Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Задачи 3-1. Составить интегральное уравнение для функпии Ф(х) удовлетворяющей условиям — Ф" +«7(х)Ф =/с~Ф, Ф(0) =1, Ф'(0) = О, 58 $3. Злдлчл Штугмл — Лиувнлля и пользуясь этим интегральным уравнением, найти аснмптотвку Ф(х) и Ф'(х) при Й вЂ” ! +оо. 3-2. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать существование бесконечного числа собственных значений для следующей задачи Штурма-Лиувилля — Х" +д(х)Х = ЛХ, Х'(0) = Х(1) =О, Доказать симметричность соответствующего оператора и ортогонзльность собственных функций. 42 3-3.
Построить функци1о Грина оператора А = — — с граничными Нх условиями и(0) = в(() = О. Дать физическую интерпретацию результата. И 3-4. Построить функцию Грина оператора Ь = — — + 1 с гранич- 2 нымн условиями е'(0) = е'(1) = О. Дать физическую интерпретацию Результата. 3-5. Доказать с помощью функции Грина полноту системы собственв~ ных функций для оператора 1.
= — — + 11(х) с граничными условиями Ихэ е'(О) = е'(1) = О, соответствующями свободным концам. 3-6. Доказать, что если д(х) > О, то функция Грина с'(х, с) опера- Н тора Ь = — — + д(х) с граничными условиями в(0) = о(1) = 0 положиЫх тельна при х ф О, 1 и ( ~ О, 1. 3-1. Доказать, что в условиях предыдущей задачи функция Грина 0(х, ~) представляет собой положительное ядро, т.е. матрица (С(х1, х.)),, положительно определена для любого набора точек 3-8.
Разложить функци1о Грина С(х, С) задачи Штурма-Лиувнлля в ряд по собственным функциям Х»(х) и выразить через функцию Грина следующие суммы О» а) ~ =1 Л»' б) ~„—, »=1 л» где Л»(в = 1, 2, ...) — набор собственных значений данной задачи. ОО 1 ОО 1 Вычислить, в частности, ) — и ~, '—. »=1» »=1 » $4. Обобщенные функции 4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций В анализе и математической физике часто встречаются затруднения, связанные с недифференцируемостью тес или иных функций. Теория обобщенных функций позволяет освободиться от этих затруднений.
Кроме того, в ее рамках содержится упоминавшаяся вьппе и возникающая естественным образом б-функция Дирака. Ряд понятий и теорем анализа в теории обобщенных функций приобретает ббльшую простоту и освобождается от противоестественных ограничений, не связанных с существом дела. Происхождение понятия обобщенной функции можно объяснить следующим образом.
Пусть имеется физическая величина У(х), являющаяся функцией от точки х й К" (например, температура, давление и т. п.). Если мы хотим измерить эту величину в точке хо, воспользовавшись каким-нибудь прибором (термометром, манометром и т. п.), то реально мы измеряем некоторое среднее значение 1(х), взятое по некоторой окрестности точки хо — какой-то интеграл вида ) 1(х)у(х)дх, где у(х) — функция характеризующая измерительный прибор и «размазанная«где-то по окрестности точки хо. Возникает идея: не рассматривать вообще функцию Дх), а рассматривать вместо нее линейный функционал, сопоставляющий каждой пробной функции «о число (1, ~р) = 1(х)~о(х)дх.
(4.1) Рассматривая теперь произвольные линейные функционалы (не обязательно вида (4.1)), мы приходим к понятию обобщенной функции. Введем теперь нужные нам пространства пробных или, как говорят, основных функций цт. Пусть й — открытое подмножество в И". Введем обозначения: Е(й) = С (й) — простпранстпао бесконечно дифференцируемых функций а Й; Э(й) = Со (й) — простпранстпео бесконечно дифференцируемых функций с компактпным носителем а Й, т. е. таких функций «о й С (Й), что существует такой компакт К С Й, что ~р~п — — О. Вообще носителем функции «т б С(й) называется замыкание (в й) множества таких х б Й, что цт(х) ф О.
