Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(24) Из условия (20) получаем, что (( — 0,5тА) у„у,) ) О, поэтому в силу (24) для решения уравнения (11) справедливо 364 неравенство т(~!у„!!А)г <О, которое совпадает с неравенством (21). Теорема 2 доказана. 3 а м е ч а н и е 1. В теореме 2 оператор В может быть несамосопряженным оператором и может как угодно зависеть от и. Замечание 2. Если А — самосопряженный положительный оператор, то условие (20) является и необходимым условием выполнения оценки (21). Действительно, из (2!) и (24) получаем неравенство (( — 0,5тА)уь ус) >О.
(25) Согласно (11) имеем Ю= — В-'Ау , следовательно, в силу произвольности у» н обратимости оператора А неравенство (25) эквивалентно операторному неравенству (20). Если ГГ» — комплексное пространство, то справедлива Теорема 3. При тех же условиях на оператор А, что и е теореме 2, иа неравенства В»+В)тА (26) следует оценка (2!) для решения уравнения (!!), Доказательство, совершенно аналогичное доказательству теоремы 2, предлагаем провеств читателю. Теоремы 2 и 3 позволяют сформулировать следующее правило исследования устойчивости конкретных двуслойных разностных схем. Прежде всего надо привести разностную схему к каноническому виду (3) и определить тем самым операторы А и В. Затем надо исследовать свойства оператора А.
Если этот оператор является самосопряженным и положительным и не зависит от л, то остается проверить выполнение операторного неравенства (20) (в случае комплексного пространства — неравенства (26)). Обычно неравенство (20) приводит к некоторым ограничениям на т и Ь, которые и представляют собой условия устойчивости данной разностной схемы. Приведем примеры исследования устойчивости на основе теоремы 2. Пр имер 3. Рассмотрим ту же схему с весами для уравнения теплопроводности, что н в примере 1. Эта схема была приведена к каноническому виду (11), где оператор А определен согласно (5) и В=Е+атА. В главе 3 показано, что А — самосопряженный и положительный оператор в смысле скалярного произведения ге-з (у, и) = "~ угпг)т.
г=з Для скалярного произведения (Ау, у) справедливо выражение (Ау, у) = ~~~ (у-„)ЯЬ. г=з Таким образом, оператор А удовлетворяет условиям теоремы 2 Условие устойчивости (20) принимает вид Е+тА) 0,5тА 12* 355* и означает, что при любом уенНь должно выполняться неравенство (и — 0,5)т(Ау, у)+)(уЦ*)0. (2») Вспоминая неравенство (см. 3 1 гл. 3) 4 3 л»» 3,.»ч х = — соз йа (4у, у) ==)~-,Ь!', видим, что схема (4) устойчива при условии (о — 0,5) т+ — )0 1 Х»ч-х или 1 1 о) — —— тьм-ь (28) Достаточным условием устойчивости является неравенство 1 лз а-в — — —. (29) 2 4т Напомним, что те же самые условия (28) и (29) были получены ранее методом разделения переменных (см. $3 гл. 3).
П р н и е р 4. Рассмотрим уравнение теплопроводиости в цилиндрических координатах О < х ( 0 (30) и (х, 0) = из (х), ' = О, и (1, !) = О. ди(0, !) дх н граничного условия в точке х=О. Введем равномерную сетку 1)ь=(х»=»Ь, »'=О, 1, ..., У, Ь»т'=0 и заменим Еи разностным выражением 1 (Еьи)! — — и- + — и,, » = 1, 2, ..., »т' — 1. х! хд (3!) Ясно, что прн такой замене погрешность аппроксимации является велнчиной 0(йз). Заметим, что разностное выражение (31) можно записать в днзергентном виде 1 (Ели)» = „(шь;)~,Ь » где и» 0,5(х»+х» »). 336 Построим разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по й и первый по т.
