Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(27) 4Я'Р-'Я(бьА. (28) Положим 2 2 Оэ=, т= )/зовло тд+ ти (29) 402 Таким образом, нахождение у„э, снова сводится к решению двух систем уравнений с треугольными матрицами. В следующей теореме получена оценка скорости сходимости итерационного метода (2), (26). Теорема 2. Пусть А=Я'+К Предположим, что существует самосопряженный положительный оператор Р и положительные постоянные 6, Ь, для которых выполнены неравенства А>6 Р, 6о бо )/ боло 2(1+)'Ъ) ' ао Тогда для погрешности итерационного метода (2), (26) лиза оценка !!у — у!!л <р,'Ь» — у!!„ где (30) снравед- (31) Тогда после умножения на оператор О»в уравнение (33) приводится к виду (Е+»»Р.о) (Е+»»йо) " + Аоо»=0. (34) Так как А»=)хо+)х», уравнение (34) представляет собой уравнение для погрешности немодифицированного попеременно-треугольного итерационного метода (2), (3).
При этом о„=х„— х, где х=Р'*у является решением уравнения А»х=Р-'»1', а х»=Р'»у,— приближение к х, полученное на (г-й итерации. Для оценки о, применим теорему 1. Условия (27), (28) эквивалентны, соответственно, условиям Ао ~ )баЕ, 4Ло)7о ~ (ЬоАо. Выбирая»» и т согласно (29), (30), получаем, что выполнены условия (10) и (11) теоремы1.
Поэтому для решении уравнения (34) справедлива оценка (12), которая в нанном случае принимает вид 1о4л~<ро 1о»!!л, где р» определено согласно (32). Замечая, что ~о»»»ло =(Аоо» о») =(О лАР м (Рлу» — Олу), (Ону» — Пну)) =(А(у» — у), у» — у) =!!У» — у!(л, приходим к оценке (31). Теорема 2 доказана.
14* 4ОЗ 1 — Ло ро= Т вЂ” ° Доказательство. Погрешность метода (2), (26) г„=у» — у удовлетворяет однородному уравнению (Р+»ой)О»(О+»»Я)»" » +Аг»=0, (33) 7»=0, 1 ... го=у» у' Поскольку Р'=О= О, существуют самосопряженные положительные операторы Р'», Р-". Сделаем в уравнении (33) замену г„= Р-'*о„и обозначим Я,=Р-'»И)-", А»=Р '»АР '*. Смысл введения модифицированного попеременно-треугольного метода состоит в том, что при соответствующих Р константа р„, входящая в оценку (31), оказывается меньше, чем константа р из оценки (12). В [35, с.
425) указан способ выбора диагональной матрицы Р, минимизирующей константу рэ в случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами. В 4. Итерационный метод переменных направлений 1. формулировка метода и исследование сходимости. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Ау=1 (1) с невырожденной квадратной матрицей А порядка л4 и предположим, что А=А,+А, представлена в виде суммы двух матриц А, и А, более простой структуры.
Например, в случае разностных аппроксимаций двумеркых эллиптических задач матрица А, аппрокснмирует производные только по переменной х„, а=1, 2. Тогда можно предложить следующий итерационный метод решения системы (1), аналогичный методу перемекных каправлений для двумерного уравнения теплопроводности (см. $ 4 гл. 4). Переход от й-й итерации к (й+1)-й осуществляется в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение у„я как решение системы уравнений кя+м — уь + А1уь-1л + Азу4 = 1 (2) На втором этапе решается система уравнений У4+ Ух+ Л + А1ул+и + А4ум1 = ), (3) из которой находится у,„,.
Здесь т)0 — итерациокный параметр, предполагается, что задано произвольное начальное приближение у,. Записывая уравнения (2), (3) в виде (е+ тА,) уц.м = (е — тА,) уэ+ т), (4) (е + тА,) ул+, — — (е — тА,Д ул,м + т~, (5) убеждаемся в том, что для нахождения у„, необходимо решить две системы уравнений: первую с матрнцей Е+тА, и вторую — с матрицей Е+тА,. Таким образом, метод (2), (3) целесообразно применять лишь тогда, когда матрицы Е+тА, а=1, 2, гораздо легче обратить, чем исходную матрицу А. Например, в случае разностных аппроксимаций уравнений эллиптического типа системы (4), (5) можно решить последовательным применением одномерных прогонок сначала по направлению х, (для системы (4)) и затем — по направлению х, (для системы (5)).
404 Обратимся к исследованию сходимости итерационного метода (2), (3). Будем рассматривать систему (1) как операторное уравнение в конечномерном линейном пространстве Н со скалярным произведением (у, о) и нормой 1(у1(= у(у, у). Определим погрешности г»+», г„„, метода как разности г»+»= уь+в у, а»+~ = у»+~ у между решениями у„+», у,+, систем (2), (3) и решением у исход- ной системы (1). Введенные погрешности удовлетворяют уравне- ниям (Е+ тА,)г»,и =(Š— тАДг», (Е + тА») г»+, — (Š— тА,) г»,м, (6) (7) из которых можно легко исключить промежуточное значение г„„ и получить уравнение, связывающее только г, и г„+,.
