Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Таким образом, рассматриваемый алгоритм решения задачи (1) состоит в следующем. Сначала по формулам (6) вычисляются коэффициенты Фурье правой части ~в. При каждом фиксированном < суммы вида (6) можно вычислить для Л=1, 2, ..., М,— 1 с помощью быстрого дискретного преобразования Фурье за число действий 0(М,1пУ,), а вычисление этих сумм для всех <=1, 2, ... ..., М,— 1 потребует 0(М,М,!пМ,) действий. Затем надо решить методом прогонки уравнения (5) для Л=1, 2, ..., М,— 1, что потребует 0(М,М,) действий.
Наконец, зная коэффициенты Фурье с„(<), можно восстановить решение «1, по формулам №-1 рп = 'Я с1Я)<л()), <=1, 2, ..., М1 — 1, ]=1, 2, ..., М~ — 1, 1=1 которые аналогичны формулам (6) и требуют того же числа действий 0(М,М,!и М,). Следовательно, изложенный здесь алгоритм может быть реализован за число действий 0(М,М,)пМ,). Для сравнения отметим, что обычный метод исключения Гаусса потребовал бы 0(М') действий и, кроме того, громадной машинной памяти. Недостатком данного метода является необходимость построения в явном виде собственных чисел н собственных функций одно- 333 мерной задачи. В случае, когда решение задачи на собственные значения в явном виде выписать невозможно (например, для краевых условий третьего рода или в случае переменных неразделяющихся коэффициентов), данный метод неприменим.
Заметим еще, что рассмотренный метод можно применять и для решения неявных разностных уравнений, возникающих при аппроксимации двумерных нестационарных задач, подобных тем, которые рассматривались в п. 4 $ 3. В этом случае уравнения, аналогичные (!), приходится решать многократно (на каждом временном слое), поэтому особенно важной становится экономия числа действий, которую обеспечивает данный метод. ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В главе 3 уже изучалась устойчивость разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности.
В настоящей главе изучается устойчивость двуслойных и трехслойных линейных разностных схем общего вида. Разностные схемы рассматриваются независимо от тех или иных исходных уравнений и определяются как операторные уравнения с операторами, действующими в евклидовом пространстве. Условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств.
Применение теории к исследованию устойчивости конкретных разностных схем состоит в приведении этих схем к каноническому виду и проверке выполнения операторных неравенств. Параграф 1 носит вспомогательный характер, в нем на примерах поясняется, что разностную схему можно рассматривать как операторное уравнение; при этом корректность схемы определяется не структурой разностного оператора, а его общими свойствами, такими, как самосопряженность и положительная определенность. В $2, 3 излагаются элементы теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем, а в $4 теория устойчивости применяется к исследованию экономичных разностных схем для многомерных задач математической физики.
й 1. Разностные схемы как операторные уравнения 1. Представление разностных схем в виде операторных уравнений. Разностные схемы возникают в результате аппроксимаций той или иной задачи математической физики и предназначены для ее приближенного решения. Поэтому в теории разностных схем важное место занимают вопросы аппроксимации дифференциальных уравнений разностными и сходимости решений разностных задач к решениям исходных дифференциальных задач. Однако будучи построенной, разностная схема превращается в самостоятельный математический объект и может изучаться вне связи с породившей ее дифференциальной задачей.
При этом отпадают проблемы 339 аппроксимации и сходимостн и остается лишь проблема корректности разностной схемы, т. е. ее разрешимости и устойчивости. Разностная схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений.
Ее всегда можно записать в векторной форме Лу=(р, (1) рассматривается разностная схема у-„,.= — 1ь 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, уз=(г„ум =1л,. (3) Перепишем систему (3) в виде 2у,— у, ьл ' =Г, — у-.,=1п лл,1 1=2,3, ...,У вЂ” 2, — ум + 2ум Ьл М-лл где,Г =1 +1х 1Ь*, 1лл-л=1л-, + рл/йл. Введем пространства Н„, размерности У вЂ” 1, состоящие из функций у(х), заданных для хавел, алл= (х,=(л, 1=1, 2,..., У вЂ” 1, ЬУ=!). 340 где А — матрица системы, у — искомый вектор и лр — заданный вектор, определяемый правыми частями разностных уравнений и дополнительными (начальными и граничными) условиями.