Носитель у обозначается епрр у«. Таким образом ецрр цт представляет собой наименьшее замкнутое множество Г С Й, для которого «о ~„, . = О или, что то же самое, дополнение У4. ОБОБЩенные ФУнкЦии 60 к наибольшему открытому множеству С С П, которого у~, = О. Пространство 2)(й) состоит тем самым в точности из тех ю Е С (П), для которых впрр~р представляет собой компакт в П. Вообще, если К вЂ” компакт в Н", то введем еще обозначение: 2)(К) = = Со~(К) — нространсглво твакнх функнвб у Е С (К«), что впрр<р С С К.
Ясно, что З(П) является объединением всех Э(К) по компактам К С Й. Наконец, мы будем использовать в качестве пространства пробных функций также о(ж") — нространствво Л. Шварца, соспюло4ев из тиаких рункннб ~р(х) Е С (Н"), что вар |х Ову(х)( < +ос длл любых оен" мулыпннндексов а н Д. Необходимо ввести топологию в пространствах основных функций. Это делается с помощью систем пояунорм. Дадим вначале общие определения.
Полунормой на линейном пространстве Е называется отображение р: Е -+ [О, +со), обладающее следующими свойствами: 1.р(х+ у) < р(х) +р(у), х, у Е Е; 2. р(Лх) = (Л( р(х), х Е Е, Л Е С. При зтом вз условия р(х) = О не обязательно вытекает, что х = О (если зто так, то полунорма называется нормой).
Пусть на Е задана система полунорм (ру)уе,у, где,У вЂ” некоторое множество индексов. Положим для любого с > О Пул = (х: х Е Е, ру(х) < с) (4.2) и введем на Е топологию, в которой базис окрестностей нуля состоит из всех конечных пеРесечений множеств виДа С л, а базис окРестностей любой другой точки хо получается сдвигом на хо, т.е.
состоит из конечных пересечений множеств вида хв + С,,, Таким образом, множество С с Е является открытым тогда н только тогда, когда вместе с каждой точкой хе ему принадлежит некоторое конечное пересечение множеств вида хо + С,л Ясно, что условие Иш х„= х равноснльно «-о+оо тому, что йш рд(х„— х) = О для любого,у Е 1.
«-о воо Чтобы избежать постоянного упоминания о конечных пересечениях, можно считать, что для любых уы уз Е,7 найдется такое уз Е .У, что рд(<р) < р,,(~о) и рь(р) <рж(р) 4.1. МОтнВНРОВКА. ПРОстРАнстВА ОснОВных ФУнкций 61 при любом у е Е (в этом случае СР„» С С»чл й С' „,). Если указан- ное условие не выполнено, то можно присоединить к системе пояунорм полунормы вида р,, ~,(1р) = так*(р,(у), ..., р,„(р)1), ((у, ср)~ < Срэ(р), ~р 6 Е, (4.3) где через (у, 1р) обозначено значение функционала у на элементе 1р.
В самом деле, непрерывность у равносильна существованию такого множества Свл, что ((у, »Р)~ < 1 при ~р е С.,„а это равносильно 1 выполнению (4.3) с постоянной С = —. Мы будем предполагать обычно выполнение следующего условия опн)елим осп»в: если р (р) = О ври всех у е,У, п»о <р = О. (4.4) Отсюда вытекает, что любые две различные точки х, р 6 Е имеют непересекающиеся окрестности (»хаусдорфовость» топологии). В самом деле, тогда существует такое у е,7, что ру(х — у) > О.
Но тогда 1 окрестности х+ С1,, и р+ Сй» не пересекаются при е < — ру(х — р), поскольку если бы оказалось, что х = х+ $ = р+ е 6 (х+ С,,) й (д+ оа»), то мы получили бы, что р;(х — р) = ру(е — Ф) < рв(з) + ру($) < 2е < ру(х — р). Рассмотрим теперь наиболее важный случай, когда множество,7 счетно. Тогда л можно считать множеством натуральных чисел, н на Е можно ввести метрику, полагая 1 рь(х — и) Р(х Р) = Р ль1+ А=1 (4.5) что не меняет топологии, определяемой полунормамн в Е. Мы будем считать всегда, что это уже сделано.
