Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 56
Текст из файла (страница 56)
О О О А=— ! /Р О...— 1 2 — ! О... Π— ! 2 О О О О О О или подробнее у;~,+у,,= (2 — й'Л)уь с= 1, 2, ..., У вЂ” 1, У,=У„=О. (9) Разностная задача (8) представляет собой аппроксимацию дифференциальной задачи — и" (х) =Ли(х), 0<х<Х, и(0) =и(Е) =О, (10) решением которой являются собственные числа и отвечающие им собственные функции ил (х) = яп —, й = 1, 2, нйх Попытаемся поэтому искать собственные функции задачи (8) в виде нйх! ул(х!)=з!и — ', х!=!й, й=1,2, ...
(! 1) 3!2 которая называется матрицей разиостного оператора (6). Матрица А является трехдиагональной симметричной матрицей порядка !Ч вЂ” 1. Известно, что у такой матрицы существуют Л' — 1 действительных собственных чисел и столько же линейно независимых собственных функций. В случае оператора (6) можно выписать все собственные числа и отвечающие им собственные функции в явном виде.
Эти вопросы уже рассматривались в $4 ч. 1. Напомним полученные там результаты. Запишем уравнение (7) в виде У х!=Луп !=1, 2, ..., й! — 1~ Уо=ун =О, Ь!Ч=1, (8) Граничные условия у,=у =0 при этом выполнены. Подставляя (11) в уравнение (9), получим уравнение иЬ(х~+Ь) . пд(х,— Ь), пах; з)п ' + яп ' =(2 — Ь%) яп — ' ! или пах, ЬЬ аах; 2 гйп — соз — = (2 — ЬзЛ) з(п — ' ! ! Отсюда видно, что функция (11) является собственной функцией оператора (6), если 2соз — =2 — Ь Л, аЬЬ т. е. Л=Ль= — з1п —.
4 . ааЬЬ Ь~ 21 При Ь=!, 2, ..., У вЂ” ! получаем У вЂ” 1 различных действительных собственных чисел Л, и отвечающих нм собственных функций. Итак, решение задачи (8) имеет вид 4 . аЬЬ . ваги Ль = — $1!1~ —, р» (хч) = 51п— Ьа 21 1 х;=(Ь, 1=О, 1, ..., У, Ь=1, 2, ..., У вЂ” 1, ЬУ=!. (12) 3. Свойства собственных значений и собственных функций. Справедливы неравенства 0<Л,<Л « ... Ль<Лыч« ...Л,< †. 4 Для минимального собственного числа Л, в п. 5 $4 ч. 1 была получена оценка снизу Л,)б,)0 константой 6,=-9/Р, не зависящей от Ь.
Переходя к изучению свойств собственных функций, введем в пространстве Н (напомним, что Н вЂ” линейное пространство функций, заданных на в, и удовлетворяющих условию у,=у =О) скалярное произведение (Рз о) = ~~~ ГпМ и норму Оператор А второй разностной производной (6) является само- сопряженным в Н оператором, т. е. (Ау, о) =(у, Ао) для всех у, и~Н. Это сразу следует из тождеств, называемых разностными формулами Грина (см. также (15) из $ 3 гл. 1). Имеем по з!з определению У-т Ф-т Эг-т (Ау, о) = — с' у,-„го,й = — ~ у„дог+ 'Я у- рг = 1=1 Гчм г=1 Ф-т Ф У = ~ч„'у-„- рг — '~', у„-,.о;, = ч~, у-„1о;,Ь.
а=э Последнее равенство получено с учетом условия оэ=о =О. Меняя у и о местами, получим и (Ао, у) ='~~ о„-,у„-,й=(о, Ау). (13) г=т Следствием самосопряженности оператора (6) является ортогональность его собственных функций, отвечающих различным собственным числам. Действительно, пусть Ау„=Л,уы Ау„=Л у, Л,ФЛщ. Тогда (Ау„, у„) =Л,(у„у„), (Ау, у,) =Л (у, у,) и в силу самосопряженности имеем 0= (Ау„у ) — (Ау, у,) = (Л,— Л ) (у, у,). Отсюда и получим, что (у, у,)=0, если Л,ФЛ„.
