Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Если о=0,5, 1р,"=)'(хь 1„,и)+0(тл+йл), то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по т и по й. При остальных значениях о и при 1р! =~(хл г„л1)+0(т+й*) схема (15) имеет первый порядок аппроксимации по т и второй — по й. Опуская выкладки, отметим, что если искать решение уравнения (15) с ~р!" =— 0 в виде (10), то получим Ър 1 — 4т (1 — а) ыпл— 1+ 4та ып'— 2 и ~д~ (1 при всех 1р, если 1 лл о) — — —.
2 41 (19) Отсюда видно, в частности, что есе схемы с о)0,5 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации (о=о.) также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно. При очьО разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения у,"+' по заданным у,". требуется решать систему уравнений ору,",'.,' — (1+2ор)у)'"+ оуф = — г";, 1=1, 2, ..., 11' — 1, (20) Л+1 л+1 Уо = Рч (гл+1), Уп = Рл (тли) где х л л л л +(1 о)тул + Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки (условия (47), (48) из $4 ч. 1) при о~О сводятся к неравенству 11+2о71)21о( 1 (22) ттв и выполнены при о) — 1/(4у).
Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы. 4. Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами р(х, 1) — = — (й(х,4) — 1+~(х, 1), 0(х(1, 0(1(Т,(21) и(х, 0) =и,(х), и(0, 1)=р1(1), и(1, 1)=111(1), где р(х,1), й(х,1), 1(х,1) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям 0<с1<Ф(х,1)(с., Р(х,1))с,>0. где разностный коэффициент теплопроводности а(х<, С) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации а (хм„ С) + а (хс, С) = 2й (хс, С) + 0 (й'), = Сс'(хс, С) + 0 (й'). Наиболее употребительны следующие выражения для а(хь С): а (хс, С) = 0,5 (й (хь С) +й (хс „С)), а (хс, С) = й (хс — —, С), Ь 2Ь (хс, С) С) (хо С) а(хс, С)= А(хс, С) + д (хо С) Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид о+с В р (хс, С) ' =Л (С) (оу,"+' -1- (1 — а) у",.) + )".
(хс, С), <=1, 2, ..., С)с — 1, (24) Уо =)сс(Со) Ус<с — — Ро (С„), У<'= по(х<), Здесь в качестве С можно взять любое значение С~(С„, С„+,), например С=С„+0,5т. Если в уравнении (24) С=С„+0,5т, о=0,5, то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по т и по й. При остальных значениях а и С выполняется первый порядок аппроксимации по т и второй — по )с. При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим явную схему, соответствующую уравнению (24) с о=О н((х„С) се<0, т. е, схему оос Оо р(хь С) ' =(а(хь С)у„-")„х. (25) Предположим, что коэффициенты р(хь С), а(хь С) — постоянные, р(хь С) = — р=сопз(, а(хь С) =— а=соней Тогда уравнение (25) можно записать в виде о<.< р ' ' =ау„-„с 280 'д l дит Дифференциальное выражение Еи = — ~СС(х, С) — ~ прн каждом [дх ~ ' дхС фиксированном С аппроксимируем в точке (х„С) так же, как и в стационарном случае (см. 2 1), разностным отношением Л (С) у; = (а (хь С) у„-)„,; = =- "а(хссс, С) "' — а(хь С) ' ' 1, (23) или д7 — Р) = У- та т Р Из п. 2 известно, что последнее уравнение устойчиво при т'(0,5И*, т. е. при та Ил — ( —.
р 2 Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема (25) устойчива, если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях а(х<,1), р(х„ 1), т. е. если при всех х, 1 выполнены нера- венства (хс 0 ил (— р(хп 1) 2 Если известно, что 0(с,(а(хь 1) <с„р(хь 1) >с,>0, то неравен- ство (27) будет выполнено при х са — (— Иъ 2, Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из $ 4 гл. 2. Если параметр о)0,5, то из принципа замороженных коэффициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24).
