Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Если выполнено условие (11), то все собственные значения оператора А,— действительные числа, причем для минимального собственного числа выполняется оценка )>и> ) б'>О. (14) Действительно, пусть )а — любое собственное число оператора А„и )а — отвечающая ему собственная функция, Аа)а=Л)а. Тогда согласно (11) имеем (~+, (а) а > 6 И (а Иа и, следовательно, Х)6. Для самосопряженного оператора А, верно и обратное: из условия (14) следует выполнение неравенства (11) при любых оаенНа. В данном случае любой элемент о,еиНа можно разложить по ортонормированной системе ()а„) собственных векторов оператора А„: оа = ~ са)М, и получить, что (Ааоа, оа) =,~ЯМ~>)'")аИоаИа~>6ИоаИ.а. Таким образом, можно сформулировать еще один признак корректности.
Пусть А,— самосопряженный оператор их )„— его минималь(а) ное собственное число. Если выполнена оценка ( 1 4) с постоянной 6 ) О, и е зависящей от Ь, то уравнение (2) корректно и для его ре)иения справедлива оценка ( 1 2) . Вернемся к примерам, рассмотренным в п. 1 . Введем в простр анстве Нан , (см . пример 1 ) скалярное произведение Я-а (у, о) = ~~' у)о;Ь )-а и норму у у-а ИуИ= ~~ч„" у,'Ь) )=) Тогда, как было показано в $1 гл.
3, оператор (7) является само- сопряженным в Нй, и для его минимального собственного числа справедливо неравенство (14) с константой 6=9/Р. Таким образом, разностная задача (3) корректна и для ее решения выполняется оценка (12), где функция )р определена согласно (6). В случае схемы из примера (2) скалярное произведение и норма в На(й,) определяются как н~-а ига (у о)=,Я Ьа,Я Ьууоу. ИуИ= у (у у) )'=) Оператор (9) является самосопряженным и для его минимального собственного числа выполнена оценка (14) с константой 6= 9!1И+ + 9/1а (см. $2 гл. 3). Следовательно, разностная схема (8) кор- 344 (15) Здесь фс=О(5»), т,=О(аз), 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, ас>~сс>0, 1 1, 2, ..., У, сг=а+0,5 Ыа с(с~)0, с О, 1, ..., У вЂ” 1.
Попытаемся применить условие (11) к оценке решения задачи (15). Запишем схему (!5) в операторном виде Аг=ф Для того чтобы матрица оператора А была симметричной, перепишем разностное граничное условие в виде — — — — Тогда оператор А и правая часть ф определяются ат о а следующим образом: ад а (Аг)о — — — гке+ гз гт =О, к,е 1 з (16) (Аг)с»» — (аг )„, + с(стс, 1 = 1, 2, ..., У вЂ” 1, к к,с ,,г ф= Я фь »Рт ° ° фх 1 (17) Введем линейное пространство Нй"' фуккций, заданных на Ял и равных нулю прн 1=У, и зададим скалярное произведение и норму М-1 (р, о) = ~ рсзсд, !! р!~ = У(Ь р).
Вычислим для оператора (16) и пронзвольного о с=НЯ! скалярное произведение (Ао, о). По определению имеем и-с М-1 (Ао, о) = — осок,зое+ сшз — ~ ЯЬ (ао-)к,си!+ Х аассос с=с с=с 345 ректна и для ее решения справедлива оценка !)У~ ((9/4„+ 911,') т)Д. Иногда оценок вида (12), в которых решение и правая часть вы- числяются в одной и той же норме, бывает недостаточно для до- казательства сходимости и выяснения порядка точности разностной схемы. В то же время оценки вида (10) со специально подобранной ноРмой пРавой части~(сук(сзз! позволЯют полУчить пРавильное пРед- ставление о порядке точности разностиой схемы.
Приведем соответствующий пример. Пример 3. В $3 гл. 1 изучалась разностная схема для задачи (а(х)й)' — д(х)и(х)+1(х) =О, 0(к(1, — Д(0) и'(0) +сга(0)» Вь и(0 -Мь й(х) >ос>0, д(х) >О, а>0. Было показано, что разиостная схема (3), (4) из $ 3 гл. 1 имеет второй порядок точности. Выпишем уравнение, которому удовлетворяет погрешность гс=ус — и(хс) (сетка 11» — та же, что и в примере 1): (аг )», с сгсг~= — фс, — а,г». о+ага» яь гк=О. Ранее было покааано, что при ел=0 справедливо гл.