Основная трудность состоит в аппроксимации пространственного оператора дзи 1 ди Еи = — + —— да х д, 1(злее, чтобы аппроксимировать со вторым порядком граничное условие при х О, воспользуемся разложением и"„— и,", ди (О, (о) й д'я (О, 1„) (32) й дх 2 дхо Чтобы исключать яз (32) выражение дои(0, 1 )(дхо, перепишем уравнение (30) в виде да(х, 1) дои(х, 1) 1 ди(х, 1) +— дт дхз х дх и перейдем к пределу при х-ьО, Применяя правило Лопиталя, получим и' (х) ди (О, С) дои (О, 1) 1пп — =и"(О), откуда следует, что = 2 ' .
Отсюда и к-оо х д1 дхо из (32) получаем ди (О, 1 ) ди (О, 1 ) илш и я о й ' л ( О(йо) л Ь о о )„(1(йз ьтз) дк ' 4 д( 4 Такам образом, разностное краевое условие аята ая о о л =и 4 (33) имеет второй порядок аппроксимации на решении задачи (30). Итак, приходим к разностной схеме = — (~У2)„ о 1 = 1, 2, ..., Н 1, (34) т ко а1=0 5(хс+х,,), У",,=О, (35) д у,"" — у,' ух,о 4 которая на решении уравнения (ЗО) имеет аппроксимацию 0(т+йо), Приведем схему (34), (35) к каноническому виду (3). Обозначая у,'+' — у," УЮ,1 = Уо =У т перепишем (34), (35) в виде к;уо 1 — — (ау-) о а1 — — 0,5 (х;+ х; ), 1 = 1, 2, , , Н вЂ” 1, у",, = О, (36) (37) 4 Убо = Ук,о.
5 36У Рассмотрим линейное пространство Ны функций, заданных на сетке () и рав- <е] ных нулю при 1=У. Введем в Нф скалярное произведение и норму и-т (у, о) = ,'Я ур;й, Ь М = У(И. У). т=е Ясно, что во внутренних точках сетки 1)» опера»ор А, соответствующий схеме (36), (37), надо определить следующим образом; (Ау)с= — (ау-)„н а,",=0,5(хс+х;,), 1=1,2, ..., ьс — 1, к к,»' Доопределнм значение (Ау)о так, чтобы оператор А был самосопряженным.
Если ух=он=О, то справедливо тождество (см, (14) из $3 гл. 1) а»-т сч-1 ас ~~, '(Ау)спсй = — Я (ау-) р,Ь = ~~ а;у- у Ь+ а,у„юоо, с=х с=с » х а, Полагая (Ау)о= — — у,,о, получим тождество Ь »с (Ау, и) = ~»', асу и- Ь, из которого сразу следует самосопряженность оператора А. При этом ас (Ау, у) = ~', а,(у-,)'Ь, ос=0,5(хс+хс-) с=с (38) Итак, оператор А определяется формулами ах (Ау)о = — — у„ю ухс — — О, аз=0,5(хо+хо-с). (39) (4У)С= — (ау-,)к,С С =1, 2, ..., ЬС вЂ” 1, Заметим, что разностное граничное условие (37) можно записать в виде Ь ус +(Ау)о=О, так как а»=05 Ь.
Таким образом, раэностная схема (36), с,о (37) имеет канонический вид (3), где оператор А определен согласно (39), а опе. ротор  — формуламн Ь (Ву)о = Уо (Ву)с = к у., с = 1. 2, ..., Н вЂ” 1. (40) которое должно выполняться при каждом у Е Нф.
Найдем, при каких соотношениях на шаги т и Ь выполняется условие (41). Для этого оценим сверху величину (Ау, у), данную выражением (38). Используя 368 Докажем положительную определенность оператора (39). Из тождества (38) следует, что (Ау, у))0 для всех ущНф. Предчоложим, что (Ау, у)=0 для иекотоРого УЕ Н~л, и покажем, что тогда У=О. Если (АУ, У)=0, то У,, о О, со) с=1, 2, ..., Ф, т. е.
