Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Шести- точечная симметричная схема (о=0,5) монотонна при условии т(й'. В $4 из гл. 1 отмечалось, что необходимым условием устойчивости схемы (5) является условие о) — — —. ! 1 (9) 2 47 Сопоставляя с (7), видим, что монотонность является, вообще говоря, более сильным требованием, чем просто устойчивость. В следующей главе будет показано, что условие (9) достаточно для устойчивости схемы (5), однако не в сеточной норме С, а в среднеквадратичной норме.
ззз С помощью принципа максимума можно исследовать также устойчивость разностных схем с переменными коэффициентами. П р и м е р 2. Рассмотрим схему (25) из $4 гл. 1: и л лай Ус в Рс =(аУ„-) с, где а=ос, 0(сс <ас (с„р; >с,>0. Переписывая это разностное уравнение в виде л с л в, л) Рс «и ! л в л в С Рс лсвс + лс — ус = —, (ас,суссс + асу;,) + ~ — —, 7!Ус, (10) Ил (,с получаем, что схема монотонна при условии т(лс„+ лс) (р,", с'=1,2, ...,У вЂ” 1, а= — 0,1, ...,К вЂ” 1, (11) (ср.
с (27) из $4 гл. 1), которое и является условием устойчивости данной схемы. Оно будет выполнено, если потребовать тгл ! — ( —. Иллл 2 Последнее неравенство совпадает с условием устойчивости, полученным в $ 4 гл. 1 при помощи принципа замороженных коэфсрициентов. Получим априорную оценку решения задачи (10) через начальгные значения ус при условии (11). Предположим, что у,"=уя О, л=О, 1,..., К, и обозначим 1У«!~с„в! = псах /У!'1 с~са«с-1 'Тогда в силу неотрицательности коэффициентов уравнения (10) зсолучим 1у 1( Ь"!1 с.
!. Р", Рс и, следовательно, Ь"" Ь,.„! <Ьл~~,.„, < " < Ь' 1„.„,. Рассмотрим теперь краевую задачу для уравнения первого порядка — + — =О, х)0, 1)0, ди ди дС дк (12) и(х, 0) и,(х), х>0, и(0, 1)=рл(!), !>О. Известно, что решение и(х, !) этой задачи переносится по характеристикам 1=х+сопз1 с начальной прямой, т. е.
и(х, !)= =и,(х-!), если х>! и и(х, !) =!с,(! — х), если х<б Л66 Пример 3. В квадранте х>0, 1>0 введем сетку с шагом Ь по х и шагом т по 1 и обозначим х,=(Ь, 1=0, 1,..., 1„=пт, и= =О, 1,..., у," =у(х„г„). Одна из простейших схем для уравнения (12) имеет вид + ' '' =О, 1=12, ..., п=012, ..., (13) а у,'.=и,(х;), (=О, 1, ..., у,=и«(1»), п=1,2, ... Записывая уравнение (13) в виде, разрешенном относительно у,"+', получим у,""=(1 — у) у",+уу,з„у= —.
Отсюда следует, что схема (13) монотонна при условии т(Ь. Пользуясь приемом, изложенным в ф 4 гл. 1, можно показать, что условие т(Ь и необходимо для устойчивости схемы (13). Другая схема У~» У~~ + Уй» У; т а Более того, эта схема абсолютно немонотонна при любых т и Ь. неустойчива. Явная схема л+1 л У. — У. '' =0 2Ь Ф имеющая второй порядок аппроксимации по Ь, также немонотонна и абсолютно неустойчива. Если в последней схеме заменить У'," на полусумму 0,5 (у,".„+у,",,), то получим разностную схему л+1 ОЗ л л л л + '" '' — 0 (14) 2а которая монотонна при т(Ь.