1) М-1 м оао, "о+ Х Ь ( о-),1ог = Х ах 1=1 тождество (см. (16) из 5 3 а,(и- )'Ь. Поэтому м М-1 (Ао, о) = ~~ и;(и- )1Ь+ооо+ оа~ Ьа(1оог) а =1 1=1 Отсюда при о)0, аа)с,)0,1 1, 2, ..., У, получим (Ао, о) ) с, ~а' Ь (о- )о. ооо+ Х дог (~ оценку ( 18) Оценим снизу правую часть неравенства (18) через среднеквадратичную норму / М-1 11/о )га))= 'Я ЬО,' 1=о (19) Х ь(,)*) '1)о))с11п,! (20) а=1 где 1о!) = ю " ) ог). С<По! С другой стороны, для среднеквадратичной нормы (19) имеем М-1 ))о/)о~( апах )е1)о) ~ Ь=1()о)с<~ !. О~а~м-1 а=о (21) Отсюда и из неравенства (20) получим ',а' Ь(о )о)1 1))о))о и, учитывая (18), приходим к оценке (Ао, о))са( 1!)о))1.
Следовательно, для оператора (16) справедливо неравенство (11) с константой й=с,1-1, а для разностной схемы (15) выполняется оценка (12): !!х)) <с,'1оИф). (22) Для сеточной функции (17), учитывая, что та=0(Ь1), имеем М-1 ! ф)(а= Х Ьф;'+и,'IЬ =00ао). так что ))ф)1=0(Ь111) и неравенство (22) приводит к оценке 1)г))=0(Ь1!1). Такое понижение порядка точности по сравнению с доказанной в 6 3 гл, 1 точностью 0(Ь1) вызвано неудачным выбором нормы правой части ф Если в качестве нор- 346 Напомним, что согласно оценке (17) из $3 гл. ! при любых о 4Е Нм1о! справедливо неравенство мы взять, например.
1 р $$1 „1 =,Я Ь $ рг $ С=о (23) то длн функции (17) получим и-г $$ф1ма) =$т1$+,'Е Ь(ф1$=0(Ьо). (24) Оценим правую часть этого тождества следующим образом: и-з а'-т (ф,г)$= Я Ьфгг ~ Я Ь(ф1$$гг$~( 1=о г =о ог-з ~( -. ° $ гг$),'Е ь$ Р;1=1г$$с<а,)ф1(га1 Левая часть тождества (25) оцениваетса снизу согласно неравенствам (13), (20): (4г, г) >со( 'Мс1оо1.
Таким образом, длв схемы (15) справедлива оценка 1' $Ь о„, ( ~,'1 $$ ф $$п„,. (26) Из оценки (26), учитмвав (24), получаем, что 1г$$с о„1 — — 0(Ьз). Кроме тога, из (26) и (21) получаем, что (г(=0(Ь'). 3. Операторы первой разностной производной. На сетке й,=(х,=(Ь,(=0, 1,...,)$7, ЬЬ(=1) рассмотрим разностное уравнение первого порядка Уг У1-1 =фг, 1=1, 2,, ЬГю уо=)гх. (27) Введем пространство Н„функций, заданных на сетке во= (х =(Ь, 1=1, 2,..., М, ЬИ=(), и определим в Н скалярное произведение (у, и) = '~ угрей. ооы Зададим оператор А формулами (Ау), = — "', (Ау)г = Ь Ь 1 = 2, 3, ..., Л(.
(28) 347 Однако оценка (!2) не позволнет использовать норму (23). Поэтому можно поступить следующим образом. Умножая уравнение Аг=ф скалярно на г, получим тождество (Аг, г)=(ф г). (25) Тогда уравнение (27) можно записать в виде Ау=1р, где 1р -(т1+ — ', е„..., ем7! . Оператор А, определенный формулами (28), называется оператором левой разностной производной. Матрица этого оператора имеет вид (для определенности полагаем здесь У=5) ΠΠΠΠ— 1 1 О О О А= — Π— ! ! ОΠΠΠ— 1 1 О О О О Найдем оператор А", сопряженный оператору (28). По определению имеем (Ау, о) = ~ (Ау)!о1Л=У1о1+~ч„'Ь! — У1-1)о!= М М-1 М-1 о11, — з! УР1 ~ч1~ У1оп1 = — Я У1 и+Ум — Ь.