(Е+тА,) (Е+тА,) г„,, = (Š— »А,) (Š— сА,) г,. (8) Теорема 1. Пусть А А,+А„где А„=А )О, а=1, 2, А,А, =А,А,. Тогда итерационнь1й метод (2), (3) сходится нри любом т>0. Если 0<ЬЕ(А ЬЕ, а=1, 2, (9) то нри т=15бЛ (10) для погрешности справедлива оценка где (12) Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем уравнение для погрешности в виде г„+, —— Яг„, где Я= (Е+тА.)-'(Е+тА,)-'(Š— тА,) (Š— тА,). (13) Оператор Я является самосопряженным, так как по условию теоремы А, и А,— самосопряженные перестановочные операторы. Получим оценку для собственных чисел Х»(Я), й=!, 2, ..., »и, оператора (13). Любое собственное число можно представить в виде Л»(Я) = (! — тЛ» (А,)) (1 — тЛ» (А,)) (1+ тЛ» (А,)) (1+ тЛ» (А2)) (14) где Л»„(А,) — собственные числа операторов А„, а=1, 2, й„= =1, 2, ..., т. Из (14) видно, что при т)0 все собственные числа 400 Х„(3) не превосходят по модулю единицу.
Следовательно, )(Я!1= тах (Х»(5) ~( 1 »к»~п~ и метод (2), (3) сходится. Далее, согласно (14) имеем 1 — Ф» (А,) !л»($)!( Из условия (9) получим 6~()~», (Аа) «<», 1' — ть», (А.) (! 5) а=1,2, следовательно Если выбрать т согласно (!О), то получим — 1 — та 1 — Уй 1+т6 1+та 1 ( )/'й и поэтому 1 — т»~ (А,„) )Гй а=1, 2. 1+тх» (А„) 1 ! )/5 1,1=1,2,...,У вЂ” 1, йУ=1, и метод переменных направлений (4), (5) принимает вид <»+И) !»»И),ч(») (»+П !»+11 ~к(») (1 8) (19) где Ри =ун + ту-„, + т~п, (»1 РВ !»1 Отсюда и из (15), (16), получаем РИ вЂ” р». ~ +5) так что ()з»+,!!(ро!!г»!!(р,'1г,!!. Теорема 1 доказана.
2. Пример. Рассмотрим применение метода к модельной задаче (14) из $3. В данном случае ( й)п= — у» х и, я=1,2, (17) Уравнение (18) решается при каждом фиксированном =1, 2, ..., У вЂ” 1 с помощью метода прогонки по направлению хо Для этого достаточно записать (18) в виде Ау'~+~~' — Су'з'и' + Ву("У> > = — г">>>, >=1,2, ..., У вЂ” 1, у>а'и>=О, у)та+и>=О, е! где А=В=т/Ь*, С=1+2т/и*, и применить формулы прогонки (43), (44) из п. 7 $4 ч. 1. Точно так же уравнение (19) записывается в виде >а+а> >з+г> >ам> >а> Ау>.)-> — Су > + Ву>лы = — Фи, у=1,2, ..., У вЂ” 1, у<ма+'>=О, у)зм'"> =О н при каждом фиксированном 1=1, 2, ..., У вЂ” 1 решается прогонкой по направлению х,.
Применим теорему 1 к исследованию сходимости метода (18), (19). Операторы А, и А„определенные согласно (17), перестановочны, так как разностное выражение (АзАху)» = У вЂ” „,„„-,, определено во всех внутренних точках сетки Й, причем (А>Азу)и =у„-„-„, „. = (АзА>у)>ь Таким образом, перестановочность является следствием того, что А, и А, — операторы с постоянными коэффициентами и область 6 — прямоугольная. Нарушение хотя бы одного из этих условий приводит, как правило, к нарушению перестановочности. Предположение о перестановочности является, видимо, основным ограничением теоремы 1, не позволяющим применить ее к более общим разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа. В 132, с.
450] доказана сходимость метода переменных направлений вез требования перестановочностн. При условиях (9), (!0) доиазана опеяка 6 (Е + хдд (уз — у) 6 х ре 6 (Е + тдз) (уе — у) 6 где константа р, определена согласно (!2). Как мы видели ранее (см. $1,2 гл. 3), операторы А„а=1, 2, являются самосопряженными в смысле скалярного произведения м-> (у, о) = 'я у»оцйз, >. /=> причем для них выполнены операторные неравенства (9), где 4 . з Я» 4 зла б = — 5>п —, гъ = — соз аз 2 аз 2 Таким образом, при ьз Ь т= 2 Мп (па) 2п 407 (27) где 5 (Е+т,А,) '(Е+т,А,) '(Š— т,А,) (Š— т,А,).
Оценим собственные числа 2 — т,Л» (А,) ! — т»Л (А») Х» (5) = 1+ т,Л» (А,) 1+ т»Л», (А») оператора 5. Для этого сделаем в (29) замену Л», (А») = »',, Х», (А») = >) — »Л» >) + »Л» с не определенными пока параметрами р, а, т.
Тогда получим (29) (30) Х (5) 1+ Л 1+ Л (31) где т,— т т.+т ь»,= ь»» = — "- я — т,р >)+ т»р Если выбрать т, н т, согласно (26), то получим, что в>=ь»»=ь» (32) Подберем теперь параметры р, д, т таким образом, чтобы в результате замены (30) оба отрезка 6»> ~~ Л», (А») ~< Ьа> а = 1> 2, переходили бы в один и тот же отрезок 6(Х» Ь, а=1,2. Для этого достаточно потребовать совпадения граничных точек соответствующих отрезков, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
