Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Например, при 1=1 уравнение (13) имеет вид у«+1 у«+/ «+Н» яу«+И» + у«+и 11 1/ М 11 М ! Л у«»1 О,зт а 2~1! 1 и содержит значения у","4, пока никак не заданные (подчеркнем, что уравнение (16) определяет у,""н лишь при 1=1, 2, ..., У,— 1). Аналогичная ситуация имеет место и при !=У,— 1, а именно, уравнение (16) при 1=У,— 1 содержит значения уф'~*, не определенные формулой (16).
Из вывода уравнения (!7) видно, что оно будет спРаведливым пРи всех хеене2«, если доопРеделить гРаничные значения у,"7»и», Я+у» в соответствии с формулами (16), т. е. положить «»1, « «» ! « "' +"" 'л ( -.— ° .), 2 4 1=1, 2, ..., У» — 1. у»»+ив му Эти граничные значения можно использовать при решении уравнений (14) методом прогонки. Итак, в результате исключения промежуточных значений у",,тн» пришли к разностной схеме (17). Исследуем устойчивость схемы (17) по начальным значениям, предполагая, что !2(х, !) †=. В этом 374 Подставляя найденное выражение для у,",."4 в уравнение (13), получаем уравнение у«+1 05(у +1+у«) + Л2(у»1 — у«)~ 1(0,5т) = = 0,6Л, (д«; +да) — — 'Л,Л, (у«т — д«) + ЛУ,1, случае схему (17) можно переписать в виде ««11 ~«« .Л11 уп= ~ Л(у"."+у".) — ~ А,Л, т 2 1 17 4 т 1=1, 2, ..., Ы,— 1, /=1, 2, ..., М,— 1, а=О, 1, ..., К вЂ” 1, уп=О, если хи~у», в=О, 1, ..., К, (18) у1 = и (х(1«, х~'«), если ху е= »«».
Введем пространство Н»1'«функций, заданных на Я» н равных нулю на Т„и определим операторы А„А„А согласно (4). Тогда схему (18) можно записать в операторном виде Н.+, — У. т» + — А1А» + — А (ув+ ул+1) = 0 (19) 4 т 2 п=О, 1, ..., К вЂ” 1, у, задан, где у„=у(1„)енН»м«. Схема (19) имеет канонический вид (7), где В =Е+ 0,5тА+ — А,А, =(Е+ 0,5тА,) (Е+ 0,5тА,). Покажем, что оператор А,А, положителен. По определению имеем (А,А,у)п =у-„„-, ...
1=1, 2, ..., )У1 — 1, 1=1, 2, ..., И» — 1, так что №-1»««-1 (А,А,у,у)= ~~ й, Я Ь,у„-„„-„пуп. (20) /=1 Учитывая, что у„= у№; = О, преобразуем внутреннюю сумму в (20) по формуле (см. (14) из 9 8гл. 1) №-1 Л« '~ й,У„-„-„«УУ= — '~ й,У„-„-„,У„- „ и запишем (20) в виде »««»««-1 (А,А,у, у) = — ',«„Ь1 '~~ й,у„-;„уу„-, у.
!=1 ! =1 Затем, снова применяя формулу (14) из $3 гл. 1 и учитывая, что у„=у„,=О, получим »««-1 № 1=1 !'=1 так что окончательно будем иметь »««»«« (А,А,у, у) = 'Я Ь, ~ Ь, (у„- „- и)", «=1 375 откуда и следует положительность оператора А,А,. При этом В =В+ 0,5тА + — А>А,) 0,5тА, и, следовательно, условие устойчивости (8) выполнено при любых т, й„й„т. е. продольно-поперечная схема абсолютно устойчива. 4.
Понятие суммарной аппроксимации. В предыдущем пункте мы исследовали устойчивость продольно-поперечной схемы путем исключения промежуточных значений у",+и и замены исходной схемы переменных направлений эквивалентной ей неявной многомерной схемой (19). Не представляет труда доказать, что прн достаточной гладкости решения и(х, 1) задачи (1) разностная схема (19) имеет погрешность аппроксимации 0(т'-гЮ) и сходится в сеточной Е,-норме со вторым порядком по т н по 7>, Поэтому справедливо утверждение и о том, что решение у",.'" продольно-поперечной схемы (!2), (!3) сходится к решению й(х, 1) задачи (1) со вторым порядком, т.
е. 1у„„— и (1„+,) >> ( М (т'+ й', + й',), п = О, 1, ..., К вЂ” 1, где ,и 1у„„— и (1„,,)~= ~,~ (у>+' — и(хи, 1„„)) й>7>, >, куееь и=0,1, ..., К, п=0,1, ..., К вЂ” 1, ул иа ! зв и' да+>> ю~->>, л~У~ у>"; =ии +хи где ил и (хп>, хи>, 1„), и" '4= и(хп>„х>7>, 1„+ 0,5т). 1ю~аи1" 3 Подставляя указанные выражения для у,",, у,",Хн в уравнения (12), (13), получим уравнения, которым удовлетворяет погрешность ч76 и М,— постоянная, не зависящая от т, Й„й,.
Исключение промежуточных значений упрощает процедуру исследования разностной схемы, однако вносит некоторые неоправданные ограничения. Например, для эквивалентности схемы (12), (13) схеме (19) существенным является предположение о том, что область 6 — прямоугольник, кроме того, необходимо специальным образом задавать граничные условия для вспомогательной функции у"""*. Ц Оказывается, что схемы переменных направлений можно исследовать непосредственно, не исключая промежуточных значений уфк. для этого надо ввести понятие суммарной аппроксимации, которое мы поясним на примере схемы (12), (13).
