х ~ й, то ~ у(х) ~ < У(х) для всех хенй.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для функций о (х) = У(х) +у(х) и ш (х) =У(х) — у(х) имеем /.о (х) = Р (х) + )ь (х) ) О, Елв (х) = г" (х) — г" (х) ) О, Согласно следствию 1 имеем о(х) )О, гв(х) )О, т. е. — У(х) <у(х) < У(х), что и требовалось.
Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (1). Пусть Т вЂ” множество граничных точек сетки й, т. е. точек хенй, для которых Ш'(х) =Я. Множество точек сетки й, не являющихся граничными, назовем множеством внутренних узлов и обозначим через о. Таким образом, й=о()т. В граничном узле хенТ уравнение (1) принимает вид А(х)у(х) =Р(х) или, что то же самое, у(х) =р(х), (12) где и(х)=т"(х)/А(х) — заданная функция.
Первая краевая задача состоит в том, чтобы найти сеточную функцию у(х), удовлетворяющую уравнению (1) при хенв и условию (12) при хану. Уже 298 отмечалось, что при условиях теоремы 1 первая краевая задача имеет единственное решение. Переформулируем теорему сравнения на случай первой краевой задачи. Рассмотрим две задачи: Ьу(х) =Р(х), хе= в; у(х) =р(х), хе= у, (13) ЕУ(х)=Р(х), х~=в; У(х)=р(х), хе=у. (14) Если при хенв выполнены условия (5) и 1Р(х)1<Р(х), х-в, 1)х(х)~<р(х), хг — '7, то ~ у(х) ~ < У(х) при всех хек(1. Функция У(х), фигурирующая в теореме сравнения, называется мажорантной функцией для решения у(х) задачи (4).
Для получения оценки решения у(х) обычно строят вспомогательную задачу (11) нлн (14) так, чтобы можно было легко найти ее решение У(х) и затем применяют теорему сравнения. Теорема сравнения позволяет легко доказать устойчивость решения первой краевой задачи по граничным условиям. Рассмотрим однородное уравнение (13) с неоднородным граничным условием Еу(х) =О, хяв; у(х) =и(х), хяТ. (15) Следствие 3 (устойчивость по граничным уел о в и я м). Пусть при х~в выполнены условия (5).
Тогда для решения задачи (15) справедлива оценка шах~у(х) ~ (шах))л(х)1 (16) лам квт Доказательство. Наряду с задачей (15) рассмотрим задачу ЕУ(х) =О, хенв; У(х) =а, хенТ, (17) где а=п1ах )р(х) ~. Все условия теоремы сравнения выполнены, поэтому )у(х) ) <У(х). Далее, для функции о(х) а — У(х) имеем Ео(х)=Еа — ЛУ(х) Еа П(х)а)0 и о(х) =0 при хенв и, согласно следствию 1, получим о(х) >О, т. е. У(х) <а.
Но тогда при всех х~й имеем /у(х) / < У(х) <а, откуда и следует (16). 4. Примеры. Приведем несколько простых примеров. Пример 1. Рассмотрим задачу и" (х) = — ) (х), 0 <х< 1, и'(0) =О, и(1) О. По аналогии с $2 гл. 1 построим разностную схему второго 299 порядка аппроксимации Уоои= — ~(хй 1=1,2, ..., й! — 1, — Уо,о=0,5И|о, Уы =О.
(18) Запишем схему (18) в каноническом виде: Ио уо=уо+05Ио~о у'=05(у'-о+уооо)+ — ~о 1=1, 2, ..., У вЂ” 1 ° 2 уы =О. Сетка й состоит из узлов х;=!И, 1=0, 1,...,У, и имеет одну граничную точку х=х„. Окрестность Ш'(х,) узла х, состоит из одного узла х=х,. Окрестность Ш'(х,) узла х; при 1=1, 2,..., )о' — 1 состоит из двух узлов х, ь х,о,. Сетка, очевидно, является связной. Свойства положительности коэффициентов (5) выполнены, причем Р(х)=0 при 1=1,2,...,У вЂ” 1, Р(х„)=А(х„)=1.
Таким образом, к разностной схеме (18) можно применять принцип максимума и его следствия. П р и м ер 2. Для уравнения и" (х) — ) (х), 0<х<1, и'(О) =и'(1) =О (19) строится разностная схема У-„;= — !'(хо), 1=1, 2, ..., !о' — 1, (20) — Ук,о —— 0,5~4о, Уды — — 0,5Чы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
