Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 64
Текст из файла (страница 64)
уе = О. Тогда разностную схему (49) можно записать в виде (43), где утНД'. Оператор (50) (оператор левой разностной производной) изучался в п. 3 $1. Было показано, что А — несамосопряженный оператор, для которого при любом у~НЙ выполняется тожде- ство и (Ау, у) = — ~ (у-„,.)'й+ — у~и. ' ~=1 (51) Применим теорему 4 к исследованию устойчивости схемы (49). Из определения оператора (50) имеем ЦАу)~= ~~', (у„-,.)'й, Ю=х поэтому тождество (51) можно записать в виде (Ау, у) = О,бйЦАуЦе+ 0,5у„'. Тогда условие устойчивости (44) приводит к неравенству (а — О 5) т Ц Ао Ца + О 5й Ц Ао Це + О 5 о' ) О, имеющая второй порядок аппроксимации по т и по Ь. Действительно, л й "ьт е Уу~ т = У~~~ — "У вЂ” =Ус; — (У„~ У-.). поэтому (33) можио переписать в виде р" + — 1 — рй + — (+ — р О, 2~ т) хд 2~ т( хд зет которое выполняется при всех о,— Нн тогда и только тогда, когда и] о) — ~1 — — ) .
1х а' (52) 2~ т) Неравенство (52) и представляет собой условие устойчивости схемы (49). В частности, явная схема (о=О) устойчива при условии т<й, неявные схемы с о~0,5 устойчивы при любых шагах т и й. В семейство схем (49) входит и схема «Ь., + рЦд+ р„"-", + р„-",. = о (33) т. е. получаем схему (49) с о= — (1 — — ) При атом значении н условие устойчивости (52) выполннетсн длн всех т и й, т.
е. схема (53) абсолютно устойчива. й 3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем 1. Канонический вид. Двуслойная разностная схема определялась в $ 2 как разностное уравнение первого порядка по переменному и, коэффициенты которого являются операторами, действующими в линейном пространстве Н,. Естественно определить трехслойную схему как операторно-разностное уравнение второго порядка. Пусть заданы: сетка оз,= ()„=ит, и=0, 1,..., К, т)0, Кт=Т), семейство конечномерных линейных пространств (Нл), линейные операторы „„„действующие в Н„, и функция ф„=ф(1„)~Нл. Трехслойной разностной схемой называется семейство операторноразностных уравнений второго порядка Взул+,+В,ул+Влул,=ф„, и=1, 2, ..., К вЂ” 1.
(1) Операторы Ве 1=0, 1, 2, могут зависеть от Ь, т, и, а функция ф„=ф(1„) может зависеть также от т и й. Мы будем изучать задачу Коши для уравнения (1), состоящую в том, что по заданным элементам у„у,енНл требуется определить решение у„=у(1„) для всех последующих значений и, т. е. для и=2, 3, ..., К. Чтобы задача Коши была однозначно разрешима, достаточно потребовать существования оператора В,'. В дальнейшем мы будем предполагать всегда, что это требование выполнено.
Введем каноническую форму записи трехслойных разностных схем. Определим на сетке оз, разностные отношения У н-х Уп Уп Уп-~ ус= ~ уу= т ул = — (ус + уу) = ! Ул+х Ул-х с 2 2т У! УТ Ул — 2уп + У у- — —— й та и обозначим у=у„. Непосредственной проверкой можно установить справедливость следующих тождеств: ул, — — у — ту. + 0,5т'у-„, (2) уп„= у+ ту. + 0,5т'у-„.
за2 Подставляя эти тождества в уравнение (1) и используя линейность операторов В„!=0, 1, 2, приходим к уравнению т(Въ — Во)у'+О 5Р(Ва+ Ва)у; +(Ви+ В1+ Во)у=гр где ~р=~р . Обозначим В=т(Вз — Во), Я=0,5(Вь+Во), А=Вк+В +Вд. Тогда уравнение (1) можно записать в виде Ву; + тЧ~у„- + Ау = <р. (3) Запись трехслойной схемы в виде (3) называется каноническим видом трехслойной разностной схемы.
Из предыдущих рассуждений следует, что в каноническом виде (3) можно записать любую трехслойную разностную схему, если операторы „„В, линей ные, а сетка в, равномерная. Заметим, что существование В,' эквивалентно существованию оператора, обратного оператору В+2тВ. 2. Эквивалентность трехслойной схемы дауслойной. Покажем, что трехслойную схему всегда можно представить в виде некоторой эквивалентной ей двуслойной схемы. Такое сведение трехслойной схемы к двуслойной аналогично принятой в теории дифференциальных уравнений замене уравнения второго порядка системой двух уравнений первого порядка.