Такая запись наиболее удобна для стационарных разностных задач, в случае же двуслойных и трехслойных разностных схем будем использовать другую форму записи (см. 5 2, 3). Уравнение (1) можно рассматривать также как операторное уравнение, где А — линейный оператор, действующий в конечно- мерном пространстве Н, у — искомый элемент этого пространства и у~Н вЂ” заданный элемент. Для разностных схем характерно, что каждая схема определяет не одно уравнение (1), а целое семейство уравнений Алул=фл, (2) зависящее от шага сетки й. При каждом допустимом значении Ь оператор А, действует в конечномерном пространстве Н,.
Размерность пространства Н, зависит от шага сетки й и, как правило, неограниченно возрастает при 6-~0. Приведем несколько примеров записи разностной схемы в виде операторного уравнения (2). Чтобы записать конкретную схему в виде (2), надо ввести соответствующим образом пространства Н„ определить операторы А, и задать правые части лрл. Следующий пример уже рассматривался в $ 1 гл. 3. П р и м е р 1. На сетке л),=(х,=(й, 1=0, 1,..., У, ЬУ=1) Определим в Н, оператор А и вектор <р следующим образом: (Ау),= ~', ~', (Ау)<= — у-„„<, <=2, 3, ..., У вЂ” 2, (6) (Ау)»<, = /Р <р,=Гь <р;=<ь < — — 2, 3, ..., У вЂ” 2, <р»,=7»,.
(6) Тогда разностную схему (4) (или, что то же самое, разностную схему (3)) можно записать в операторной форме (1). Матрица этого оператора является симметричной и трехдиагональной. Например, для случая У=6 она имеет вид 2 — 1 ΠΠΠ— 1 2 — 1 О О А= —, Π— 1 2 — ! ΠΠΠ— 1 2 — 1 ΠΠΠ— 1 2 Возможно и несколько иное определение оператора А, позволяющее записать выражения для его компонент единообразно во всех точках сетки <»». Пусть Н»,— подпространство функций, заданных на сетке И, и обращающихся в нуль при <=О, <=У. Введем оператор А, действующий из Н»», в Н», и определенный формулами (Ау) = — у„-„и <=1, 2, .... У вЂ” 1, у»=у» =О, (7) и зададим вектор <р согласно (6).
Тогда по-прежнему разностную схему (3) можно записать в виде Ау=<р, где уев Н» ь <ренН» ь Такое определение оператора А мы уже использовали в $1 гл. 3. Подчеркнем, что формулы (6) и (7) определяют, по существу, один и тот же оператор. Разностные схемы для многомерных задач также можно представить в операторной форме (1). П р и м е р 2. В области 6(0(х„(1„, с<=1, 2) введем сетку И» = (хп = (х,о, х» 1) ~ х,' = Й„х» = /Ь„ Ю <П <О <П < = О, 1, ..., У„1= 0, 1, ..., У», Ь,У, =1„Ь»У» =1»).
Пусть у, — множество узлов сетки И„принадлежащих границе области 6 и <໠— множество внутренних узлов сетки И,. Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнение Пуассона у„— „, +у-„„,= — 7<6 если х<!я<а», (8) уу =О, если х<1 Е-:7». Пусть Н(И») и Н(<»») — линейные пространства функций, заданных соответственно на сетках И» и <»» Введем также подпространство Н'(И») функций, заданных на И, и равных нулю на у„. Размер- 34! ность этого подпространства совпадает с числом внутренних узлов сетки ьзь и равна (У,— 1) (И1з — 1). Задаче (8) соответствует опера- тор А, действующий из Н'(ьзь) в Н(шь) и определенный формулами (Ау)и = — у„-„и — у„-„,, если хп е= юь) уп =О, если хи ~уж (9) Разностную схему (8) можно записать в виде (1), где оператор А определен согласно (9), а компоненты вектора <ренН(оэь) задают- сЯ фоРмУлами фн=ф(хе) =1я, если хе~вы Свойства опеРатоРа (9) подробно изучались в 5 2 гл.