Таким образом, система собственных функций (12) образует ортогональный ба- зис в пространстве Н. 3 а и е ч а н и е. Поскольку все собственные числа различны, то условие ЛдчьХ эквивалентно условию аФт. Таким образом доказано, что сумма лах~ лтхг ~Х ', Мп — э! и — а, Ьгт' = 1, г=т обраптается в нуль при эчьт. Это замечание потребуется в $2 при изучении собственных функций пятиточечного разностного оператора Лапласа.
Вычислим квадрат нормы собственной функции у„(х). В случае дифференциальной задачи (!0) имеем с . элях 1 ~и)!э= ~з!пз — с(х= —. 1 2 Покажем, что и в разностном случае собственная функция у,(х) имеет ту же самую норму )Ч/2. По определению имеем льх, . лФхг !!У~ = ~~~~ и з1п — = ~ Ь 51п 1 1 г 1 Преобразуем выражение, стоящее под знаком суммы лах; ! / 2лах~ 1 з!и' — ' = — ~! — соз — ), 2 314 и учтем тождество 2Ы (кг+ О,аа) 2ик (к; + О,ба) . аьа 2аккг яп — яп =2яп — "соз — '. ( 1 ( Тогда получим щ ( г' .
2па (км + о,аа) наа '1 ( ПИ'= —— ~яп — яп — ! =— 2 4 зш (яка Н) 1 ( 2 Таким образом, система собственных функций ра(х)= р — яп —, )г=1,2, ..., У вЂ” 1, ч / 2 . нак х=хь (=1„2, ... „У вЂ” 1, ЬУ=(, (14) у(х) ='~ сл)га(х), хЕ= ым к=1 где с,= (у, )г,) — коэффициенты Фурье. Из (15) и ортонормированности системы (р„) следует тож- дество (15) !!у1'=(у у) =Х Используя разложение (15), получим и-1 У вЂ” 1 Ау (х) = 'Я сь4)гк (х) = ",„ 'ск),ьрл (у) (Ау, у) = '~~ ск) м (16) Из тождества (16) следуют важные неравенства Л,!!у!!'< (Ау, у) <),!!у!!', (17) справедливые для любого уенН.
Учитывая доказанные выше оценки для собственных чисел, получим из (17) неравенства ЮТ< (Ау. у) < — „', !!уП'. (18) Из (!8) следует в частности, что (Ау, у) )О для всех уенН, у~О. Операторы, обладающие этим свойством, называются положительными операторами. Неравенство А)О будет означагь, что А — положительный оператор. В дальнейшем мы будем часто использо- 31Б образует ортонормированный базис в пространстве Н. 4.
Операторные неравенства. Любой элемент у~Н можно разложить по базису, т. е. единственным образом представить в виде суммы вать и другие операторные неравенства. Неравенство А)0 означает, что (Ау, у) )О для всех уенН. Для двух операторов А и В неравенство А)В означает, что А — В)0. В этих обозначениях свойство (18) можно записать в виде операторных неравенств ЬЕ<А< — Е, й где Š— единичный оператор.
Рассмотрим теперь разностный оператор Л с переменными коэффициентами, определяемый формулами (Лу)г= — (ау„-)„,п 1=1,2, ..., М вЂ” 1, у,=ун =О, (19) где 0<с,<а,<с,. Покажем, что Л вЂ” самосопряженный и положительный в Н оператор и получим оценки, аналогичные (18). Для любых у, оенН имеем и-1 и-1 и-1 (Лу, о) = — 'Я (ау-,.),по;й = — ',~', а;„.,у,. ай + 'у', а;у;,.о; = а=1 1=1 1=1 н-1 М М = ~ а;у; р; — ~~~„а;у-„.о;, = ~ а~у„-,о„-,й. Отсюда видно, что (Лу, о) = (у, Ло) и (Лу, у) = ~~1,' а~у-„',й.
(20) Из тождества (20) получаем неравенства с, ~ч", у-',.й<(Лу, у) <с,'~ у-„',й. Согласно (13) имеем (Ау, у) = ~ у'-„й, 1=1 где А — оператор, определенный согласно (6). Поэтому последние неравенства можно переписать в виде с, (Ау, у) < (Лу, у) <с,(Ау, у) или в виде операторных неравенств с,А <Л<с,А. (21) Два оператора, А и Л, называются энергетически эквивалентными операторами, если выполнены неравенства вида (21) с положительными постоянными с„с,. Название объясняется тем, что в приложениях выражение (Ау, у) представляет собой энергию само- сопряженного положительного оператора А.