Уз=у»=...=у». Но в силу граничного условия уо»=0, н, следовательно, у»=0 для всех с. Таким образом, А — самосопряженный положи. тельный оператор и можно применять теорему 2. Условие устойчивости (20) с учетом (38) и (40) приводит к неравенству эс-» ос Ь вЂ” уо+ ~»' всуе~О,бт ~~~~ ас(у-,)ой, (41) с=с неравенство (а+Ь)т(2(а'+Ь'), получим при ун=о, что (ЛУ,У)= Л, '3' о,(У, 1 / М М вЂ” у; )зЛ~( — 1 ~ЧР ~а,узЛ+ Я пгуз~,Л Зем 2 2а, ~=1 Отсюда при аз=05(х;+х; 1) имеем а,+а,+,=2х; и, следовательно, М н-т Х пг(у )з " ~ Х Чу~а + вз' 4 Е=т г=1 (42) Неравенство (41) будет выполнено, если потребовать н-т / н-т — уз+ ~~ хзу)Л> 0,5т1 — ~~ хЯЛ+ уе з т ~-т М-т — "~1- )у,+(1- — ',) Х х,утЛ~О.
Зчм Следовательно, схема (36), (37) устойчива при условии т( Лт/4, причем устой- чивость имеет место в норме / Ф ', 1/ 1(у1л = ~ Х 0,5(я!+ха,,) (у- г)'Л~ а=ь 4. Несамосопряженные разностные схемы. Рассмотрим двуслойную схему с весами " +оАу„,+(! — о)Ау„=О, (43) где А — оператор, действующий в вещественном конечномерном пространстве Н, со скалярным произведением (, ), а о — числовой параметр. Схема (43) имеет канонический вид (3), где В= =В+отА. Как и всегда, предполагаем существование В-'. В отличие от теорем 2 и 3 не будем требовать самосопряженности оператора А. Справедлива Теорем а 4, Если при любых оенНь выполнено неравенство (о — 0,5)тЦАоП'+(Ао, о) >О, (44) то схема (43) равномерно устойчива по начальньсм данным и для ее решения справедлива оценка 11у.+Д(!)у 11, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, (45) где 11у„11 =у'(у„, у„). Отметим, что ухудшение условия устойчивости по сравнению с обычным усло- вием устойчивости явной схемы т(0,5 Л' произошло лишь за счет разностного граничного условия (37), Доказательство.
Запишем схему (43) в виде уае~ = Оуь где Б=Š— тВ-'А, В=Е+отА. Оценка (45) эквивалентна тому, что )~Зу.!~ ~))у.)1. (46) В силу тождества !!Зу„~!'= (у„— тВ 'Ау„, у„— тВ-'Ау„) = '= !!у„Р— 2т(В-'Ау„, у„)'+та!)В-'Ау !)а заключаем, что неравенство (46) выполнено тогда н только тогда, когда (В 'Ау, у.) >0,5т|!В 'Ау„!Р. (АВ 'у, у„) )0,5т))АВ 'у.Г. (47) Обозначим о=В 'у„. Тогда (47) примет внд (Ао, Во) =-з0,5т))АоР нлн (Ао, о+атАо) )0,5т!!Ао!!'.
Но это неравенство выполняется в силу условия (44), что н дока- зывает теорему 4. Замечание 1. Если А — положительный оператор, то при о>1/2 схема (43) устойчива при любых т (абсолютно устойчива). 3 а м е ч а н и е 2. Если оператор А зависит от и, то в теореме 4 надо потребовать, чтобы неравенство (44) выполнялось при всех и. Пример 5. Рассмотрим разностные схемы для уравнения первого порядка — + — =О, Ос..1(Т, 0(х(1, (48) д) дх и(0, 1) =О, и(х, 0) =и,(х).
Введем сетку аь,= алла„где аь'=(хс=(й, 1=0, 1, ..., У, ЬУ=1), а,=(1,=пт, и=О, 1, ..., К, Кт=Т), н аппрокснмнруем задачу (48) разностной схемой ы л ' +оу„-"", +(1 — о)у;",=О, 1=1,2, ..., У, (49) у," О, и=0,1, ..., К, ус и,(х;), 1=0,1, ..., У, где о — числовой параметр н л л у-„,= й 1 Р1си 360 Учитывая перестановочность операторов А н В, последнее неравен- ство можно переписать в виде Введем пространство Н))' функций, заданных на сетке юь и равных нулю при (=О. Определим в Н~~и скалярное произведение и норму (у,о)= 'Я у~о~й, ЦуЦ=Ц~ф,у) т=т и зададим оператор А формулами (Ау)с = у„-,о ( = 1 ° 2. ° ° Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
