Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Так же как и в $ 1, можно доказать, что при каждом 1= =1, 2, ..., Н,— 1 справедливо тождество Выпишем в явном виде решение задачи (6). Рассмотрим два набора чисел Л», = — 51П вЂ”, й» = 1, 2, ..., У, — 1, 4 . 5 л»»а» ь» 21, 1 Л» = — 51П 4 ° » юй/»» й,=1 2 ... Ух — 1 В Ь» 21 г и образуем всевозможные суммы вида Л»»,=Л»,+Л»л йа=1, 2, ° ° ° ~ Ха 1з л=1, 2. (6) Далее, рассмотрим системы функций л»»хдп! Р»,(х111) =- )/ — 51п, х! =1, 2, ..., У,— 1, 1 1 х111 =(л„" 1=0, 1, ..., Уд, л»У»=11 — х, Ч> / 2 . л .х, )»», (х1Л) = ~/ — 51п —, йх = 1, 2, ..., У вЂ” 1, $/1, 1, хп! =16», 1 = О, 1, ..., Ум й»У»=15 и образуем всевозможные произведения вида р» (х1!) = р», (х111) р», (хЭ), й=(йь й»), Й,=1, 2, ..., У,— 1, й»=1, 2,..., У,— 1, хц = (ха!1, х1л) е= 5».
(7) является собственным числом пятиточечного разностного оператора Лапласа (1), которому отвечает собственная функция 2 л»»х111 л»,хн! р» (хп) = 11»,»,(хп) ==5!и — 51п— (9) )/!А !» !э Индексы й=(йь й,) и п»=(ть и»,) назовем совпадающими, и обозначим й=т, если А,=гйь й,=гп» и несовпадающими (алчет) — в противном случае. Покажем, что прн й~»п функции р» и р являются ортогональными, т. е. (р„, р ) =0 при ЙФт. По 3!9 Учитывая результаты $ 1, относящиеся к одномерной задаче на собственные значения, можно простой подстановкой чисел (6) и функций (7) в уравнение (6) убедиться в том, что прн каждом и= (йь А») число Л» = Л»,», = — 51п — + — 51п 4 .
» ла»а! 4 ° » л»Фа (8) аз 2! Ь» 2!» 1 » определению имеем М»-1 (ры р ) = я Й1 я йзрм(х"') рм (хп»)р (хю) р„(хш) = — /=1 »» /М»-1 = ~ ~~ Ь1 рд (хю) р,, (хй)) ~ '~~~ й,)1м (хи>) р (хй) 1=1 Согласно замечанию на стр. 314 в $1, по крайней мере одна нз сумм, стоящих в круглых скобках, равна нулю при дат. Аналогично доказывается, что норма функции (9) равна единице. Таким образом, система функций (рьаа(х11))1,',1,"="'1 ' образует ортонормированный базис в пространстве Йн числа Л„,,„определенные согласно (8), составляют при й,=1, 2, ..., У,— 1, й,=1, 2, ..., У,— 1 весь спектр оператора А. Пользуясь результатами 9 1, относящимися к оценкам собственных чисел одномерной задачи, получаем, что все собственные числа (8) удовлетворяют неравенствам — + — (Ль = — +— 9 9 4 4 (1О) Р 11 а1 а1 1 1 1 1 Наименьшее и наибольшее собственные числа Л»»ап = — зпз — + — 51п — Л»»»»1= — соз — + — соз — .
(11) 4 . 1 па, 4 . 1 па» 4 зпа1 4 зла» 211 а1 211 ' а1 211 а1 211 1 1 1 1 Так же, как и в $1, получаем оценки для энергии оператора Л,.!!у!!'< (Ау, у) <Л !!у!!'. Заметим, что согласно (4), М» М»-1 М»-1 М» (АУ, У) ='~» й, ',» Ьг(У-, и) + '~»', 31~ йз(У„- у) . 9 3. Исследование устойчивости и сходимости схемы с весами для уравнения теплопроводности 1. Исходная задача и разностная схема. Схема с весами для уравнения теплопроводности рассматривалась в $4 гл.
