Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Канонический вид этой схемы у,=у, + 0,5И'~„У;= 0,5 (У,, +уо+,) + 0,5И'~о 1=1, 2,..., Ф вЂ” 1, у~=у~,+0,5Ио! . Окрестности узлов х„х„сетки й состоят каждая из одного узла, а окрестности точек хь 1=1,2,...,У вЂ” 1,— из двух узлов. Граничных точек сетка не имеет. Условия А(х) >О, В(х, $) >О, Р(х)=0 выполнены в каждой точке сетки.
Нет ни одной точки х, сетки П, в которой выполнялось бы строгое неравенство Р(х,) >О. Поэтому нельзя применять следствия 1 и 2 и утверждать о существовании и единственности решения задачи (20). И действительно, решение задачи (20) (так же как и исходной дифференциальной задачи (19)) не единственно: наряду с у(х) решением является функция п(х) =у(х)+а, где со — любая постоянная. В 3. Доказательство устойчивости и сходнмости разностной задачи Днрнхле для уравнения Пуассона 1. Устойчивость по граничным условиям. В $1 рассматривалась задача Дирихле для уравнения Пуассона дои д'и — + —,= — ~(х„хо), х=(х,, ко)~=0, до~ дхо и(х) =9(х), хе=Г, в прямоугольнике 6=(0<х,<1о 0<х,<1,) с границей Г. Была вве дена сетка 11=(х» =(х,', х1), 1=0, 1, ..., Ф„!=0, 1, ..., Уз), где х,=(й„х, =1йь Ь,=1/Уь й,=1/У„и построена разностная схема второго порядка аппроксимации У,х„» 1 У1х„»= Г»1 х» ~=.
ы, (2) с г У»' = Р (хм хе)в х» Е= 7. Здесь е — множество внутренних узлов сетки й и Т вЂ” множество граничных узлов: в = (х» = (х'„х,), 1= 1, 2, ..., У, — 1, 1 = 1, 2, ..., Ф, — 1), / 1и-1 у~~хин хл»') () ~хм~ хам~ /=1 Разиостная схема (2) приводится к каноническому виду А(х)у(х)=,Я~ В(х, $)у($)+Р(х), хе=в, (3) ~вш'[х) (4) у(х) =р(х), х~Т, где для х=хчена окрестность Ш'(х) состоит из четырех узлов х„ьь х,,„и А(х) = — + —, 2 2 а,' ь,' ' (5) р(х)=~(хи) Обозначая, как и ранее, Б(х) у(х) =А (х)у(х) —,Я~ В(х, $) у($), е~шчм запишем задачу (3), (4) в виде Б(х)у(х)=Р(х), хенв, у(х)=р(х), хенТ.
(6) В настоящем параграфе будет получена оценка решения задачи (2) через правую часть ) и граничные условия р, означающая устойчивость этой задачи, и будет показано, что при й; О, Ь;+-0 норма погрешности ~~У вЂ” и)сю, =шах~У(х) — и(х) ~ стремится к нулю. Тем самым будет доказана сходимость разностной схемы. Запишем задачу (2) в виде (6) и представим ее решение у(х) в виде суммы у(х)=у(х)+у(х), где у(х) — решение однородного зо~ уравнения с неоднородным граничным условием: (.у(х)=0, х — е, у(х)=п(х), хя:-у, (7) и у(х) — решение неоднородного уравнения с однородным граничным условием: Ьу(х) =г (х), хе= а, у(х) =О, х~ у.
(8) Отметим, что для задачи (6) выполняются все условия принципа максимума, поэтому можно воспользоваться результатами $2. В частности, к задаче (7) можно применить следствие 3 из $2, которое приводит к оценке !19Ь> <Ь!Ь„, (9) где $У~с,„, — шах1У(х) /, 11х1с,т, = шах ! Р(х) (. 2. Устойчивость по правой части и скодимость. Оценить решение неоднородного уравнения (8), пользуясь только результатами $ 2, невозможно. Однако можно легко построить мажорантную функцию для решения задачи (8) и применить затем теорему сравнения. Рассмотрим функцию У (х) = К (1', + 1, *— х, '— х,'), (10) где К вЂ” пока произвольная положительная постоянная, а 1„ длины сторон прямоугольника 6. Ясно, что У(х) )О при всех х~й.
Обозначим 0 (х) = А (х) — ~ В (х, $) ерш'(«) и вычислим выражение ЬУ (х) = 1) (х) У (х) + ~ В (х, $) (У (х) — У ($)) ЦЕШ (х] для функции (10) в любой точке хеив. Заметим, что по построению ' = — .—,« — «,. Кроме того, для функции (10) справедливы равенства д'1« д«1' У- = — = — 2К, У- = — = — 2К.
«,«, з«3 «*«, зд«« '1 « Таким образом, 1.У(х)=4К и можно считать, что функция У(х) является решением краевой задачи (.У(х)=г" (х), х=а, У(х)=р(х), х — у, (11) где У(х)=4К и п(х) ~0 — значение функции (1О) при хеиТ. Если положить 302 4 то по отношению к задачам (8), (11) будут выполнены все условия теоремы сравнения (см. аналогичные задачи (13), (14) в 3 2). Из теоремы сравнения следует оценка 1у ~с,ш ( шах 1' (х) ( К (1', + 1',). кей Отсюда, учитывая выбор константы К, получим С',+ 1,' Ь1 ~ !!% > (12) Из неравенства треугольника и оценок (9), (12) следует оцен- ка решения задачи (2) 13 1 Р 4 (13) Поскольку константы, входящие в оценку (13), не зависят от шагов сетки Ь, и Ь„данная оценка выражает собой устойчивость разностной схемы по правой части 1 и по граничным условиям и.
