Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1). Введем пространство Н, как множество Нй~, функций, заданных на сетке в, и равных нулю при 1=0, (=Н. Определим в Нй~, Кв оператор (Ау)~= — у;„о 1=1,2, ..., М вЂ” 1, уо=уч=О. (16) Первое из условий (9), а именно операторное неравенство Я) 1 :. — А, в данном случае приводит к неравенству 4 — Е+ !! —" — — )А) О, ! (ад+а..
1! т~ ! 2 4) означающему, что — ~уГ+( — '' — — )(Ау, у) ) 0 4) для любого отличного от нуля уенН~~1,. Поскольку "(у1.) — (Ар,у), Л= —, Ь /Р неравенство (19) будет выполнено, если потребовать 1 а+а, 1 — + — — — ) О. Ьтз 2 4 Итак, схема (15) устойчива при выполнении условий а,+а~ 1 / 1! тт "-" — -~' — ) 2 4(, т) 84 (19) (20) (21) Следует отметить, что эти неравенства, полученные как доста- точные условия устойчивости, на самом деле очень близки к необ- ходимым условиям устойчивости схемы (15). А именно, применяя метод гармоник (см. $5 гл.
1), можно показать, что для устойчи- вости схемы (15) необходимо а,+а~ ! ! !1 т' о,>ат, — ) — !1 — — ), у= —. 2 4! т) Ь~ Частным случаем схемы (15) являются симметричные схемы (а,=а,=о), которые имеют второй порядок погрешности аппрокси- мации на решении задачи (14). В этом случае условия устойчи- вости сводятся к одному неравенству 1 г 1! а~ — !!1 — — ), у= —. (22) 4 т л~ Например, явная симметричная схема (а,=а,=О) устойчива при условии у(1, т.
е. т(й. П р и м е р 2. В $ 5 гл. 1 уже рассматривалась схема для урав- нения теплопроводности У!"-У,"- У!"„-(У","+ Уг-)+ У,", 2т /Р /Ръ имеющая аппроксимацию О(т'+Ь')+ О~ — ). Покажем, что эта 18 )' схема абсолютно устойчива. Перепишем ее в виде У. + — У-„+АУ=О, т' ав и где оператор А определен согласно (16). 388 Тогда получим, что схема (23) имеет канонический вид (3), где ср=0, В=Е и )т = — Е.
Условия устойчивости (9) сводятся к нера! =Ла венству — Е> — А, ! 1 Аа 4 которое всегда выполнено в силу (20). Тем самым схема (23) аб- солютно устойчива. $4. Об экономичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики 1. Недостатки обычных разностных методов. Цель настоящего параграфа дать первоначальное представление о некоторых разностных методах, предназначенных специально для решения нестационарных задач математической физики с числом пространственных переменных, равных двум нлн трем (такие задачи называют многомерными).
Прежде всего поясним необходимость применения специальных методов. В качестве примера рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности ди даи д'и — = — + х = (х„хй) ~ 6, дка дха "1 "и и (х, 1) = р (х, 1), х = Г, 0 <,. 1 ( Т, и(х,0)=и (х), х~6+Г в прямоугольнике 6 = (0 <х, <1„0 <х,<1а) с границей Г.
Введем, как обычно, сетку по времени йу,=(1„=лт, л=0, 1, ..., К вЂ” 1, Кт=т) и пространственную сетку ЙА = (хп = (х!о, х!1!), х у! = й, х~'! = 1йй), где 1=0, 1, 2, ..., )у',, 1=0, 1, 2, ..., )Уь причем И,)!1,=1ь ИаИа=(а. Множество внутренних точек сетки Оа (когда 1=1, 2, ..., У,— 1, 1=1, 2,..., !та — 1) будем обозначать через ва, а границу сетки й)ив через Т,. Таким образом, Та — это множество точек сетки О„принадлежащих границе Г прямоугольника 6, Будем обозначать ри = =р(хш 1 ), где х„Ы„1„яру,. Как мы знаем (см.