1, где была исследована ее погрешность аппроксимации и найдены необходимые условия устойчивости. В настоящем параграфе дано полное исследование устойчивости и сходимости схемы с весами и получены оценки погрешности. Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводностн — = —,+)'(х, 1), 0(х(1, 0(1(Т, дК1 и(0, 1)=и(1, 1)=0, 0(.1 =.Т, (1) и(х,0)=и,(х), 0<х<1.
З29 Введем сеткУ Гй„=ГйаХ Гй„где Гйл=(х;=й, 1=0, 1, ..., й(, ЬМ=1), Гас=(1„=пт, п=О, 1, ..., К, Кта Т), и обозначим у," =У(хь 1 ), Уам — У",, У"и, — 2У",+У,", Уакв— и Аа Дифференциальную задачу (1) заменим на сетке Гй„разностной задачей ус1= оу„-,'Г+ (1 — о) у„-"„а+ Гр» (2) 1=1,2,...,Ф вЂ” 1, п=0,1,...,К вЂ” 1, где в — число и сра — сеточная функция, заменяющая функцию 1(х, 1). К уравнениям (2) следует добавить разностные начальные и граничные условия у,"=у" =О, и=1, 2,, К вЂ” 1, (3) 1=0, 1, ..., Л!. У,' = иа (хс), Разностная задача (2), (3) называется схемой с весами для уравнения теплопроводности.
Точность этой разностной схемы характеризуется погрешностью г,"=у," — и(хь 1„). Для погрешности получаем задачу гсх = вг;.'х+ (1 — о) г-.* с+ ф» (4) 1=1, 2,..., )и" — 1, п=О, 1,..., К вЂ” 1, г,"=г, =О, га=О, 1=0,1, ..., У, где ф = — исх + аи",-,"Г + (1 — о) и-"„, + сре — погрешность аппроксимации схемы (2), (3) на решении задачи (1). В $4 гл. 1 было показано, что при надлежащем выборе ~р," справедливы соотношения а и 1 Аа ф; =О(та+ й') при в=в,= — — —, 2 12т фс =О(та+ йй) при в=0,5, $,".
= О (т+ йй) при в ~ а., о Ф 0,5. В настоящем параграфе мы получим оценки решения разност- ной задачи (2), (3) через начальные данные У,' и правую часть Гр» выражающие устойчивость схемы по начальным данным и по пра- вой части. Из этих оценок будут сразу следовать оценки погреш- ности гс через погрешность аппроксимации ф» характеризующие сходимость и точность схемы (2), (3). 11 А.
А. Самарский, А. В. Гумми З21 Для того чтобы схемой (2), (3) можно было пользоваться, необходимо, чтобы уравнение (2) было разрешимо относительно у"+'. Введем оператор, уже рассмотренный в $1, а именно оператор второй разностной производной (АУ);= — У„-,о 1=1,2, ..., У вЂ” 1, Уо=уч=О. (5) Тогда схему (2), (3) можно записать в операторном виде 5+1 И + оАу .~1 + (1 о) Ауп ~рл уч и~ (6) где у"=(у,", й, ..., уй,)т, <р" =бр,", ..., ~4,)~, и'=(и,(х,), и,(хд,..., и,(х,) )г, или, что то же самое, в виде (Е+отА) у"+'= (Š— (1 — о) тА) у" + юр", где Š— единичный оператор. Разрешимость уравнения (6) относи- тельно у"+' эквивалентна обратимости оператора В=Е+отА.
Опе- ратор В будет иметь обратный, если потребовать 1+отЛд>0, й=1, 2,..., 1У вЂ” 1, (7) где Л,>0 — собственные числа оператора (5). В дальнейшем всегда будем предполагать, что неравенство (7) выполнено. Заметим, впро- чем, что условие разрешимости (7) следует из полученного далее условия устойчивости схемы (2), (3). 2. Устойчивость схемы по начальным данным. Переходя к иссле- дованию устойчивости схемы (2), (3), будем искать ее решение в виде разложения по ортонормированному базису (рм)ь=,' ных функций оператора (5).
Явный внд собственных чисел и соб- ственных функций и, дается формулами (12), (14) из $1. При каждом п решение у,". =у(хь 1„) можно представить в виде И-1 у (хь 1„) = ~ сл (1„) 1м (х;). (8) ь=1 Правая часть ~р," уравнения (2) также допускает разложение и-1 ~~(хь 1„) = '~~~ ~рь(г'„) и (х~). (9) Здесь с„(1„), ~р„(1„) — коэффициенты Фурье функций у(хь 1„), <р(хь 1„) соответственно.
