Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Подставляя (14) в (13), получим уравнение за (1»гы ! + Уг » ) + д (и~1 + 1»; д 1 — 4з»рг ) = О. з й) (а! вй !а! !и Полагая д=д»= за, приходим к задаче на собственные значения в рл„ц+ р„-„Н+)»р» =О х»Тайма р;;=О, хц(ВТ», где Х=)»»=4(1 — з»)/йт. Выражения для )»» известны (см. $2, гл. 3): 4 У. ий»й . паза~ Х =)» = 5!па +Япз аз~22! Выбирая й=(1, 1), получим 8, ль Х Х»=6= — Ыпз— Вз 2 Прн этом значении й величина !4»!=за» достигает максимума, равного (Рб) Таким образом, если положим о !»»»1 У 1 = У»Т + оЦ' (16) где ум — точное решение задачи (3) и о! ' ! = з )р('1, 3» = 1 — 1 — 25!па то согласно (12) получим г"," =ригу, где выражение для д определено согласно (15). Следовательно, для начальных данных (16) при любой норме выполняется равенство !!у" — у!! = ! ч !"!!Уа — у1. При малых шагах Ь имеем дю1 — 0,5 азбю1 — пзйз, т е.
необходимое число итераций возрастает как Ь-з. 4. Метод верхней релаксации. Рассмотрим применение метода верхней релаксации к модельной задаче (3). Для общей системы уравнений (1) метод верхней релаксации определяется следующим образом (см.
$ 1 гл. 2 ч. 11). Система (1) представляется в виде (А +А„+0)У=), (17) где А, Ат — нижняя треугольная и верхняя треугольная матрицы с нулевыми диагоналями, Р— диагональная матрица. Вводится итерационный параметр шеи(0, 2) и итерации определяются фор- 364 мулами А Улл«+А„Ул+0~ — Улн+ ~1 — — )Ул)=(. (18) /1 ! 1т а а При а =1 метод (18) совпадает с методом Зейделя (А +Р)у„н+А~у„=~. В случае модельной задачи (3) представлению (17) соответствует запись системы в виде у«н.!+ к»1-«+ у«,«н + у««.«.! ал !«л 4у«! (», ху ~= аа (19) у» —— О, х„ентл. Метод верхней релаксации определяется уравнениями .лн .лн .л л нл + а«,«- + '«,«+« + г«+«,! 4 ( 1 „ + ( 1 !«л а и ~а "«! ~ а)~«!) х«! «=1 а«„ (20) у," =О, х«(~= у. У«1~=-(,«»„+у«н,!)+4~1 ')у, Я««, н вычислять у,"", начиная от левого нижнего угла области 6.
Проведем исследование сходимости метода верхней релаксации (20) и покажем, в частности, что при оптимальном выборе параметра а число итераций, необходимых для получения заданной точности е, является величиной 0(И-«) (а не 0(й-'), как в методе Зейделя). Основное преимущество метода верхней релаксации перед методом Зейделя как раз и состоит в существенном увеличении скорости сходимостн при надлежащем выборе итерационного параметра а. Для погрешности г,"(= — у« — у» метода (20) получаем уравнение „л+«л.н л л «н(+ г«1-«««н+ г«+«! 4 ! 1 ! ! т л1 +" — — — +'1 — — 'г.1=0 х»-а„ /«л ал г» =О, х«1~ у», зав Способ нахождения значений у,".+' на новой итерации тот же, что и в методе Зейделя.
А именно, надо записать уравнения (20) в виде У«-«,! + У«,(тн — — У«! = г «1, (21) которое приводится к каноническому виду гле г„=(гю~)ьучм оператор А определен согласно (6) и В= (, ") Е+а(Я,+ Я,), т=ы, (22) «„н (К,г);; = — "~, г()(аз)п =— а н норма ~~у~~=)~~у, у). Оператор А является самосопряженным и положительно определенным оператором в Нам. Более того, А= =Р" +Я, где Я=В,+К,. Таким образом, метод (18) является стационарным итерационным методом с самосопряженным оператором А и несамосопряженным оператором В.
Было доказано (см. п. 5 $2 гл. 2 ч. П), что в этом случае выполнение операторного неравенства Ва 0,5тА~ — РВ А 'В Во =0,5(В+ В') 2т (23) с константой р~(0, 1) гарантирует сходнмость итерационного метода, причем для погрешности справедлива оценка Ь.— М «р"Ь.— у~! . (24) Проверим выполнение неравенства (23) в случае метода верхней релаксации, когда В= ( ") Е+вН, А=Я'+Е, т=в. (25) Прежде всего заметим, что В,— 0,5тА= 1 м) Е, )Р поэтому неравенство (23) упрощается и принимает вид 2(2 ") Е. 1 — к*В"А- В а~ 2е Отсюда с помощью эквивалентных преобразований приходим к не- 886 Операторы А, В, Яо Я, определены в пространстве Н~" ,сеточных функций, заданных на ь1, и равных нулю на Ть В Н„"' введены скалярное произведение У-ь (у, о)= 'Я упопй' с!=1 2 4 1+ра 2 — + — = Ьа Ьеоаб 1 — рз Ьтп Решая уравнение (29), получим рз=ра(а) = 1+ ра (1+ а) (30) где )4=0,5 Ь*б = 4 з(п'— , пй 2 Из (30) видно, что при озен(0, 2) (т.