Отметим геометрический смысл константы 1~+(,' — это квадрат диаметра области б. Тем самым полностью доказана корректность (однозначная разрешимость и устойчивость) разностной схемы (2). Перейдем теперь к исследованию сходимости разностной схемы и к оценкам погрешности. Обозначим гч — — уч — и(х~„х,), где уч — решение разностной за! дачи (2) и и(хих,) — решение исходной дифференциальной задачи (1). Подставляя уч — — ге+па в уравнение (2), получим, что погрешность удовлетворяет уравнению г„-„, +г„—, = — фп, хп Яы, (14) й!!с,, ( М (ЬГ + Ь2).
Заметим, что задача (14) отличается от разностной схемы (2) только правыми частями в основном уравнении и в граничных условиях. Поэтому для решения задачи (14) справедлива оценка, аналогичная (13), а именно оценка 1*,+гв ИЬ<п> < ', ' !! Ф !Ь<.г звз ач=9 хая-="(~ где фп =и-„,„, П + и-„,т, П+ ~и — погрешность аппроксимации на решении задачи (1). Если четвертые производные решения и(х„х,) ограничены, то погрешность аппроксимации является величиной второго порядка малости относительно Ь=(Ь',+Ь,') *, т. е. существует постоянная М„не зависящая от Ь, и Ь, и такая, что Отсюда и из (15) получаем неравенство ((г~~,а) ( И,(й),+й',), (16) где М,=0,25М, (1„*+ 1,') — постоянная, не зависящая от )), н )),. Из оценки (16) и следует, что схема (2) сходится и имеет второй по- рядок точности.
й 4. Примеры применения принципа максимума В этом параграфе будем рассматривать разностные уравнения Ру(х) =г (х), хенй, (1) где Ву(х) =-А(х)у(х) — ~~' В(х, в) у($), (2) 4еШЧх) Разумеется, отсюда не следует, что немонотонная схема обязательно некорректна. Подчеркнем, что выполнение условий (3) (наряду с другими условиями, сформулированными в теоремах из $ 2) является достаточным условием корректности.
Приведем несколько примеров монотонных разностных схем для нестационарных уравнений. П р и м е р 1. Рассмотрим схемы с весами для уравнения теплопроводности — — 0(х(1, Ос 8(Т, ди Ри д) дх~ (4) и(х, 0) =и,(х), и(0, Т) =))) (1), и(1, 1) =)),(1). Эти схемы подробно выписывались в $ 4 из гл. 1 (см. схему (15) при )0," =0 из $ 4 гл. 1), поэтому мы не будем формулировать разностную задачу в полной постановке, а приведем только одно 304 причем оператор Е удовлетворяет условию положительности коэффициентов А(х)>0, В(х, $) )О, Р(х)=А(х) —,Я~ В(х, $)~0.
(3) КеШ'Ы) Линейный оператор Е называется монотонным оператором, если из условия Ьу(х) )О для всех хеиьз следует, что у(х) >О для всех х~й. Поэтому разностные схемы, удовлетворяющие при всех хенй условиям (3), называются монотонными разностными схемами. Схемы, для которых условия (3) не выполнены хотя бы в одной точке х~й, называются немонотонными. В $ 2 было показано, что условия (3) обеспечивают монотонность оператора 1., выполнение принципа максимума и корректность разностной задачи (1) в сеточной норме С: ))У)(,а, =п)ах1У(х) ). уравнение лы рх.т ! + ( ) ухх и (5) Найдем, при каких значениях параметров т, й, о схема (5) будет монотонной. Чтобы записать уравнение (5) в виде (1), (2), разрешим его относительно у)'". Тогда получим уравнение у';"' = оу (у";,'.,' — 2у";" + у,".",) + (1 — о) 7 (у~+1 — 2у; + у;-1) + у!, у=т/йз (1+ 2ау)У"," = = (1 — 2 (! — о) 7) у," + оу (у,".+" ,+ у7",) + (1 — о) 7(у!„, + у,",).
(6) Отсюда видно, что в каждом узле х=(хь г„„) шаблон Ш(х) состоит из шести точек, а окрестность Ш'(х) точки (ха!„„,) состоит из пяти точек (х„„!„+,), (хь 1„), (х; „1„). Условия положительности коэффициентов (3) сводятся к неравенствам 0<а<1, о)1-1/(27). Заметим, что схема останется монотонной и в том случае, если эти неравенства заменить на нестрогие, т. е. потребовать 0<о<1, о>1 — 1/(27).
(7) Действительно, выполнение одного из условий (7) со знаком равенства означает лишь, что окрестность Ш'(х) состоит не из пяти, а из меньшего числа узлов. Например, при о=О (явная схема) окрестность Ш'(х) состоит из точек (хи 1„), (х; „!„) и условие монотонности (7) принимает вид — ( †. т 1 (8) й~ 2 Если о=О, т/й'=0,5, то два из трех неравенств (7) выполнены со знаком равенства. В этом случае надо считать, что окрестность Ш'(х) состоит из двух узлов (х; „1„). Итак, схема с весами (5) является монотонной при условиях (7), а чисто неявная схема (п=1) монотонна при любых т и й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