3 4 гл. 1), для решения уравнения теплопроводности можно применить либо явную, либо неявную разностную 13 А. А. Самарский, А. В. Гулим 369 схему. Рассмотрим сначала явную схему Уй" — Уи =Луд, если хи ~ в„, 4 е= а„ т (2) у,""=р(хп,1,+„), если хне=ух, гле=ыт, у,'. =и,(хд), если хд~-:йа, и=О, где Лд„ =Л,д„ + Л,д„, УГм ! Уд+Ув 1! Л,ун=у„- „.,= "1 (3) Уь~~~ — ЗУУ + Усу-~ Лтуд =У-, Решение разностной схемы (2) находится по слоям с помощью явной формулы ~~'=уд+тЛУ5, п=о,), ...,К вЂ” ), хи~а, причем используются начальные и граничные условия, заданные согласно (2). Таким образом, преимуществом явной схемы является простота нахождения значений у"„" .решения на верхнем слое.
Существенным недостатком этой схемы, не позволяющим использовать ее при практических расчетах, является условная устойчивость. Найдем условие устойчивости по начальным данным схемы (2), опираясь на теорему 2 из $2. При исследовании устойчивости будем предполагать, что граничные условия р(х, 7) равны. нулю. Введем пространство Н)м функций, заданных на сетке й, и равных нулю на 7., со скалярным произведением №-1 Уа-1 (У, о) = ~ч", й, 'Я йтднод. !=1 У=1 Определим в Н~" оператор А формулами (Ау) „= (А,у) и+ (А,у) и, если хе~еь„ (А,у)д = — у„-„д, (А,у)у = — у„-,„, д, (4) (Ау,у)(ЦУ)т, Ь= '+ — ' а ь 1 2 370 У„=О, если хаенТь Оператор А (пятнточечный разностный оператор Лапласа) изучался в $2 гл. 3. Было показано, что А — самосопряженный положительный оператор, для которого при любых у — Н~~,~~ справедливо неравенство Если записать схему (2) с !»=0 как операторное уравнение в пространстве Н~', то оно примет вид " +Ау„=О, (6) где у„=у(Ю„) енН»!".
Таким образом, схема (2) имеет канонический вид (7) где А определен согласно (4) и В=  — единичный оператор. Условие устойчивости (см. теорему 2 нз $2) В>0,5тА (8) в данном случае (при В=В) означает, что прн любых у!== Н»!'! должно выполняться неравенство 1~у!Г>0,5т(Ау, у).
Отсюда, учитывая (5), получаем, что схема (2) устойчива по начальным данным при условии (9) Это условие накладывает очень жесткое ограничение на шаг по времени т. Пусть, для определенности, Ь,=й,=й. Тогда неравенство (9) примет вид т ! — < —. »» 4 Если, например, 6=0,01, то устойчивость гарантируется при т(т„где т,=0,25.10-'. Предположим, что надо найти решение задачи (1) прн Т=!. Тогда, пользуясь схемой (2), надо совершить не менее чем п,=Т!т,=40000 шагов по времени. Разумеется, счет с таким мелким шагом неприемлем для практики.
По указанной причине при решении уравнений параболического типа избегают пользоваться явными схемами. В случае уравнений гиперболического типа условия устойчивости позволяют взять шаг по времени того же порядка, что и шаг по пространству. Поэтому для гиперболических уравнений явные разностные схемы используются гораздо чаще, чем для параболических. Рассмотрим теперь неявную схему для уравнения теплопроводностн =Лу".+", если лн !== а», Д„~ а„ т (10) у,","=р(хн 1„„), если хи~у», 1,!.-.=!в„ у,'.
=и,(хн), если хп!:=Й», п=-О. !з* зт! Эта схема устойчива при любых шагах т и й. Действительно, схему (10) с и=О можно записать как операторное уравнение Ул+1 У» + Аул„= О, где уело)м и оператор А определен согласно (4). Таким образом, неявная схема (10) имеет канонический вид (7), где В=Е+тА, причем условие устойчивости (8) всегда выполнено. Однако недостатком неявной схемы (10) является необходимость решения на каждом временнбм слое системы уравнений у» — тЛу» = Р», х» ~= вл, =рГ', х» я ул У» л» л л где у» =у», г™»=у». Решение подобных систем уравнений представляет значительную трудность. Методы, предназначенные для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида (см.
