Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 58
Текст из файла (страница 58)
1=0»1~ ..~ Ум йаУа=1и. сс=1е2). Множество точек сетки 1)„принадлежащих Г, будем обозначать чеРез у„а множество внУтРенних точек — чеРез ы„так что Ол= =ел аул. Определим на (зл разностный оператор Аун = — у;„, — р;„... хц ен вл, 1 1 а) — —— (30) Обратим внимание на то, что схема (29) имеет тот же вид, что и схема (6) с !р'= — О, однако оператор А определяется теперь по-иному, а именно в соответствии с формуламн (28). Как было показано в $2, оператор (28) обладает перечисленными выше свойствами 1) и 2), причем для него Л,„= — соз — + — соз — ( — + — . 4 зла~ 4 з паз 4 4 а, '21 а, '21~ а', а,' Условие устойчивости (30) будет выполнено, если 1 1 4 4 а- — — —, А= — + —. 2 та ав аз 1 3 (31) Таким образом, схема (29) устойчива по начальным данным при условии (31).
Устойчивость здесь понимается как выполнение при любых начальных данных оценки !1у" 1! ( !!у'!1, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, где 1 Фз-1 Ь" Г= ~ й. Х А.(уй)'. 1=1 1=1 Аналогично исследуются устойчивость схемы (29) по правой части и ее сходимость. Если а=0,5, то схема (29) имеет второй порядок точности по т и по й, при остальных о — первый порядок точности по т и второй — по й. Условие (31) становится более наглядным, если сетка й„— квадратная, т. е. и,='п,=й. Тогда неравенство (3!) принимает вид 1 Ьь о (32) 2 зт В частности, явная схема (а=О) устойчива при условии т ! 89 4 которое является еще более жестким, чем в одномерном случае.
327 н в одномерном случае с помощью метода разделения переменных. На самом деле даже нет необходимости повторять проделанные ранее выкладки. Достаточно заметить, что основные результаты об устойчивости схемы (б) не зависели от конкретного вида оператора А, а использовали только следующие его свойства: 1) существование полной ортонормированной системы собственных функций, 2) положительность всех собственных чисел и знание верхней границы Л „спектра.
При этих условиях было доказано, что схема (б) устойчива по начальным данным, если весовой множитель а удовлетворяет нера- венству Неявные схемы с о)0,5 абсолютно устойчивы, однако в отличие от одномерного случая решение неявных двумерных разностных уравнений представляет значительные трудности. 5. Асимптотическая устойчивость. Проведение расчетов на современных быстродействующих ЭВМ предъявляет к разностным схемам наряду с обычными требованиями аппроксимации, устойчивости и сходимости ряд дополнительных требований. Эти требования сводятся к тому, что разностная схема должна хорошо моделировать характерные свойства исходного дифференциального уравнения в условиях, когда шаги сетки остаются конечными.
Так, при решении уравнений параболического типа на больших отрезках времени существенное значение имеет свойство асимптотической устойчивости разностной схемы. Поясним понятие асимптотической устойчивости на примере разностных схем для уравнения тепло- проводности — — 0(х<С, !)0, д! дх~ ' (33) и(0, !) =и(1, !) =О, е)0, и(х, О) =и,(х), 0(х(!.
Как известно, решение этой задачи можно записать в виде ряда и(х, !)=1,! — ',~ сьяп е ~а~, ~У ! ! (34) а=1 сь = 1 ~ — ~ ие (х) яп Нх Г2 Г . яах ~/ !~' о — коэффициенты Фурье функции и,(х). С ростом ! гармоники -М . яех ие = с~е яп— при й)1 затухают быстрее, чем первая гармоника, так что при больших значениях ! имеем и (х, !) = с, 1 — е- ° яп — .
/2 !!. ях (35) Для среднеквадратичной нормы решения задачи (33) Е ди ~ и (!) '1 = ~ ') и~ (х, !) Йх ~ о из (34) следует оценка Ии(!)И~ "'!1и(0)У ят Х, р (36) 328 я~И где Хь= — — собственные значения оператора второй произ- Р водной и у"ь=уй=О, у,'=иь(х>), аппроксимирующее задачу (33). Потребуем, чтобы для решения разностной задачи (37) выполнялась оценка '1У„'1<е ы"'1У,Ц, /м-а Ли где >„=пт, ~у((= '~~',й(у>) и б=б(т, 1>)-эЛ, при т-+О, >>-~-0.
>-ь Свойство, выраженное неравенством (38), будем называть асимптотической устойчивостью разностной схемы. Заметим, что устойчивость в обычном смысле определяется как выполнение оценки (38) с 6=0. Получим условия асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Как было показано ранее, из представления (14) для решения задачи (37) следует оценка >улн>>< Шак ~Г) ~~ул~ (39) ,аь:н-> (38) где тЛ>ь> де=1 —,„,, й=1, 2, ..., У вЂ” 1 (40) 1+ отЛ>ь~> и Лл"> — собственные значения оператора второй разностиой производной, О ~ Л>ь>~1>ь> ~ ~ Л>ь> (41) Устойчивость по начальным данным в обычном смысле обеспечивается условием >Ун,!<1, (42) которое можно записать в виде 1 1 о 2 тЛн>"> (43) Исследование асимптотической устойчивости схемы с весами (37) основано на следующей лемме.