Таким образом, мы будем считать, что базис окрестностей нуля В Е состоит из всех множеств вида Сй» Если у — линейный функционал на Е, то условие его непрерывности равносильно существованию таких ,16,уиС>О,что й4. Ововщенныв 3 ункцни Легко проверяются симметричность и неравенство треугольника. Равенство х = у вытекает из условия р(х, у) = 0 благодаря требованию отделимости (4.4). Легко показать также, что определяемая метрикой топология совпадает с топологией, определенной выше с помощью полунорм.
Поскольку метрика (4.5) инвариантна относительно сдвига (т, е. р(х + с, у + х) = р(х, у)), для доказательства последнего факта достаточно проверить, что каждое множество У,,, содержит некоторый шар Вв(0) = (х: р(х, 0) < 4) радиуса б > 0 с центром в точке 0 и наоборот — всякий шар Вв(0) содержит множество вида 01л Пусть вначале дано о > О. Проверим существование таких 1, е, что б;.л С Вв(0).
Если 3 таково, что р1(х) < ру(х)> ..., рв>(х) < р;(х), то мы имеем ййа й=>и+1 Поэтому если е < — и щ < —, то Гул С Вв(0). Обратно, пусть 6 1 6 2 даны 1 в с. Существование такого б > О, что Вв(0) С Уу „вытекает из очевидного неравенства —.— ~ — < р(х, 0). 1 р.(х) 21 1+ ру(х) 1 А именно, нужно взять Ю так, что б < —. —. Тогда ввиду монотон211+с 1 С ности функций у(Ф) = —.— при Ф > О, из условия р(х, 0) < 6 будет 23 1+1 вытекать, что ру(х) < с. Определение 4.1. Счетно-нормированным пространством называется векторное пространство, снабженное счетным числом полунорм, причем выполнено условие отделимости.
Мы видели, что топологию в счетно-нормированном пространстве Е можно задавать метрикой р(х, у), инвариантной относительно сдвигов. В частности, непрерывность функций на Е и вообще любых отображений Е в метрическое пространство можно задавать на языке последовательностей. Например, линейный функционал у на Е непрерывен тогда и только тогда, когда из условия 1пп >рй = 0 вытекает, что й->+во 1пп (У, >рй) =О. й->+во 4.1. Мотнвнговкл. Пгостглнствл основных эхнкцнй 63 р (1о) = ~ впр /д~ср(х)/, 1о 6'Э(К). (4.6) /а$<ив Тогда полунормы р: (ср), т = 1, 2, ..., задают на 21(К) структуру счетно-нормированного пространства. Ясно, что сходимость 1ор — ь <р в топологии Э(К) означает, что если а — любой мульти- индекс, то д хр(х) -+ д 1о(х) равномерно на К.
2. Пространство Е(й). Пусть Кб 1 = 1, 2, ..., — такая последовательность компактов К1 С Й, что Кь С Кз С Кз С ... и для любой точки х 6 Й найдется такое 1, что точка х, входит в компакт К~ вместе с некоторой своей окрестностью. Например, можно пол ит ож ь К~ = (х: х Е Й, (х~ < 1, р (х, дй) ) -), где дй — граница й (т.е. дй = Й '1 й), р — обычное евклидово расстояние в Но. Положим р1(~р) = ~~~ впр ~д~у(х)~, у б Я(й). (4.7) ~.1<1 Х ЕК~ Эти полунормы превращают Е(й) в счетно-нормированное пространство. Ясно, что сходнмость 1ор -+ ~р в топологии 3(й) означает, что если а — любой мультииндекс, то д ув(х) -ь д"~р(х) равномерно на любом компакте К С Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
