Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 70
Текст из файла (страница 70)
2 ч. П о сходимости стационарных итерационных методов с самосопряженными операторами А и В. Согласно этой теореме, для выполнения оценки (12) с константой Ч тз (ю) 1+ Ч 7в(ы) достаточно положить 7=2/(7,+Тз). Выберем теперь параметр о» так, чтобы минимизировать р.
Для этого достаточно найти значение со=ать при котором функция П )=) '= — ' 7а (ы) тз (ы) достигает максимума. Из формул (8) имеем ! 1!1 ыа! 1(ю) = — + — ~ — + — ) 2 2(ы6 4) откуда видно, что 1(от) достигает максимума при ю=ю,=2фбЛ. Подставляя ю=ю, в выражения (8) для 7, и Т„получим их значения, совпадающие с (11). При этом для константы 1 — Ч тз (ые) 2Ф $ р= ° т) = 1+Ч 72(ыэ) !+) в получаем выражение (13). Теорема 1 доказана. 2. Применение к модельной задаче. Рассмотрим модельную задачу — д — „— д —, =Ц, 1,1=1,2,..., Ф вЂ” 1, ЬЬ7=1, (14) дн=дсп=О, дм=дю=О, 1, 1'=1, 2,, У вЂ” 1 Введем пространство Н функций, заданных на сетке Й = (х;; = (х,~, х.",и), х,ю = 1Ь, х,п = 1'Ь)гл н обращающихся в нуль на ее границе.
Определим в Н скалярное произведение М-ь (д, и) = ~~~ дцппйз ь/=~ и норму !|д!1= 1'(у, д). Задача (14) записывается как операторное уравнение (1) в пространстве Н, где оператор А определен следующим образом: (Ад)ц = — д-„„,- — д„-,„„,. 1,1=1, 2,..., У вЂ” !. (15) Этот оператор является самосопряженным и положительным. Для того чтобы применить к системе (14) попеременно-треугольный итерационный метод, необходимо представить матрицу оператора (15) в виде А=Я+Я', где Я вЂ” нижняя треугольная матрица, и найти константы 6 и Л, входящие в неравенства (6), (7). Запишем (15) в виде (Ад)ив х, и+ ч,и Ук„и + Ухв» Ь Ь или, более подробно, в виде ! ~уп ус-м, дп уь!-~) "+ "" и).
(16) Ь( Ь Ь Тем самым оператор А представлен как сумма двух операторов, А=Я+У, где Яд)д (д + д ) 1 (17) 1 (ид)„= — — (д„, д+ д„, д). Нетрудно понять, что матрица оператора Я является нижней треугольной, а матрица оператора У вЂ” верхней треугольной. Чтобы убедиться в этом, достаточно записать систему двумерных разностных уравнений (14) в виде одномерной системы (5) из $1. 398 Более того, оператор (/ является сопряженным оператору Н в пространстве Н. Для доказательства вычислим скалярное произведение Яу, и), где у и о — любые сеточные функции, заданные на сетке Я и обращающиеся в нуль на ее границе. По определению оператора /7 имеем //-ь (/7у, о) = ~ ((у» — у'-./) + (у// — уь/- )1 о» = /,/ ь и-~ //-в = 2 "~~~~~ У//о» ~~~ ~ У»0/еь/ '~ ~~~ У//о/,/+д /./=а /=ю/=т 4=1! 9 С другой стороны, //-ь //-а /г-ь (у, (/о) = 2 ~~', у»иц — ~ у»иыь/ — ',Р,,у//о/,/ „ /,/=1 /,/=ь /,/=ь и, следовательно, м-~ М-ь (/7у,.) — (у.
(/ ) =~ Ь.,,/"/ — у./и,/) + ~ (у ..;. — у ..и). Выражение, стоящее в правой части последнего равенства, равно нулю в силу граничных условий. Таким образом, (/7у, о)= =(у, (/о) для любых у, оенН, т. е. (/=/т". Искомое разложение А =/т+Я* получено. Докажем теперь неравенства (6), (7).
Как уже отмечалось, в качестве константы б можно взять минимальное собственное значение оператора А, т. е. 8 . а я» 6 = — 81п' — . а~ 2 Проверим выполнение неравенства (7), которое означает, что 4!ЯУУ(Л(АУ, у) (18) для любого уенН. Как показано в п. 2 $ 2 гл. 3, справедливо тождество // /т-д М-1 М (Ау, у) = ',"~„',~~ ~(у„- //)' й'+ ~~~~~ ~'„(у-, »)'//з. /=~ /=~ С другой стороны, из определения (17) оператора Я следует, что /т-1 ~РУ~~= —,;5', (у„— »+у,— »)'й', /,/=ь и поэтому / У-1 /т-1 )яу㻠— ', ( т. ~у,— „> й -~- т (у,— „) В ~ ~ — ', (Ау, у).
/,/=з /./=1 399 Таким образом, требуемое неравенство (18) выполнено с константой А=8/й'. Заметим, что константа Л в данном случае незначительно отличается от максимального собственного значения оператора А, 8 5ий которое равно — соз — . Ие 2 Чтобы окончательно задать попеременно-треугольный метод для решения системы (14), надо в соответствии с теоремой 1 определить параметры и) и т.