Подставляя (8) и (9) в уравнение (2) и учитывая, что (р„(х)) ... = — Змр„(х,), получим Г с (г,1 — (1,1 ~~~ рз(х~) [ "" " + оЛьсь(1„„) + Лео +(! — о) Льсь (1„) — ~рь (( ) ] = О. В силу линейной независимости функций п,(х) отсюда следует ра- 322 где ! — (! — о) Юй 1+ )< (12) Выражение, стоящее в знаменателе, положительно согласно (7). Учитывая (8) и (11), представим решение у"," задачи (2), (3) в виде М-1 у<" = ',"„~ <)йсй ((„) + <(>й ((„) ~ рй (х<). (18) 1+ от><й Обозначая у<" = ",~~~ <)йсй ((„) рй (х;), а=1 М-1 у";" = ~ <)>й ((„) рй(х<), 1+ от)<й (14) получим, что у;"'=у;"+ у<".
Оценим по отдельности нормы функций у"+' и у"+'. Из (14) в силу ортонормированности базиса ()<1) получаем и-1 М-1 <>у ~1 йй — '~ (у!'"1)й /1 ~к~~,~й (с (( ))й и, следовательно, /М-1 < и 1у"")((Я (сй(())й) шах )(>1~ =~у" (! шах !<)й~. й=< Потребуем, чтобы выполнялось условие (<)1~(1, 1=1, 2, ..., й! — 1. Нетрудно видеть, что (16) эквивалентно условию 1 ! о) — —— 2 т)<м (16) (17) заз венство нулю выражений, стоящих в квадратных скобках, т. е.
йй (С„+1) — Сй ((„) + о).йсй (1„„) + (! — о) )<йсй ((и) =<Гй(( ), (1О) т п=0, 1,..., К вЂ” 1, м=1, 2,..., >>( — 1. Уравнение (!О) при каждом й представляет собой разностное уравнение первого порядка относительно с<">=ой(1„). Чтобы выделить единственное решение, надо задать начальное условие сй(0) = = (У', )<1). Из уравнения (10) получаем сй ((-д =<(йсй(1«) + ~й ((.) (1 !) ! + от)>й где Л,= — соз — — наибольшее собственное значение операто- 4 чп» "'= «ч 2! ра (5). Условие (!7) будет выполнено, если потребовать л а~ )— — — .
2 4т Заметим, что из (17) при любом й=1, 2, ..., 7ч — 1 следует неравенство тЛ4 1 + отЛь ) — ) О, 2 т. е. неравенство (7). Итак, если выполнено (18), то справедлива оценка !!у !! < !!у !!. (19) По существу, эта оценка означает устойчивость схемы (2), (3) по начальным данным. Действительно, если в уравнении (2) чч"=— О, то у7" =УГ', и из (19) получаем !!у"'!!<!!у !!<!!у" '!!< "<!!у'!!, что означает устойчивость схемы (2), (3) по начальным данным в норме /и-ъ ! и Ь!1=Я М~ 1=~ (20) !!у"+'!!<!!у'!!, п=О, 1, ..., К вЂ” 1, где норма !!у!! определена согласно (20). Заметим, что неравенство (18) совпадает с полученным в $4 гл. 1 необходимым условием устойчивости схемы (2), (3).
3. Устойчивость по правой части и сходимость. Чтобы оценить функцию у +' (см. (15)), усилим условие (18) и потребуем выполнения неравенства 1 (1 — е) Ь~ а) —— 2 4т (21) 1 1 — в с постоянной е~(0, 1). Тогда а) — — — ° и при любом й= 2 тЛн д =1, 2,..., 7ч' — 1 получим тх (1 — е) Ль (1 — е) Лн 1+ отЛ4) — + 1 — ) 1 — ~ ' =е)0, 2 ЛФ-ь Лн Таким образом, приходим к следующему выводу.