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности — = — (И(и) — 1+)". (и). д( дх 1 дх) (28) В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции И(и), избегают пользоваться явными схемами. Чисто неявная схема, линейная относительно у~+', 1=1, 2,... ..., М вЂ” 1, имеет вид л+л л 1 лн лн л+1 л+1 1 л~ р~ 1 У1н р~ р~ р'н ~ 1( л) (29) где Й;= й (у",).
281 где а;= 0,5(И(у,") + И(ум)). Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по т и второй — по И. Решение р",и, 1=1,2,...,Ф вЂ” 1, находится методом прогонки. Заметим, что схему (29) можно записать в виде йн = — ((Ир-.). + (ИУ.)х)+ 1(р,"), Часто используется нелинейная схема В+1 В / В+1 В+1 „В+1 ВВ$1 З) В) 1 и (ВВ+1) Зм1 1 о (УВ+1) 1 1 1 1 $ ( Вм) /$ (и)"") + ь ь7Ф ОУе 2 (30) Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод. Например такой: (ВИ) В / ($$1) ($+1) )$М) ($$1) ) — — а( о)) '+' ' — а( 1$)) ' ' ' +/(у<$)) (31) т /$1+1 И Ь 0 1 М 1 у)$) уВ у)м) уВы из которой находятся промежуточные значения У,"+/, 1=0,1,...
...,Ф. Затем на втором этапе используется симметричная шести- точечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты а(у), 1(у) вычисляются при у= У,"+/$, т. е. схема У вЂ” 2 У' У' = ) (((у"+л) у-"$1Ь + ( Ь"''/) е).х) + П ГУ), 222 Здесь з — номер итерации. Как видим, нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации, а в качестве начального приближения для у,"." выбирается у",. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг т. Число итераций М задается из соображений точности.
В задачах с гладкими коэффициентами прн й(и) )с,)0 часто бывает достаточно провести две — три итерации. Значения у)н'1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки. При М=1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29). Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применяются также схемы предиктор — корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений (см.
п. 2 9 1 гл. 6 ч. П). Здесь переход со слоя и на слой и+1 осуществляется в два этапа. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений +$/ В = (а (у") уГ/'), + 1(у)), = 1, 2, ..., 1(/ — 1, у""/ =р,(1,+О,бт) УВВ/=р,(1,+О,бт), й 5. Трехслойные разностные схемы 1. Разностные схемы для уравнения колебаний. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний — — Оа'ха. 1, Оа..1~Т, (1) дГа даа и(0,1)=Р,(1), и(1,1)=и,(1), 0(1 =Т, и (х, 0) = и, (х), †" (х, 0) = и, (х), 0 < х ( 1. дФ Известно (см., например, [411), что эта задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, оно единственно н непрерывно зависит от начальных и граничных данных. Будем использовать ту же сетку ыа„что и в $4, т. е. а„= =.х., ва=(хс=й, 1=0, 1, ..., У, ЙФ= Ц, а,=(1,=пт, п=О, 1, ..., К, Кт =Т).
Очевидно, минимальный шаблон, на котором можно аппроксимировать уравнение (1), это пятиточечный шаблон, изображенный на рис 11, г. Таким образом, в отличие от схем для уравнения теплопроводности„в которых использовалось только два временнйх слоя (слои и и и+1), здесь требуется использовать три слоя: и — 1, и, и+1. Такие схемы называются трехелойными. Их применение предполагает, что прн нахождении значений у",." на верхнем слое значения на предыдущих слоях у', ', у,". 1=0,1,...,й1 хранятся в памяти ЭВМ. Видимо, простейшей разностной аппроксимацией уравнения (1) и граничных условий (2) является следующая система уравнений: л+1 2 л+ а 1 л 2 л+ л та аа 1=1,2,...,У вЂ” 1, п=1,2,...,К вЂ” 1, У,"'1=Р, (1л„), У,","=Р,(1л„), П=О, 1, ..., К вЂ” 1.
(5) Разностное уравнение (4) имеет второй порядок погрешности аппроксимации по т и по и, Решение у,"+' выражается явным образом через значения на предыдущих слоях: ул+1 — 2ул ул-1 1 Т (ул 2ул 1 ул ) 1=1,2,...,Ф вЂ” 1, у=та/й', п=1,2,...,К вЂ” 1. (6) Для начала счета по формулам (6) должны быть заданы значения у,'., уи 1=0, 1,..., У вЂ” 1, Ф.