Подставляя найденные выражения для 6, Л в формулы (10), (11), получим — 8 . пй )/бй = — зш йе 2 Пй 2 5!П— т! 2 — пй ий ! + 5!П 2 (19) Ие (!+51П ) Мп — ( ! + 35!и — ~ 2 ~ 2 ~ Ле й (О = 2П 4 5!П 2 Константа р из оценки (12) в данном случае равна Пй ! — 51П р= =1 — 2нй. 2 И !+3 51П 2 Поэтому при малых й число итераций )5,(е), необходимых для получения заданной точности е, оценивается как пе(е) = —. !и ()/Е) 2ПИ (20) Алгоритм нахождения значений у()~+о на новой итерации И+1 в соответствии с (4а), (4б) состоит в следующем. На первом этапе решается система уравнений ! (Иек) й!М4) (Е).)() (Е+М) 1 (5+и) е) У!1.1Д й!/ ' У1,/.11 — Уц (А) 1,1=1, 2, ..., У вЂ” 1, (21) уй~'"'==О, 1=1,2, ..., Ф вЂ” 1, где (р(!)= (Ву(5))0 — т(Ау!5))0+т))ь из которой находятся промежуточ- 400 (йоу) ные значения у~'~~.
На втором этапе ! (й+и .)йоо) (й+и (й+1) й+й), (й й(! — й(-),! ( У)! — Р!.)-) У(! ) 6 й и решается система уравнений ) (йо)() =У(! 1, 1 = 1, 2, ..., У вЂ” 1, (22) ...,У вЂ” 1, ..., У вЂ” 1. (й+и Уо! =О, (йы) Ум =О, 1=1, 2, 1=1, 2, Параметры й) и т выбираются здесь согласно (19). Уравнения (21) следует начинать решать с точки (=У вЂ” 1, )=У вЂ” 1. В этой точке, учитывая граничные условия (й+м) (й+м! Уо),А('о=О, У при соответствующем выбопе параметров тй, й) позволяет сократить число итераций до 0(й-й). Воспользуемся теоремой 3 из $6 гл. 2 ч. П о сходимости неявного чебышевского итерационного метода. Согласно этой теореме, при заданном числе итераций и параметры тй выбираются по пра- вилу тй = то , й = 1, 2, ..., л, (25) (+ Ро(й )4 А. А. Соннрокнй. А.
В. Гулнн 40! уравнение (2!) можно записать в виде ! (йо)й) ~йо)й) (йОМо), О) РМ-),М-), Уу-),О)-) (й) У)р- *лр-) + ' -')- ' 1 (РА)-) лр-), )) Ь !) откуда сразу же найдем у)р~',~А) ). Далее, проводим вычисления в точке (=У вЂ” 2, )=У вЂ” 1 и находим уо) о,й) „затем продвигаемся (йоно) влево еще на одну точку и т. д. После нахождения у',~э'), переходим в точку (=У вЂ” 1, 1=У вЂ” 2 и т.
д. Таким образом вычисления по формулам (21) осуществляются явным образом, причем счет ведется, начиная с правого верхнего угла области 6 (от точки (=У вЂ” 1, /=У вЂ” 1) и вплоть до левого нижнего угла (до точки (=1, 1=1). Система уравнений (22) решается аналогично, однако вычисления здесь начинаются в точке (=1, 1=1 н заканчиваются в точке )=У вЂ” 1, 1=У вЂ” 1. 3. Попеременно-треугольный метод с чебышевскими итерационными параметрами. Как мы только что видели, попеременно-треугольный итерационный метод с постоянным параметром т при решении разностных краевых задач требует О(!)-о) итераций для достижения заданной точности.
Покажем теперь, что использование итерационного метода В й" й +Ауй=~, А=О, 1, ..., и — 1, (23) тй+) А=К'+К В= (Е+(АЯ') (Е+й)Ц (24) 2 1 — я 1'~ (2Ф вЂ” 1) п где то= Рь= — т1= —, гь=соз тг+ть ' 1+а ть 2п Й= 1, 2, ..., и, "(„7,— константы из неравенства (5). При этом для малых т) число итераций п,(з), необходимых для получения заданной точности е, примерно равно и (в) == 1и (2/в) ю 2$,— Остается заметить, что для операторов (24) константы 7, н 7, определены согласно (11) и в случае задачи (14) согласно (19) имеем т)жпй н поэтому При практическом применении данного метода следует использовать итерационные параметры т, в том порядке, который обеспечивает вычислительную устойчивость.
4. Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод. Зададим диагональную матрицу Р с положительными элемектами на диагонали и будем рассматривать итерационный метод (2), где В= (Р+ай')Р '(Р+ый). (26) Если Р=Е, то получаем рассмотренный ранее попеременно- треугольный итерационный метод. Если Р~Е, то приходим к обобщению метода (2), (3), которое при правильном выборе матрицы Р позволяет несколько уменьшить число итераций. Дополнительных трудностей при вычислении новой итерации у„+, здесь не возникает. Вместо алгоритма (4а), (46) можно использовать следующий алгоритм определения у„+,. (Р+ ыЯ') ульм =сры ~рь = Вуь — тАуь+ т)', (Р + а)7) ум~ Руь+н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