3. Можно было бы, так же как и в примере 11, определить оператор А как оператор, действующий из Н(юл) в Н(еь). Однако в данном случае зто привело бы к громоздким формулам. Например, только на одной части границы при 1=1 надо было бы задать значения оператора А формулами 2У 1 — у 1 (Ау)1= — у —, 1=2,3, ..., Нз — 2, Ь~ 1 х,х„п 2 ум — У„2уы — у, (Ау)м = + (А ) Ау) 2Уьч -т Узы т +2Утм,-т Уьч з А )„„, Из 1 3 Позтому удобнее использовать определение (9) оператора А. Если краевые условия (8) неоднородные, то, по аналогии с примером 1, меняем правую часть в приграничных узлах. 2.
Корректность операторных уравнений. Рассмотрим семейство операторных уравнений (2), где А,— линейный оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве Н„. Предположим, что в пространстве Н, заданы нормы !! ))1ц,1 и )! ))1аь1, в которых измеряются, соответственно, решение уравнения (2) и его правая часть. В соответствии с определениями, введенными в 5 6 гл. 1, будем называть уравнение (2) корректным, если 1) решение уравнения (2) существует и единственно при любых тра Н„, 2) существует константа М,)0, не зависящая от И и такая, что при любых трьенНь выполняется оценка !)Ул)), м(М,))чь))ыл. (1О) Как уже отмечалось, условие 1) эквивалентно существованию оператора Аь', а условие 2) — равномерной по И ограниченности А,,'.
Замечание. Свойство 2), выраженное оценкой (10), называется устойчивостью разностной схемы (2). Вообще, устойчивость какой-либо задачи означает, что при небольшом изменении входных данных решение изменяется мало. Таким образом, для исследования устойчивости необходимо рассматривать уравнение, которому удовлетворяет погрешность, возникающая в результате возму- 342 щения входных данных. Однако в случае линейного оператора Ал структура урав- нения для погрешности та же, что и основного уравнения (2). Поэтому прн ис.
следовании устойчивости достаточно ограни~иться оценкой (10). Действительно, рассмотрим наряду с (2) уравнение Алел = Фл (И отличающееся от (2) правой частью. Для погрешности гл-рл — ол получим уравненяе Алга йфл, где йфл=фл †>р>Π— возмущение правой части, если выполнена оценка (1О), то 1гл(ыв> ~ м110Фл1>лв>, следовательно,(алЦ л> -л 0 при 1офл1 л> -ьо н задача (2) устойчива.
Нетрудно получить некоторые достаточные условия корректности. Предположим, что ̈́— вещественное конечномерное пространство, в котором введены скалярное произведение (у, о), и ноРма 11У>(э=У'(У, У),. СпРаведливо следУющее УтвеРждение. Если существует постоянная б)О, не зависящая от й и такая, что при любом в,виН, выполнено неравенство (Алов, ол) л 'М б >1 оД, (! 1) то уравнение (2) корректно и для его решения выполняется оценка ()ул|~л~б- ((фл(!л. (12) Чтобы доказать существование и единственность решения уравнения (2), достаточно убедиться в том, что однородное уравнение Алел = О (13) имеет только тривиальное решение г,=О. Пусть гл — решение уравнения (13).
Тогда согласно (11) имеем б)(глава <(Алгл, гл) =О, откуда получаем »гДл=О и, следовательно, г,=О. Докажем оценку (12). Согласно условию (11) для решения уравнения (2) справедливо неравенство б~ул$л~~(фл, ул)л. Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем, что б|улЯЯ~флЦу4„. Отсюда немедленно следует оценка (12). Отметим связь условия (11) с оценками собственных значений оператора Ал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