Однако указанная замена ухудшае~ аппроксимацию, погрешность аппроксимации схемы (14) является величиной 0(т+Ь')+0(Ь*/т). В этом легко убедиться, если записать схему (14) в виде л л Й л «! 2 где ул (у» ул )/(2Ь) Пример 4. Рассмотрим еще одну схему для уравнения (12): у, + у, 0 5Ьт ул (15) «з ««" Здесь т,>0 — постоянная, не зависящая от т и Ь. При т,=О по- лучаем абсолютно неустойчивую схему. Введение искусственного Зат добавка О,бйч, у' в правую часть уравнения делает схему услов»»я но устойчивой, понижая одновременно порядок аппроксимации по й до первого.
Схемы, аналогичные (15) и аппроксимирующие уравнения газовой динамики, называются схемами с искусственной .вязкостью (см. [36)). Записывая уравнение (15) в виде у""=05у(то 1) у» +(1 т у)у»+05у(то+1)у" получаем, что условия монотонности (3) выполнены при т,)1, .т( т,'. Таким образом, чем больше коэффициент искусственной вязкости ч„тем слабее ограничение на шаги сетки, вызванное требованием устойчивости.
Надо помнить, однако, что введение искусственной вязкости может существенно исказить поведение истинного решения задачи (!2). Поэтому при практических расчетах коэффициент вязкости ч, берут не слишком большим. В 5. Монотонные раэностные схемы для уравнений второго порядка, содержащих первые производные Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка и" (х)+г(х)и'(х) = — )(х), 0<х<1, и(0) =и(1) =0 (1) и поставим задачу построить для него разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации и монотонную при любых шагах сетки й.
Очевидная схема второго порядка аппроксимации, которая получается заменой и'(х) центральной разностной производной, является монотонной лишь яри достаточно малых й. Дейст.вительно, такая схема имеет вид уго — 2у;+у; у о — у; +г; Г Ьо 26 -или Условия положительности коэффициентов сводятся к неравенст,вам О,бй1г,~ <1 и выполняются, если й(2/( шах 1г;!). Схема будет щ~у монотонной при любых й только в случае г(х) = — О.
Прежде чем построить требуемую схему для уравнения (1), рассмотрим несколько частных случаев. Предположим, что г(х)) )О для всех хен(0, 1) и рассмотрим схему с односторонней разностью уи — 2у~+ у; уи, — уо +г~ »о Ь .308 Эта схема имеет первый порядок аппроксимации и монотонна при любых». Действительно, записывая ее в виде (»») У' (»» )У'" »'У' ' и учитывая неотрицательность г(х), убеждаемся в том, что условия положительности коэффициентов выполнены при всех й.
Точно так же, если г(х) (О, то схема У~ — 2У(+ У~ У~ — У~ + г~ » » монотонна при любых Ь и имеет первый порядок аппроксимации. В общем случае представим функцию г(х) в виде суммы г(х) = =г+(х)+г (х), где г~(х)=05(г(х)+1г(х) 1) )О, г (х)=0 5(г(х) — 1г(х) 1) (О. (2) Схема с «направленными разностями» '' +г,(хк) "' ' +г (хк) ' " =-У (3) »' является, как нетрудно видеть, монотонной при любых И, но имеет первый порядок аппроксимации. Изучим подробнее асимптотику погрешности аппроксимации ф~ = и„-„, + г, (х;) и„л + г (х;) и-„,.
+ ~~ (4) этой разностной схемы. Пользуясь разложением по формуле Тейлора, получим и„-„, =й(х~)+ О(й'), и„а=и'(х;)+ — й(х;)+ О(/Р), и;, =и'(х;) — — и" (х;) + О(й'). Подставляя этн разложения в выражение (4) и приводя подобные члены, имеем ф = (ию + Я'+ (г+ (хс) + г (хс)) и' (хс) + 0,5» (г+ — г ) ис + О (РР), откуда, учитывая (1) и (2), получим фс = 0,56 ~ г (хю) ) ию + О (»«). Отсюда видно, что несколько измененная по сравнению с (3) схема Ую — Уач +г (хс) = — 7с » имеет второй порядок аппроксимации. Порядок аппроксимации не зов уменьшится, если коэффициент! — ~ г (хс) ~ заменим с точностью до сс 2 0()с*) положительным коэффициентом нс= (б) 1 + 0,5Ь 1 г (кс) 1 Таким образом, разностная схема нсукк с+ г, (хс) у„,с + г (хс) у„-, = — Гс (6) имеет второй порядок аппроксимации на решении, уравнения (1). Записывая схему (6) в виде убеждаемся в том, что оиа монотонна при любых т и А.