Пусть и(х„х„1)— точное решение задачи (1). Представим решение разностной задачи (12), (13) в виде метода 2«+14 хл ги х»т и л л 0,5т =Лтг„*'+Лаги+ф,м, хи~аз, (21) ль» л+Н и хи «-у» л+т л 0,5т =Лтгп + Лаги + ф»,»у, хн е= о)а, где и«+и 0,5т (22) л+1 «+и» л и и»1, л«.»Л л«-1 ф»ду= — +Л,ии * + Л,ии . 0,5т (23) Сеточные функции, определенные согласно (22), (23), называются погрешностями аппроксимации уравнений (12), (13) соответственно на решении исходной задачи (1).
Разлагая функции, входящие в выражения для фы фы по формуле Тейлора в точке (х!'1, хс(1, („), получим д'и(хи, !л) т ди(хп, !л) тр.. = — — ' " + — 1.» '' " +0(тз+йз), 4 дР 2 д! д»и (хп, !л) т ди(хгч Гл) ди(хт, (л) где Е„и=дам/дхй, а=1, 2. Таким образом, каждое из уравнений (12), (13) аппрокснмирует исходное уравнение (1) с первым порядком по т и вторым — по й.
Вместе с тем сумма погрешностей аппроксимации фн — ф",г, ( ф,"и имеет второй порядок по т и по й. Действительно, д и(хи, (л) ди(х ., (л) фг(=- — т " " +т(Ех+1.з) "' " +0(т'+й'), дР д( и в силу дифференциального уравнения (1) имеем д»и ди — = ((.т+ ~.а) —, дп д( так что фп =0(т*+й'). Поэтому говорят, что схема (12), (13) обладает суммарной аппроксимацией второго порядка по т и по й. Можно получить оценку решения задачи для погрешности (2!) через норму.
функции ф=ф« +фь из которой будет следовать второй порядок точности схемы (!2), (13) (см. (321). Приведем другие примеры схем переменных направлений дли уравнения (!), обладающих суммарной аппроксимацией. Локально-одиомерлил схема состоит в последовательном решении уравнений +И = Л,У!1' '.
т хп 1= ю», (24) еы Л 2+т и хп ~ и». В этой схеме каждое из уравнений в отдельности не аппраксимирует исходное уравнение (1), однако имеет место суммарная аппроксимация 0(т+И').Действительно, в данном случае фз = — + Л,иг~УУз = 0,5 ' + (.,и (хн, !э) +0(т+Из)=0(1)ч илы — и"+" ди(хг, 1„) ф = + Лзи~/ы О,5 -("Сзи (хзь 1 ) + 0(т-1-Из) = 0 (1) 'г и' л и ф~+фз=0(я+Из). В качестве упражнения читателю предлагается рассмотреть схему т = Лтр ГА + Лзр»., т и (25) лы зчм = Лз (Рчы — 4) и доказать, что она обладает суммарной аппроксимацией.
Кроме того, рекоменю'/ дуется провести исключение промежуточных значений у",Гл из схем (24), (25), получить соответствующие многомерные разностные схемы и сформулировать граничнме условия, при которых многомерные схемы эквивалентны исходным схеь1/ мам переменных направлений. При нахождении граничных условий для р~~~у~а "е1/ следует поступать так же, как и в случае схемы (!2), (13), т. е.
выразить у~~/+/1 из уравнений (24) или (25) через у"/ю, рп и доопределить у,".~/н на гранипе с помощью полученного выражения. ГЛАВА 5 ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Модельная задача которые нецелесообразно, а чаще всего и невозможно решать стан- дартными вычислительными методами линейной алгебры. 378 1. Введение.
Как мы уже видели, аппроксимация дифференциальных уравнений разностнымн приводит к системам линейных алгебраических уравнений Ау=~, Если исходной задачей является краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, то соответствующую разностную схему можно решить с помощью метода прогонки (см.
п, 7 2 4 ч. 1). В многомерном случае не синествчет столь же удобного и экономичного способа решения разностных уравнений, как метод прогонки. Поэтому возникает необходимость в развитии методов, специально предназначенных для решения многомерных разностных краевых задач. Мы будем рассматривать здесь лишь двумерные разностные задачи. Как и в общем случае систем линейных уравнений, методы решения разностных задач разделяются на прямые и итерационные. Итерационные методы являются более простыми, чем прямые, и в меньшей степени используют структуру матрицы.
По этой причине для решения двумерных разностных уравнений первоначально использовались исключительно итерационные методы. Однако в случае разностных задач сходимость таких, например, методов, как метод простой итерации, Зейделя, верхней релаксации, весьма медленная. В настоящее время интенсивно развиваются и прямые методы решения двумерных разностных уравнений. Они применимы, как правило, к уравнениям с разделяющимися переменными, когда область изменения независимых переменных — прямоугольник. Наконец, следует отметить все возрастающее значение неявных итерационных методов, в которых решение на новой итерации находится тем или иным прямым методом. Хотя такие методы алгоритмически сложнее, чем явные, их несомненным преимуществом является существенно более быстрая сходимость. 2.
Модельная задача. Методы решения двумерных разностных краевых задач мы будем иллюстрировать в дальнейшем на следующем простом примере. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона д'и дли — + — = — 7(х), х=(х„хД~ 6, дхл дх' 1 3 и(х) =О, х= (х„х,) енГ в единичном квадрате 0(О(х„х,<1) с границей Г. Введем в 6 квадратную сетку с шагом Ь, т. е. множество точек 1)л = (хи = (х~~ э хил ))э где хю=(й, х0>=16,1, 1=1, 2, ..., У, йв)=1. Пусть, как обычно, ал — множество внУтРенних точек и 7л — множество гРаничных точек сетки л1л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