Константы с„с, на- 316 зываются константами эквивалентности операторов А и Л. Норма ~)у1~* —— у(Ау, у) называется энергетической нормой, порожденной оператором А. Из (21) и (18) получаем неравенства стбЕ«-Л =.— "- Е, 6=— нз которых следует, что спектр оператора (19) принадлежит отрезку [с,б, 4с,/Ь'). Свойства матричных неравенств, доказанные в п. 3 $4 гл. 2 ч. П, остаются справедливыми и для операторных неравенств в конечномерном пространстве Н со скалярным произведением, если только заменить в соответствующих неравенствах транспонированные матрицы А', В' на сопряженные операторы А', В'.
В частности, если А'=А)0, то существует квадратный корень Ав из оператора А, который является самосопряженным положительным оператором. Если Š— обратимый оператор, то операторные неравенства А)В, 1.*АЕ)1.'Вь эквивалентны. Если С*=С)0 и а, р — любые вещественные числа, то эквивалентны неравенства аС>рЕ, аЕ= рС '. 5 2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа !. Самосопряженность. В $1 гл.
2 изучалась разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Эта задача порождает оператор, который называется пятиточечным разностным оператором Лапласа и определяется следующим образом: (Ау)п = — у-„оч и — у;, ... (1) 1=1, 2,, У,— 1, 1'=1, 2,, Ж,— 1, Ь,Л~,=1„Ь,М,=1„ у(хв) =О, если хвану.
Прямоугольная сетка Я=в()у с шагами Ь, и Ь, состоит из узлов хц =(х<'~, хп'), хю=.(Ьм хо~=)Ь м з ю 1=0, 1, ..., У„1=0, 1, ..., У„Ь„М„=1„, о=1, 2, в — множество внутренних узлов сетки (г и у — граница 11. Предположение о том, что да=О на у, не является дополнигельным ограничением в случае задачи Дирихле, поскольку можно считать, что неоднородные граничные условия учтены правой частью операторного уравнения Ау=1. Введем линейное пространство Н функций, определенных на сетке 11 и обращающихся в нуль на у. Это конечномерное пространство размерности (У,— 1) (М,— 1).
Определим в Н скалярное 377 произведение и норму №-«№-« (у, и) = 3 й 3 Ь«у»о!!, ! И = )/Ь, у) №-« Л, «У«м«~~! !з,К ~У~~,» «~,» — 'Я й ..и"= — о- . 1еа (2) и при каждом!=1, 2, ..., Н,— 1 — тождество №-« № ,~~ "«у„„, »и» =, ~~ й«у„„»"„,»! /=1 !=1 (3) где у-„„;! = (у!! — у-.,!)Iй, у,-,,» = (у;! — у,!;)!'и.. Из (2) и (3) получим №-«№-~ — Ьз ~~~~ й~у„- »о~! №-ь №-1 !'«ух,«,,»» /=1 №-1 № №-«№ Хь Хйуу»+Ей Х йу«»«» 4еи !ев з=1 $=1 т.
е и, л № ~ № (Ау,о)=~ й, ~~~ й,у-„»о„- !!+ ",~ й,'Я й,у-,,!о«,. (4) 1=1 /=1 ь=1 !=1 Поскольку функции у и о входят в правую часть тождества (4) равноправно, получаем, что (Ау, и) =(у, Ао) для любых у, оевН. Итак, оператор А — самосопряженный. 2. Оценка собственных чисел.
Положительность оператора. Рассмотрим теперь для этого оператора задачу на собственные зна- чения АУ=Лу или, более подробно, у„- с!+ у- ! + ).у» = О, х» е= ы, ув=О, х~!~ "( Так как А — самосопряженный в Н оператор, существуют (й(,— 1) Х Х (!т« — 1) действительных собственных чисел, а система собствен- ных функций образует в Н ортогональный базис. 818 Будем считать, что оператор А действует в пространстве Н. Покажем, что оператор А, определенный согласно (1), является самосопряженным и положительным в Н оператором. Пусть у, иеиН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