Опуская индекс й, обозначим Н= Н, и введем пространство Н*= =НВН вЂ” прямую сумму двух экземпляров пространства Н. Пространство Н* определяется как множество векторов вида у= (у„ у,), где у„ у,енН, а операции сложения и умножения на число вводятся покоординатно, т. е. сну+1)о= (яу,+ро„ау,+ро,), где у= (у„у,), о= (о„о,), и, 1) — числа. Если в Н задано скалярное произведение (, ), то полагаем (У о) и'= (У~~ о ) и+ (Уь оа) и.
Далее, если Св — линейные операторы, действующие в Н, 1, 1= =1, 2, то матрица ~Си Си] представляет собой оператор, действующий следующим образом: если х= (х„х,)енН*, то Сх= (С„х,+С„х„С~,х,+С„х,). Для операторных матриц справедливы те же правила сложения и умножения, что и для обычных матриц, надо только следить за порядком сомножителей. Возвращаясь к уравнению (1), перепишем его в виде системы Уи = Уи. у„„= — В,"В,у„, — В-,'В,у„+ В-,'р„. действующий в Н*. Тогда уравнение (1) можно записать в виде двуслойной разностной схемы у а+! Цу (4) определенной в пространстве Н'. Учитывая возможность сведения трехслойной схемы к двуслойной, можно многие результаты $ 2 перенести на трехслойные разностные схемы.
В частности, для трехслойной схемы так же, как и для двуслойной, из равномерной устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся изучением устойчивости по начальным данным. Трехслойную схему можно представить в виде двуслойной схемы не единственным образом. Иногда бывает удобным представить разностную схему (3) в виде двуслойной схемы, записанной в канонической форме Я" " +Ау"=<р" где у ~Н* и.Ф, Я вЂ” операторы, действующие в Н'. Чтобы получить такое представление, введем векторы <р"= (<р, О), у"= (0,5(у„+у„,), у„ — у„ ,), (6) где у„— решение, а ~р„— правая часть уравнения (3).
Далее, опре- делим операторы т / 1 В+ — А т!!1 — — А) 2 ~ 4 — ( — — А) — (Я= А=[ ~ ~, И Тогда, как можно убедиться непосредственной проверкой, трехслойная разностная схема (3) представляется в виде двуслойной схемы (б). При этом, если записать схему (5) как систему двух уравнений, то первым будет уравнение Ву,. + т%у1, + Ау = ср, а вторым — тождество 0=0. 3. Устойчивость по начальным данным. Будем рассматривать задачу Коши Ву. +тЧ~у-„+ Ау,=О, (8) где а=1, 2,..., К вЂ” 1, у„у, заданы. 364 Определим вектор у"=(у„„у„), правую часть «р"=(О, В ~„) н оператор Предполагаем, что существует оператор (В+2ть1)-', и, следовательно, уравнение (8) однозначно разрешимо относительно у„+,, Будем считать сейчас, что Н вЂ” конечномерное пространство со скалярным произведением (, ).
Справедлива следующая теорема о равномерной устойчивости схемы (3) по начальным данным. Теорема 1. Пусть А иЯ являются самосопряженными положительными операторами, не зависящими от и. Если выполнены операторнь1е неравенства Н) — А, В)0, (9) то при любых у„у,енН для решения разностной схемы (8) справедливо неравенство «у.,Л.К«И., =1, 2, ..., К, (10) где «у„«, = — (А (у„+ у,), у, + у„) + ((й — — А) (у„— у„,), у„— у„,). з 1 Н 1 4 Ц(, 4 (11) Доказательство.
Представим схему (8) в виде двуслойной схемы „л+1 л Я +Ауа=0, п=1,2, ..., К вЂ” 1, (12) т где вектор у'енН' и операторы .Ф, Я определены согласно (6), (7). Для схемы (12) задано начальное значение у'= (0,5(у,+у,), у,— у,). Покажем, что схема (12) удовлетворяет всем условиям теоремы 2 из $2. Из самосопряженности операторов А, Я и из операторных неравенств А)0, Я) — А следует, что оператор,Ф (см. (7)) яв- 1 ляется самосопряженным и положительным оператором в пространстве Н'. Поэтому в Н* можно определить норму «о«м, порожденную оператором,Ф. Для вектора о=(о„о,) норма«о«л определяется следующим образом: «о«,"л = (Аом ог) + ((тс — 4 А) оы оз), Отсюда для решения задачи (5) у"=(0,5(у„+у„,), у„— у„,) имеем л ~ Н 1 «уф«м= -(А (уп+ уып), уп+ ул-Д+ (( Р— — А)(ую — уь д)э уь — уд-~~ э ф 4 / т.