часть П, гл. 2), здесь непригодны из-за слишком большого размера системы. Действительно, если положить, например, й,=й,=0,01 и 1,=1»=1, то число неизвестных уч в системе (11) окажется равным примерно 10000. Положение усугубляется еще тем, что систему (1!) необходимо решать многократно (на каждом временнбм слое). Можно предложить приемлемые методы решения, учитывающие специальный вид матрицы системы (11). Один из таких методов рассматривался в 2 6 гл. 3, другие прямые и итерационные методы будут изложены в гл. 5. Здесь же мы остановимся на методах решения уравнения (1), которые основаны на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. При таком сведении возникают разностные методы, сочетающие положительные стороны явной и неявной схем: абсолютную устойчивость и простоту решения.
Начиная с пятидесятых годов, эти методы под различными названиями (методы переменных направлений, дробных шагов, расщепления, локально-одномерные методы) широко применялись 'для решения многомерных задач математической физики. 2. Пример метода переменных направлений. Рассмотрим подробно одну из разностных схем метода переменных направлений для уравнения (1), называемую продольно-поперечной разностной схемой или схемой Писмена — Рэчфорда. В этой схеме переход от слоя и к слою и+1 осуществляется в два этапа. На первом этапе определяют промежуточные значения ул'и из системы уравнений У~~+М У~~ » =Л,у)',Г *+Л,у», х» ~а вл, (12) О,зт лли а на втором этапе, пользуясь найденными значениями у» *, находят у;;" из системы уравнений лм »+к = Л,у»хм + Л у".." х» е= вв (13) О,зт зтз Здесь разностные отношения Л,и, Л,п определены согласно (3).
Уравнение (12) является неявным только по переменному х,. Поэтому уравнения (12), (13) можно решить последовательным применением одномерных прогонок, сначала по направлению х„а затем по направлению х,. Этим обстоятельством и объясняется название метода. Остановимся подробнее на алгоритме решения уравнений (12), (13). Перепишем уравнение (12) в виде (14) где У, = т76з, Р~; —— У»Н+ О,бтЛ»У~;. УРавнение (14) РешаетсЯ пРн каждом фик. сированном 1=1, 2,..., Уз — 1 методом прогонки по переменному г (см.
п. 7 $4 ч. 1). Чтобы применить прогонку, надо знать граничные значения (фУ», уф*, )=1, 2,..., Ут — 1. На постановке граничных условий для вспомогательной функпии и;:г ' мы остановимся ниже (см, п. 3). при каждом фиксированном 1 прогонка по направлению х, выполняется за 0(У~) арифметических действий. Следовательно, нахождение всех у',Ги требует 0(У,У») арифметических действий. ьу После того как все уи Д найдены, решается уравнение (13). Переписывая зто уравнение подробнее: 0,57зр~~ "~ — (1 — ут) у~;+' + О,бу,у,"),', = — Ф"; . 7» = цйз Ф» = улм»+ О,бтЛ,у~~)и, (15) »+1 »+т у;з = Р(лгз 1»+т) ргч, = Р(льч, 1»ьт) Нахождение всех у,".~)т из системы (15) требует 0(У,Ут) арифметических действий. Таким образом, при У,=У,=У нахождение у»гт по известным значениям с помощью метода переменных направлений требует 0(Уз) арифметических действий.
Для сравнения отметим, что решение двумерной неявной схемы (например схемы (!0)) с помощью стандартного метода Гаусса потребовало бы 0(У') действий, поскольку число неизвестных 0(У'). Нахоиогение решения у~",Г' неявной схемы с помощью быстрого дискретного преобразования Фурье осуществляется за 0(У'!од,У) действий (см. 4 6 гл. 3). 3. Абсолютная устойчивость продольно-поперечной схемы.Чтобы исследовать устойчивость продольно-поперечной схемы, исключим сначала из системы (12), (13) промежуточные значения у,","4 и получим эквивалентную разностную схему, связывающую значения неизвестных только на целых слоях и и и+1.
Затем применим к полученной схеме теорему 2 из $2 и убедимся в ее абсолютной устойчивости. 373 видим, что прн каждом фиксированном 1=1, 2,..., У,— 1 его можно решить с помощью одномерной прогонки по переменному 1( Граничные условия задаются в соответствии с задачей (1): Вычтем уравнение (12) из уравнения (13). Тогда придем к уравнению «ы» «т»4+ « О, 5'1 из которого получим «т1 « у«+4 — — Л2 (ут»1 — у«.), хн 1,.= «12, (16) «+' 11 + УП которое после очевидных упрощений приводится к виду 2«« Строго говоря, указанная подстановка возможна не во всех точках сетки 221.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
