Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 62
Текст из файла (страница 62)
$4 гл. 1) в+1 и дул 1+ (1 ) ухх ( (4) 1=1,2,...,У вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, л+1 лы о у, =ун =О, у; =и (х;). Приведем схему (4) к каноническому виду (1). В качестве про- странства Н„возьмем множество Нф, действительных функций, заданных на сетке Ил=(х;=(й,(=0, 1,..., У, ЬФ=1) и обращающихся в нуль при 1=0, (=У (операции сложения и ум- ножения на число задаются обычным образом, т. е. покоординат- но). Определим оператор А (оператор второй разностной производ- ной) формулами (Ау),= — у„-„, =1,2, ..., Н вЂ” 1, д,=д =О. (3) Обозначим через у„~ НЙ, вектор у,=(у,", у,", ..., дй 1)~, где у", =у(хь 1„).
Тогда разностную схему (4) можно записать в операторном виде " + оАу„„+ (1 — о) Ау„=- О, (6) (7) у,'. = и, (х;). ззв который еще не является ее каноническим видом. Для того чтобы перейти к каноническому виду (3), достаточно воспользоваться тождеством (2), откуда получим, что В=Е+отА. Таким образом, разностная схема (4) записелвается в каноническом виде (3), где ф„=О, оператор А определен согласно (5) и В =Е+отА. П р им е р 2. На той же сетке, что и в примере 1, задана разностная схема уГ'=0,5(уи, +у,",), 1=1,2, ..., У вЂ” 1, п=0,1, ..., К вЂ” 1, Приведем схему (7) к каноническому виду (3). Прежде всего перепишем ее в виде уп+105(ул2уп+уп)+ул или Поделив последнее уравнение на 0,56', убеждаемся в том, что схе- ма (7) представляет собой частный случай схемы с весами (4), когда о=1, т=0,5Ь'.
Следовательно, схема (7) имеет канонический вид (3), где оператор А определен согласно (5), Вп Е и т=0,551. 3 а меча иве 1. Операторы А, В в схеме (3) могут зависеть от т, й и Г„, так что А=Ап,,(1 ), В=В1,,(Г ). Функция ф зависит, вообще говоря, от т и ь, 1Р„ = фп,,(г„). Замечание 2. Если сетка ы, неравномерная, ып=((п, п=о, 1, ..., К, Ге=о, Гк=Ц с шагами т п1=! п~ — Г, п=о, 1, ..., К вЂ” 1, то в качестве канонической формы двуслойной схемы можно взять уравнение уп — уп В +Аул=фи, п=о, 1, ..., К вЂ” !. П+1 Замечание 3.
Канонический вид двуслойной разностной схемы по форме записи аналогичен одношаговому итерационному мезоду решения системы линейных алгебраических уравнений Ау=ф (8) (см. $ ! гл, 2 ч. Н), Такая аналогия не является формальной, поскольку переход от уравнения (8) к итерационному методу (9) т можно трактовать как замену стационарного уравнения (8) нестационарным уравнением (9). Отличие нтерзционного метода (9) от разностной схемы (3) состоит в том, что в уравнении (9) а) А и ф не зависят от л, б) итерационный па. раметр т не обязан стремиться к нулю.
2. Устойчивость разностных схем. Как и в случае стационарных задач, разностная схема (3) называется корректной, если ее решение у„=у,,(1п): а) существует, б) единственно, в) непрерывно (причем равномерно относительно т и й) зависит от входных данных ф((п) и у,. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что оператор В-' существует (если В=В,,(1„), то предполагается существование В-' при всех допустимых значениях й, т, 1„).
Тем самым гарантируется существование и единственность решения задачи (3). Дадим строгие определения устойчивости. Будем считать, что в Н, заданы две нормы: !) !11з, в которой измеряется решение у(1,)еи енН1 и ~ !!зз, в которой измеряется правая часть 1р((п). Определение 1. Разностная схема (3) называется устойчивой, если существуют постоянные М,)0, М,)0, не зависящие от Ь, т, л и такие, что при любых правых частях фк,(1„)яиНп и любых начальных данных у,~Н1 для решения уравнения (3) выполняется ЗИ оценка !1у 1!о(МоЬо!Ьо+Мо шах 1огт0оо оаеао-о Устойчивость, выраженную оценкой (10), называют устойчивостью по начальным данным и по правой части. Используются также понятия устойчивости по начальным данным и устойчивости по правой части.
Рассмотрим однородное уравнение В "" " + Ау„ = О, и = О, 1, ..., К вЂ” 1, уоо:- :Но задан. (11) О ~ р е д е л е н и е 2. Разностная схема (3) называется устойчивой по начальным данным, если существует постоянная М,)0, не зависящая от Ь, т, и и такая, что при любых у,енН, для решения однородного уравнения (11) справедлива оценка !~у йо<Мо!!уо1оо, п=0,1, °, К (12) Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3) с нулевыми начальными данными В "" "+Ау =~р„п=О, 1, ..., К вЂ” 1, у,=О. (13) Определение 3. Разностная схема (3) называется устойчивой по правой части, если существует постоянная М,)0, не зависящая от й, т, и и такая, что при любых ~ров(1„)енНо для решения уравнения (13) справедлива оценка 1У 1, (М, шах ~~Р,)о (14) он~<о-~ Заметим, что в силу линейности разностной схемы из одновременной устойчивости по начальным данным и по правой части следует устойчивость в смысле определения 1.