е. «у"«,.д совпадает с нормой !!уД., определенной согласно (11). Проверим выполнение операторного неравенства Я) О,бт.Ф, (13) которое согласно теореме 2 из ф 2 обеспечивает равномерную устой- зва чивость схемы (12) по начальным данным. Из определения (7) опе- раторов Ф и М получаем В т (тг — — А) зп — 0,5тА = — г(Н вЂ” — А) 0 Для любого элемента о= (о„о,) енН* имеем (И вЂ” О,бтА) о = (Во, + т (Я вЂ” — А1 о„— т ( Н вЂ” — А) о,) .
Обозначим (, )нь (, ) скалярные произведения в Н' и в Н соответственно. Тогда получим ((52 — О,бтА) о, о)н* =(Во„от)н + +т(( — — А)о„п,) — т(( — — А)о„пя) =(Во„од)н, причем последнее равенство справедливо в силу самосопряженно! сти оператора  — — А. 4 Таким образом, из неотрицательности в Н оператора В следует выполнение условия устойчивости (13). В силу теоремы 2 из $2 для решения задачи (12) справедлива оценка !!у"+'!! р(!1у"11,о, которая, как мы показали, совпадает с оценкой (10) для решения задачи (8). Теорема 1 доказана.
Замечание. Пусть Н вЂ” комплексное пространство, Тогда теорема !останется справедливой, если условие В>0 заменить условием В'+В>0. 4. Примеры. Для исследования устойчивости конкретных трехслойных разностных схем надо записать их в каноническом виде (3) и определить, при каких значениях параметров выполняются условия теоремы 1. Приведем несколько примеров исследования устойчивости.
П р и м е р 1. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний струны — — Оч хс..1, Ос..1(Т, дхо и(х, 0) =ио(х), " "' =ио(х), 0.4х~(1, (14) д! и(0, С) =и(1, 1) =О, 0 =Л(Т. Введем сетку от,и= озьр,го„, где отл=(хг=(й, 1=0, 1, ..., М, )!У=1), оз,=(у,=пт, а=О, 1, ..., К, Кт=Т), и сопоставим задаче (14) двухпараметрическое семейство схем с 366 весами у'„= о Лу~" + (1 — а — аа) Лу~" + ааЛу~' ', и=1,2,...,К вЂ” 1, 1=1,2,...,Н вЂ” 1, а л а у~ = ив (х;), у; = и (хД, у, = уи = О. (15) Здесь о„о, — заданные числа, а» 2„а 1 л-1 уГ ~ ~+и'-1 1Щ~— /Р Тогда разностную схему (15) можно записать в виде у-„+а,Ау„,+ (1 — а, — а,) Ау„+ а,Ау„, = О, (17) Н~о) ( и л ~ )т ( 2 + ) з Пользуясь тождествами (2), легко привести схему (17) к каноническому виду (3), где ~р=О, оператор А определен согласно (16) и В=(а,— оа)тА, Н= — В+1'~~" А.
Р 2 Для выяснения условий устойчивости схемы (15) воспользуемся теоремой 1. Уже неоднократно было показано (см. 3 1 гл. 3), что оператор (16) является самосопряженным и положительным оператором в смысле скалярного произведения Ф-1 (у, о) = '~ у о;И, причем его наибольшее собственное значение 4 зив Х „,„= — соз— Иа 2Р оценивается сверху величиной Л=4(И*. Операторы В и й, определенные формулой (18), также само- сопряженные. Согласно теореме 1, для устойчивости схемы (15) достаточно выполнения условий (9).
Условие В)0 приводит к ограничению а,)а„означающему, что вес нижнего слоя не должен превосходить веса верхнего слоя. ввт а значения й,(х;) подобраны так, чтобы порядок погрешности аппроксимации начального условия ди(х, 0)/д1=й,(х) совпадал с порядком погрешности аппроксимации основного уравнения (конкретное выражение для й,(х) нам не потребуется, а способ построения й~(х,) был указан в $5 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