Л ем ма 1. Пусть величины а„определена> согласно (40), (41) и параметр о удовлетворяет условию 1+ отЛЙ, )О. (44) Если выполнено неравенство д,+д.,) О, (45) 329 Далеко не всякая разностная схема, устойчивая и аппроксимирующая задачу (33), обладает свойствами, аналогичными (35) „ (36). Рассмотрим семейство схем с весами ул >>улм+(1 >>)уй > 1 2 ф 1 кю> кол (37) то Ч,еи(0, 1) и !Ч„!<Ч„й=2, 3, ..., М вЂ” 1. Доказательство. Из (4!), (44) следует, что ~)ь> 1+ от~4ы ) 1 — —,„> ) О, М-> (46) т. е.
1+ от)4ы ) О, й =1, 2, ..., !Ч вЂ” !. Неравенство (46) эквивалентно выполнени>о двух неравенств: Ч,— Ч,>0 и Ч,+Чь>0. Согласно (40) имеем т (>4ь> »(й>) Ч! — Чь= .. ,„ »)О, й=2,3, ..., й> — 1. (1+от» )(1+от»), ) следовательно, Ч1+Чь>0 й=1 2 ° ° ° й! 1 ° Тем самым неравенство (46) выполнено.
Из него следует, что Ч,>0. Неравенство Ч,(! следует из (40), (41), (44). Лемма 1 доказана. Заметим, что для неотрицательных о условия (44) всегда выполнены. Следствие 1. Если выполнены условия леммы 1, то для решения разностной задачи (37) справедлива оценка !!у" (! (р"!!у'!!, (47) где 1 — (1 — о) тК~ Р Чт = 1+ х>л> (48) Доказательство следует немедленно из оценок (39), (45).
Следствие 2. Если выполнены условия леммы 1 и параметр о не зависит от т и й, то схема с весами (37) асимптотически устойчива. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (38) достаточно показать, что рл е л (49) где 6=6(й, т)-~п'/Р при т-~О, й->0. Переписывая равенство (49) в виде 6= — 1и —, 1 1 (50) » зза Дал~~, Чз+Ч>,=(Ч>+Чю-~)+(>7к — Чи-ю), откуда, учитывая условие (45), получим Ч> + Чь )Чь Чн 1 (! ! "~(л>) (1 ! >(>и) получим из (48), что б= — 1и 1 1 т Л<й> 1— 1+ отЛ(й) 1( "' +О(р*,)), (51,) где )(,= тЛ(( .
Заметим, что (й) (й> 4 . а ма и' Л) = — (йп — -ь— йй 2! !й при Ь-~0 и тЛ',м-~0 при т-~О, Ь-~О. Поэтому из (51) получим откуда видно, в частности, что б(Б, т)= Л((~>+0(тт) при о О,б. Таким образом, неравенство (45) представляет собой условие асимптотической устойчивости схемы с весами (37). Его можно переписать в виде неравенства тЛ(й> тх(й) 1+ отЛ( ) 1+ отЛф~ (52» где Л, „= — яп —, Л>т,= — соз —. <е) 4 .в мй <й) 4 а ий /Р 2! ' Ьа 2! Заметим, что из (52) и (44) следует неравенство тЛ( ) (2, 1+ отЛй(й<) совпадающее с (17) и обеспечивающее устойчивость схемы (37) в обычном смысле. Из (52) получаем, что явная схема (0=0) асимптотически устойчива при условии т(0,5Ь'.
Чисто неявная схема (0=1) асимптотически устойчива при любых т и Ь. Симметричная схема (0=0,5) асимптотически устойчива прн условии т < 2ф Л(")Л("), = оп. (53) зз! Л(й) 1' и Иш 6(Ь, с) =и'/1', что и требовалось. т,й-м Не представляет труда более подробно выписать асимптотяку величинм б(И, т) при т-~0. Имеем 1 ! й т (Л(й>)й .са (Л(й))э б (», т) = — 1п — = Л(") — (оа — (1 — о)т) + (ое + (1 — о)а) Ъ р 2 3 т' 0 ',м) ° т( (Л<й))а — ( — (1 — о) ) +( +(! — о)й) +О( ), 4 б Таким образом, симметричная схема, будучи абсолютно устойчивой в обычном смысле, является условно асимптотически устойчивой при условии (53). Асимптотнческая устойчивость разностной схемы тесно связана с ее точностью. Нарушение асимптотической устойчивости приводит к потере точности схемы на больших временах. Так, в [32] показано, что если положить т=лс, пс ) 1, г )с"хсл>хслс лс-с то при больших 1 решение у (С„, х,) симметричной р азностной схе- мы имеет асимптотику У(йи хс) =ел се с'"С~ ( — 1) 'Яп —.
Сопоставляя с асимптотикой (35) решения исходной задачи, видим, что решение полностью искажается. Отметим, что в (32) предложена разностная схема для уравнения теплоправодности, обладающая безусловной асимптотической устойчивостью н имеющая второй порядок точности, однако данная схема не принадлежит семейству схем с весами (Зс). 5 4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье Рассмотрим разностную схему у-.л с= — ~с, с=1, 2, ..., У вЂ” 1, у»=у»с =() (1) и построим ее решение в виде разложения по базису собственных функций оператора (АУ)с= — У-„„,„1=1,2, ..., У вЂ” 1, )сУ=1, У~=У»с =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