Более того, покажем, что устойчивость по правой части является в определенном смысле следствием устойчивости по начальным данным. Определение 4. Разностная схема (3) называется равномерно устойчивой по начальным данным, если существуют постоянная р)0 и постоянная М„не зависящая от й, т, и, такие, что при любых п=О, 1, ..., К вЂ” 1, К)1, и при всех у„енНо для решения у„+, однородного уравнения (11) справедлива оценка Ь-.Ь, (И у. Ь„ (15) причем р" (М,. В теории разностных схем в качестве константы р выбирается обычно одна из величин р=1, р=1+с,т или р= е", где с,)0 не зависит от й, т, и.
Если, например, р= е"', то р"= е"'"= е"'" <е"т, т. е. М =е" где Т=Кт. т Перепишем однородное уравнение (11) в виде у„„,=5у„п=О, 1, ..., К вЂ” 1, (16) 362 где оператор В= — тВ 'А (17) называется оператором перехода схемы (3). Нетрудно видеть, что в силу произвольности у„е=Н» требование (15) равномерной устойчивости по начальным данным эквивалентно ограниченности нормы оператора В константой р: !!В!! <р.
(18) Отметим, что оператор 3 может зависеть от и. В дальнейшем допустимыми значениями и будем называть числа и= 1, 2, ..., К вЂ” 1 такие, что Кт=Т, где Т)0 — заданное число. Необходимо отметить, что К-~-оо при т- О. Т е о р е м а 1. Пусть схема (3) равномерно устойчива по начальным данным в норме» ° »»». Тогда схема (3) устойчива и ло правой части, причем для ее решения выполнена оценка (10), где»ф󻻻— =~~В-',рт» и М, = М,Т.
Доказательство. Перепишем уравнение (3) при л=)в виде Упп =В~+~у~+ тВ) фг и применим неравенство треугольника: !!Улп»»<»Вг-!!»уй»+ т!!В7'фг»»». Из требования равномерной устойчивости по начальным данным в силу оценки (18) получаем неравенство »улп», =.р!!Уг!!,»+т!!В ф~»,», которое поиводит к оценке !!у ы»» < р""»у»»»+ Х р" '!!В 'фА» (19) /=ь Согласно условию равномерной устойчивости по начальным данным имеем, что р"<М, для всех допустимых и, в частности р"+'< <М„р"-'<М,.
Поэтому из оценки (19) получим »у»1»< М1»у» + Х ч»ВУ фт»1» /=ь Для завершения доказательства теоремы 1 остается заметить, что Л 'Я т!/В7'ф;/!,»(Еьл шах !!В7'ф~»»»<Т шах»В~'<р~»,». ьа/мь оа!аь Имея в виду теорему 1, можно ограничиться изучением равномерной устойчивости по начальным данным. Мы будем рассматривать лишь случай, когда выполняется оценка (15) с константой р=1. !2». А самар»кчй. ».
в. тулин 36$ 3. Теоремы об устойчивости по начальным данным. Предположим, что в Н„введены скалярное произведение (у, о), и норма 1~уй»=)'(у, у),. Для упрощения записи индекс й у скалярного произведения и нормы будем в дальнейшем опускать. Оператор Р, действующий в Н„называется положительным оператором, если (Ру, у) )0 для всех уенН,. Если Р— самосопряженный положительный оператор, то можно ввести норму ~~у|~ =Т(Ру, у), называемую энергетической нормой, порожденной оператором Р. В дальнейшем неравенство Р)0 (Р)0) означает, что Р— положительный (неотрицательный, т.
е. (Ру, у) )О для всех уенН,) оператор. Будем считать сейчас, что Н, — вещественное пространство. Имеет место Т е о р е м а 2. Пусть в схеме (3) оператор А является самосопряженным положительным оператором и не зависит от п. Если выполнено операторное неравенство В) 0,5тА, (20) то схема (3) равномерно устойчива по начальным данным, причем для решения однородного уравнения (11) справедлива оценка 11у.+Д.~~~у.Ь, п=О, 1,..., К вЂ” 1. (21) Дока з а тельство.
Обозначим У,= (У.ч,— У )/т, У=У» и Умножим уравнение (11) скалярно на у,. Тогда получим тождество (Ву„у,)+(Ау, у,) =О, которое после очевидных преобразований можно записать в виде (( — ОЬгА)у„у,)+(05тАу,+Ау, у,) =О. (22) Замечая, что 0,5тАу,+Ау = 0,5А (у.+у,), перепишем (22) в виде (( — О,ЬгА)уь у,)+0,5т '(А(у.+,+у.), у +,— у.) =О. (23) Далее, используя условие самосопряженности оператора А, а также его независимость от п и положительность, получим (А (у»+1 + у ) у»+, — у ) = (Ау, со у„„) — (Ау,»ь у») + + (Ау., у»+1) — (Ау», у.) = (Ау .и у.„) — (Ау», у.) = =т(Ау, у)с=т($у»1л)ь Отсюда и из (23) приходим к следующему тождеству: (( — 0,5тА) уь ую) + т Я у, /~) с = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