Если параметры схемы (2)„ (3) связаны неравенством (18), то схема устойчива по начальным данным и при любых у'енН для решения задачи (2), (3) с !р," =— 0 справедлива оценка т. е. 1+отЛ»)е)0. Из разложения (15) получаем М-1 » М-1 Цу""Ц = ~ (Е(1.)) ( — Х (ре(!«))', (!+всЛь)' е' „ следовательно, Цу""Ц( —,' Цц'Ц (22) Если о)0, то условие (21) становится лишним, так как 1+отХ„~~1 и оценка (22) выполняется с е=1. Из неравенства треугольника Цу»+3Ц ()1у»~-1Ц „! Цу»+1Ц и оценок (19), (22) получаем неравенство Ь-П-Ь.И+-Ц И, е (23) справедливое при п=О, 1, ..., К вЂ” 1.
Суммирование (23) по п при- водит к оценке Цу-Ц Ц Ц+ — ' Ц'Ц е щ!а» Итак, если выполнено условие (21) с ее= (0„1), то схема (2), (3) устойчива по начальным даннь!м и по правой части, причем для ее решения справедлива оценка (25). Если о= 0 и выполнено условие (18), то справедлива оценка (25) с е=1. Из оценки (25) и требования аппроксимации следует сходимость схемы (2), (3). Для задачи (4) оценка (25) принимает вид Цг""' Ц( — шах Ц!ргф. (26) е щ;/а» (25) Следовательно, Цг"+'Ц имеет тот же порядок малости, что и по! ле грешность аппроксимации. В частности, при о=о.= — — —, 2 !2т <р," =!'(хк, !»,и)+ — !'(хс, !»,и)+0(т'+Й') имеем ЦфЦ=О(т*+й'), а условие устойчивости (21) выполнено с е=2/3, поэтому Цг"+'Ц= =0(т'+й'), т. е.
схема имеет второй порядок точности по т и четвертый — по й. Если о=0,5, !р",. =~(хь 1„+и,) + 0(т'+5*), то условие устойчивости выполнено при любых т и й н Цг"+'Ц=О(т*+1!»). При остальных значениях о имеем Цг"+'Ц = 0(т+5*), если выполнено (21) с ееи(0, 1), или если о~О и выполнено (18). Ц ул»1 /! ( Ц уз Ц 1 лтР т Ц !р! Ц (24) е !ча которая означает устойчивость задачи (2), (3) по начальным данным и по правой части. Из оценки (24), учитывая условие тп(Т, получим (27) (28) уа=О, хчентл.
По переменной г введем равномерную сетку ы,= (г„=ат, и=О, 1, ..., К, Кт=Т) и обозначим у",. =у(х,"~, х~~>, 1„). Дифференциальную задачу (27) аппроксимируем разностной схемой с весами ди — ди +оАу,","+(1 — о)Ау', =О, 1=1,2, ...,У,— 1, 1= 1,2, ..., У,— 1, и=0,1, ...,К вЂ” 1, (29) уи = и, (хФ, хат), хи ~= ()л, у",.'=О, хи е=ул, а=1, 2, ..., К. ~ При о=О получаем явную схему, для которой решение у,".+л выражается явным образом через значения у,"у. Если очьО, то схема неявная и для нахождения у";," требуется решить систему двумерных разностных уравнений. Методы решения таких систем будут изложены в гл. 5, а один из методов рассматривается в з 6 настоящей главы. Схема имеет второй порядок аппроксимации по й и первый по т (за исключением случая о=0,5, когда по т также второй порядок аппроксимации).
Рассмотрим вопрос об устойчивости схемы (29) по начальным данным. Исследование устойчивости проводится точно так же, как зза 4. Схема с весами для двумерного уравнения теплопроводности. Пусть область 6 — прямоугольник (0<х <1, а=1, 2) с границей Г. В области Я=ОХ(0, Т) рассмотрим первую краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности ди дли дли — = — + —, (х„х,, 1)~Б Я, дкл дкл 1 3 и (х„х„О) = и,'(х,, х,), (х„х,) «р 6, и (х„хм 1) = О, (х„х„т) б= Г Х(0, Т). Оператор Лапласа аппроксимируем так же, как и в $2, пятиточеч- ным разностным оператором. Для этого введем сетку л)л по про- странственным переменным следующим образом: Я» = (хи = (х<~>, хш) ~ х<~> = й, х<~> =)йл, 1=0,1, ..., У,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