ММ Л Л 1=1 1 1 1=1 Следовательно, оператор А' задается формулами (А'о)1= — "' ', 1=1, 2, ..., Ф вЂ” 1, (А'о)м = —" . (29) Л Л (30) Тождество (30) доказывается непосредственной проверкой. Из (28) и (30) получаем (Ау, у) = у, '+ — 'Я (Уз)„-,.Л + — ~ч ', (у„-,)' й = Л =-'(У,*+ УМ)+-";Е (У;,)'й. 1=1 Полагая формально У,=О, получим (Ау, у) = — ~ (У„-,.)'Ь+ — у1м) — ~ч~ Л(у-,)', Л ", 1, Л 1=1 1=1 у, =О.
(31) алз Оператор (29) называется оператором правой разностной производной. Матрица оператора (29) является транспонированной по отношению к матрице оператора (28). Вычислим скалярное произведение (Ау, у) для оператора (28). Обозначим у-,,;= (У1 — у1 1)/Л и заметим, что справедливо тожде- ство Из неравенства (31) следует, в частности, что оператор (28) положительный: (Ау, у)>0 для всех уеиН„, уФО. Действительно, (Ау, у)>0 для всех уеиН„.
Если (Ау, у) =0 для некоторого у= = (у,у,... у )', то у,=у =О,у„-,. = О, т. е. у,=О, 1=1, 2,..., Н. $2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем 1. Канонический вид двуслойных разностных схем. Общая запись разностных схем в виде операторных уравнений Ааул=ирь удобная для стационарных задач, оказывается недостаточно детальной при переходе к нестационарным разностным схемам.
Поэтому при исследовании двуслойных и трехслойных разностных схем используются другие канонические формы записи. Пусть, как и прежде, задано семейство конечномерных линейных пространств Н„размерность которых зависит от параметра й. Параметр й считаем вектором с нормой ~й~. В приложениях к конкретным разностным схемам пространство Н, состоит из функций, заданных на пространственной сетке 11„характеризующейся шагом Ь. На отрезке [О, Т) введем сетку по времени а,= (1„= от, а= О, 1,..., К, Кт= Т) с шагом т>0 и будем рассматривать функции у(1„) енН, дискретного аргумента 1„~в, со значениями из пространства Н,.
Функции у(1„)~Н„могут зависеть параметрически от Й и т, у(1.) =ук.(1.) В дальнейшем будем обозначать у„=уь.(1.). Пусть заданы линейные операторы „„действующие в Н„, и функция ц„енН,. Двуслойной разностной схемой называется семейство операторно-разностных уравнений первого порядка В,у„+,+В,у„=в„, п=О, 1,..., К вЂ” 1, у,ыН, задан. (1) Учитывая тождество вин вп у.+,— — у.+. (2) получаем, что любую двуслойную разностную схему можно запи- сать на сетке в, в виде В "" " +Ау„=<р„, л=О, 1, ..., К вЂ” 1, у ЕБНь задан, (3) где А и  — линейные операторы, А=В,+В„В=тВ,. Каноническим видом (или канонической формой) двуслойной разностной схемы называется ее запись в виде (3).
Поскольку одну и ту же разностную схему можно записать многими способами, введение единообразной канонической формы записи облегчаев анализ и сравнение различных схем. По форме записи схема (3) напоминает абстрактную задачу Коши для зев дифференциальных уравнений — "+Аи(1) =1'(С), 1)0, и(0) =ир. М В случае конкретных разностных схем оператор А обычно представляет собой аппроксимацию пространственного дифференциального оператора,Ф, а оператор В задает ту или иную разностную схему. Поэтому запись схемы в виде (3) часто упрощает проверку аппроксимации.
В дальнейшем мы убедимся в том, что условия устойчивости двуслойной разностной схемы удобно формулировать в терминах свойств операторов А и В. Приведем несколько примеров. П р и м е р 1. Рассмотрим схему с весами для одномерного уравнения теплопроводности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