е. при а)0) выполняется неравенство р'(а) ( 1. Следовательно, метод верхней релаксации сходится при гоеь(0, 2). В случае метода Зейделя имеем в=1, а=1, р'= !((1+Ьтб). При малых Ь получаем р-'ив 1+0 6 Ьзбяа !+пей', 1п р-~ жп'Ьт, так что число итераций ле(е), необходимых для получения заданной точности е, оказывается равным 1пе т !пе т пе(е) =: 1пр т пзйз Следовательно, необходимое число итераций пропорционально й-з, что свидетсльстгует о невысокой скорости сходимости метода Зейделя в случае разностиых систем уравнений. Отметим, однако, что требуемое число итераций в методе Зейделя примерно в два раза меньше, чем в методе Якоби (см. (9)).
Обратимся снова к методу верхней релаксации и подберем в выражении (30) параметр а таким образоьл„чтобы минимизировать р*(и). Нетрудно видеть, что минимум р'(а) достигается при х=1/Ур, т. е. при р=4гйп —, . зпй 2 2 ш= н он равен Р ~ — ) — ров (31) Подставляя сюда )4.=4зш —, получим при малых Ь, что 2пй е 1 — з!и (лй!2) ! — пй(2 1+ Ип (пй/2) ! + пй/2 следовательно,!пр,-'жб,бпй и необходимое число итераций п,(е) равно (32) Неравенство (26) будет выполнено, если константу р' подобрать из условия (29) 6 2.
Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров 1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрами. Данный метод подробно рассмотрен в 2 6 гл. 2 ч. П применительно к системам линейных алгебраических уравнений Ау=1 (1) с положительно определенной симметричной матрицей А. Напомним необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к данному методу. Пусть выполнены операторные неравенства "йЕ(А =.(,Е, (2) где у,)"(,)О, Š— единичная матрица.
В качестве 2, и у, можно взять, соответственно, наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А. Если точные собственные значения неизвестны, то под (, н "(, можно подразумевать их границы, т. е. (,— нижняя (положительная) граница минимального собственного значения и 1« — верхняя граница максимального собственного значения. Явный итерационный метод для системы (1) имеет вид «+Ау«=1, 2=0,1,...,и — 1, (3) т«+ где Й вЂ” номер итерации, у„— приближенное решение системы (1), полученное на й-й итерации. Предполагается, что задано произвольное начальное приближение у,.
В чебышевском итерационном методе параметры т„ й= 1, 2,..., и, подбираются таким образом, чтобы при заданном числе итераций п минимизировать погрешность ))у„— у!), возникающую на и-й итерации. Под нормой )!г)! вектора з здесь понимается среднеквадратичная норма И= 3 ' В 2 6 гл. 2 ч. 1! было показано, что оптимальными являются параметры т„, определенные следующим образом: т«т — р то 2 1 — $ (4) 1+Р«1«т +т«1+$ $= —, 1«=сов т~ (2« — !) и й=1,2,...,и.
7« 2и Если выбрать т, согласно (4), то для погрешности будет справедлива оценка ))у.— у)! (у.!)у.— у)!. (6) где (6) 389 Таким образом, чтобы применить чебышевский итерационный метод к конкретным системам уравнений, нужно 1) убедиться в том, что матрица А симметрична (или доказать, что данная матрица является матрицей самосопряженного опера- тора); 2) найти границы спектра 7, и 7, матрицы А, 3) вычислить итерационные параметры т, согласно (4) и упо- рядочить их так, чтобы обеспечить устойчивость метода.
В следующих пунктах рассматривается применение данного метода к разностным аппроксимациям уравнений эллиптического типа. 2. Применение к модельной задаче. Для модельной задачи у;; — 2уп + у(„; уу — 2у(. + у( (+, — ((ь Л~ ля (, 1=1, 2, ..., ((( — 1, л()('=1, (7) У((=У(л=О, 1=1, 2, ..., й7 — 1, У„=Ул(=0, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, в $1 было показано, что если записать ее в матричном виде (1), то матрица А будет симметричной, причем ее наименьшее и наибольшее собственные значения определяются формулами 8 ° зла 8 9л)( у,= — яп —, 7, = — соз —.
))) 2 ))~ 2 С ледовательно, систему (7) можно решать с помощью чебышев- ского итерационного метода (3), (4). Вычисление у,+г=(у(~(и)~((='1 целесообразно организовать следующим образом. Сначала по известным приближениям уц находится невязка (и — 2 ("4 (тч ., ("'. — 2„м~+ у(-(, (' уп ум), (', уь ('-) () у(, (м1, ю (3) ))) т + +(и! (, 1=1, 2, ..., ()(' — 1, а затем досчитываю)ся значения у~~+" по формуле УУ =Ун — ту+(гц, (,1'=1,2,...,М вЂ” 1. (у+ 1) (у) (Ф] (9) При этом полагаем У(о~~) = Ую(~лп О.
У~о~~~~= УК)'~ = О, (', 1 = 1, 2,, й( — 1, (10) Скорость сходимости итерационного метода определяется параметром 1 т, 2 Поскольку шаг сетки Ь невелик, можно считать, что 1$-0,5лл. 390 Оценим число итераций и, необходимое для уменьшения начальной погрешности в 1/в раз. Из неравенства (5) и выражения (6) для о/„следует оценка Ь вЂ” и!! (2р" Ьо — И Поэтому достаточно потребовать 2р," (е, т. е. и ь и (е) = 1и — '! и — . 2,/ 1 е/ рт При малых й имеем 1п — =2 )/$=п/т, Рт следовательно, а (е) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