Для параболического уравнения ди д'и ди — = — + г(х)— дС дкк дк монотонной при любых т и А схемой является чисто неявная схема Фм и ' =н;у-"",+г+(хс)у З+г (х;)у„-"",, (7) где н, определяется согласно (5). Схема (7) имеет аппроксимацию 0(т+ А*) . ГЛАВА 3 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 310 Метод разделения переменных успешно применяется для построения решений разностных схем, главным образом с постоянными коэффициентами, и для исследования сходимости.
В основе метода лежит разложение решения разностной задачи по системе ее собственных функций. Требование полноты системы собственных функций сильно сужает класс рассматриваемых задач, и мы ограничиваемся в этой главе лишь задачами с самосопряженными операторами типа разностного оператора Лапласа. В $1, 2 изучаются спектральные свойства разностных операторов, далее в $ 3 методом разделения переменных проводится исследование устойчивости и сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности. В остальных параграфах рассматриваются экономичные методы нахождения решений разностных краевых задач с постоянными коэффициентами, основанные на методе разделения переменных.
$1. Разностная задача на собственные значения 1. Оператор второй разностной производной. Каждую разностную краевую задачу можно рассматривать как операторное уравнение с операторами, действующими в некотором линейном конечномерном пространстве (пространстве сеточных функций). Рассмотрим, например, разностное уравнение У з~= 1ь 1=1 2, ..., У вЂ” 1, Уо=р» уз =аз (1) на сетке (2) в = (х;=(Л, ю'=О, 1, ..., У, йУ=1). Исключая из системы уравнений (1) с помощью граничных условий значения у,= ц, и ун=ц» придем к эквивалентной системе уравнений '=2,3, ..., У вЂ” 2, (3) /Р зю уг ~ зн-з + зн-1 л » лз и-1 ю где ~,=)'+и lй', ~ — =~ - +узы Рассмотрим множество векторов у= (у„у„..., у,)', у~=у(х,), х,евам и определим на этом множестве оператор А формулами (Ау)~= — у„-„и 1=2,3, ..., У вЂ” 2, (4) зу1 — уа (А ) ~н-з+ ~н-1 л' ' " л Тогда систему (3) можно записать в виде операторного уравнения Ау=1, (6) где )=(1„1„..., 1» У,)'.
Отметим, что уравнение (5) учитывает как правую часть разностной схемы (1), так и ее граничные условия. Итак, разностная задача (1) порождает разностный оператор (4). Оператор (4) определен на множестве функций, заданных только во внутренних точках сетки ы» т.
е. при 1= 1, 2, ..., У вЂ” 1. Удобнее, однако, считать, что оператор А определен на подпространстве Н функций, заданных на всей сетке а4 и обращающихся в нуль на границе: У,=У„=О. При этом оператор А задается единообразными формулами (Ау)с= — у„-,о 1=1,2, ..., У вЂ” 1, у,=ун — — О (6) во всей области определения. Оператор А, определенный согласно (6), будем называть оператором второй разностной производной. Изучим свойства этого оператора. зп 2. Задача на собственные значения.
Задача на собственные значения для оператора А состоит в том, чтобы найти числа Л (собственные числа или собственные значения) такие, для которых урав- нение (7) АУ=ЛУ имеет нетривиальные решения (собственные функции), и найти собственные функции. Заметим, что по существу уравнение (7) для оператора (6) представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения для матрицы 2 — ! О О... ΠΠΠ— ! 2 — ! О... ΠΠΠΠ†! 2 †! ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