Из первого начального условия (3) сразу получаем У;=иа(х) 1=1 2 ..., У вЂ” 1. (7) 283 Простейшая замена второго из начальных условий (3) уравнением (у',— уе)/т=И,(х) имеет лишь первый порядок аппроксимации по т. Поскольку уравнение (2) аппроксимирует основное уравнение (1) со вторым порядком, желательно, чтобы и разностное начальное условие также имело второй порядок аппроксимации. Чтобы добиться этого, воспользуемся разложением и (х, т) — и (х, О) ди (х, О) + т д'и (х, О) + О т дт 2 дта и учтем, что в силу дифференциального уравнения (1) выполняется равенство дзи (х, 0) д,и (х, О) =и (х). дта дха е Таким образом, ди(х, О) и(х, т) — и(х, 0) 'с (х) +()(ая) д( т 2 О и, следовательно, разностное уравнение у; у; т — =иа(хс)+ — и — и (=1, 2, „)т' — 1, (8) 2 0кхд аппроксимирует второе из условий (3) со вторым порядком по т и пой. Совокупность уравнений (4), (5), (7), (8) составляет разностную схему, аппроксимирующую исходную задачу (1) — (3).
Покажем еще один способ получения уравнения (8). Уравнение 1 -1 ц — у. =по(хс) у =у(хю — т) (9) аппраксимирует уравнение ит (О, х)=ке(х) со вторым порядком. Чтобы найти значения Ю ' запишем уравнение (4) при л=о: ут 2уе+ у-т тз кхд н учтем, что у~ — — ма(х~). Отсюда получим у~с — — — ут+2не(х,.)+т'и- Подставляя зто выражение для у' ~ в уравнение (9), приходим к уравнению (8), Для исследования устойчивости будем так же, как и в $ 4, искать решение уравнения (4) в виде ул — даедме / (10) Подставляя это выражение в (4) и сокращая на е"""', получим для д квадратное уравнение дв — 2 (1 — 2уз)пз — "1 д+ 1=0, 2 / Строгое обоснование устойчивости схемы (4) будет дано в 3 3 гл.
4. 2. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Хотя трехслойные схемы для уравнения теплопроводности ди Ри (13) д1 дх~ применяются значительно реже двухслойных, их иногда используют для повышения порядка аппроксимации или для улучшения устойчивости. Приведем несколько примеров трехслойных схем для уравнения (13). На первый взгляд кажется очень естественным заменить уравнение (13) явной симметричной схемой второго порядка аппроксимации Ь УГ У~+1 Ую + Уг-1 (14) 2т Л~ Однако эта схема совершенно непригодна для использования на быстродействующих ЭВМ, поскольку при любых шагах т н Л она является неустойчивой.
Если искать ее решение в виде (10), то получим уравнение д'+8уз(п' — — 'У д — 1=0, 2 т 7=— Л~ один из корней которого по модулю всегда больше единицы. Если в уравнении (14) заменить значение у" на полусумму / 0,5(у"+'+ у"-'), то получим схему 2т Л~ которая интересна тем, что является абсолютно устойчивой, но обладает условной аппроксимацией. Обозначим удим и 1 уй~.1 2 и 1 л-1 ьд 2т сь~ тй 285 Будем считать разностное уравнение (4) устойчивым, если оба корня уравнения (11) не превосходят по модулю единицу.
Пусть д, и д, — корни этого уравнения. Если оба корня действительные, то поскольку д,д,=1, найдется ~У, для которого один из корней меньше единицы по модулю, а второй — больше единицы. Если же корни комплексно сопряженные, то (д,~=~У,~=1. Таким образом, разностное уравнение (4) устойчиво, если при всех действительных ~р выполняется неравенство (1 — 2уейп — ~ (1, т. е. Тьйп — = (1. Последнее неравенство выполняется при всех <р, если т~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
