Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В частности, отсюда вытекает, что определеннзл таким образом топология не зависит от выбора системы компактов Кн описанной вьппе. 3. Пространство 3()н" ). Здесь система полунорм имеет внд рь(у) = ~ впр ~х до~р(х)~, (а+У((л (4.8) а сходимость <рр -+ <р в топологии 3(й" ) означает, что есян А— любой дифференциальный оператор с полиномизльными коэффи- циентами на К", то А~рр(х) -ь А1о(х) равномерно на К".
Определение 4.2. Пространство линейных непрерывных функционалов на Е называется дуольньья нли сонрлхсеннььн пространством к Е и обозначается через Е'. Превратим теперь пространства 21(К), с(й) и 3(ж") в счетно-нормированные пространства. 1. Пространство 21(К). Положим 64 з4. ОБОБЩенные Функции 4.2. Пространства обобщенных функцнй Описанная выше процедура перехода от пространства Е к дуальному пространству Е' дает возможность определить пространства с'(Й) и 3(И"), как пространства, дуэльные к с(Й) и 3(И"). Мы не вводили никакой топологии в П(Й) (естественная топология в Э(Й) вводится нетривиально), но нам это не понадобится: мы определим сразу пространство П'(Й), кэк пространство таких линейных функционалов у, на й(Й), что ограничение ~~ непрерывно на В(К) длл любого компактна К С Й. Определение 4.3.
а) Элементы пространства Э'(Й) называются обобщенными функциями в Й. б) Элементы пространства Г(Й) нэзь«вшотся обобщенными функциями с компактньан носителем в ЙО. в) Элементы пространства 3'(И") называются обобщенными функциями умеренного рос«па на И". Пример 4.1. «Обычные» или «регулярные» обобщенные функции в Й. Пусть |,'~,(Й) — пространство функций на Й, абсолютно интегрируемых по мере Лебега на любом компакте К С Й.
Сопоставим каждой функции у б А~ос(Й) функционал на П(Й) (мы будем обозначать его той же буквой у), полагая (4.9) (у, у) = у(х) уэ(х) дх, где ю б 'П(Й). Очевидно, что при этом мы получаем обобщенную функцию в Й (она называется в этом случае «обычнойэ или «регулярнойэ). Важный факт состоит в том, что если две функции уэ, уз 6 Ь,'ьс(Й) определяют одну и ту же обобщенную функцию, то они совпадают почти везде. Это следствие следующей известной леымы. Лемма 4.4. Пусть У Е Ь,'~,(Й) и ( У(х) эо(х) дх = 0 длл любой функции эо е 'П(Й). Тогда у(х) = 0 длл почти всех х.
Доказательство этой леммы требует использования в той или иной форме факта существования достаточно большого числа функций в 'аэ(Й) . Пока еще мы не знаем, существуют ли такие нетривиальные функции. Построим некоторый запас функций, принадлежицих З(Ип). ННоситель обобщенной функции будет определен позже, и тогда введенный термин получит свое оправдание. 4.2. Пеостглнствл ововщйнных функций 66 Прежде всего, пусть ф($) = 9(1)е ~~~, где 8 6 К, р — функция Хевисайда, т.
е. д(1) = 1 при 1 > О, р(1) = 0 при 1 ( О. Ясно, что 6 (1) 6 С (К). Позтому если теперь рассмотреть в К" функцию у(х) = В1(1 — !х/~), то мы получим функцию у(х) 6 Савв(Кп), у(х) = О при (х( > 1, ср(х) > 0 прв ~х~ > 1. Удобно нормировать функцию у, рассмотрев вместо нее функцию ~р~ (х) = С ~<р(х), где С = ) у(х) Нх. Теперь положим у,(х) = = е "~р~(х/е).
Тогда у, 6 З(К"), ~о,(х) = 0 при )х( > е, у,(х) > 0 при ф ( е и / у,(х) дх = 1. Введем теперь важную операцию усреднения: по функции 1(х) 6 6 Х,'„(Й) построим свертку уе(х) = 1(х — у) ~р,(у) ду = у(у) р,(х — у) ау, (4.10) определенную при х 6 й, = 1х: х 6 й, р(х, дй) > г). Из теоремы Лебега ясно, что последний интеграл в (4.10) можно дифференцировать, причем У'Ях) = Ду)(д~<р,)(х — у)ду, (4.11) так что 1е Е С'"'(Й,). Отметим также следующие свойства операции усреднения: а) Если 1(х) = 0 вне компакта К С й, то 1,(х) = 0 вне е-окрестности компакта К. В частности, в зтом случае Д 6 З(й) при достаточно малом е > О.
б) Если 1(х) = 1 пуи х 6 Йгю то Ях) = 1 пРи х е Йв,. В частности, если у — характеристическая функция Йы, то у, 6 6 'В(й), ~д(х) = 1 при х Е Йы. в) Если 1 б С(й), то Ях) — ~ 1(х) прис -в +О равномерно на любом компакте К С Й. В самом деле, откуда )1,(х) — Дх)~ ( впр )Дх — у) — У(х)~, (в(~(с так что утверждение следует из равномерной непрерывности 1(х) на е-окрестности компакта К. г) Если 1(х) е А~~~,(й), где р > 1, то ~, -в 1 при е -в +О по норме 1Р(К) длл любого компакта К С й.
3 шубин мл. $4. ОБОБЩенные 'ФУнкЦии Поскольку значения уе (х) при х Е К зависят лишь от значений у(х) на с-окрестности компакта К, можно считать, что у(х) = О при х Е Е Й~К1, где К1 — некоторый компакт в П. Будем через !!. !!р обозначать норму ер(П), т.е. 1/р !!н!!р = !П(х)!Р4х Имеем: 11Ь = !)/11 -е1е.1е1ее!! Е/~~Л - 11,~;ЬНЕ = и,. В силу и. в) утверждение и.
г) верно при у' Е С(П). Но если у Е ьр(й), у = О вне компакта К1, то мы можем приблизить у по норме ЕР(П) ступенчатыми и затем непрерывными функпиями, равными О вне компакта Ка С П. Пусть д — такая непрерывная функция на П, равная О вне Кю что !!у — д)!р < б. Тогда получим: Н1п !!~у 1!!р ~ <НП1 !!уе де!!р + 11П1 !!де д!!р + 11П1 !!д у!!р = = 1' !!(У вЂ” 9),!!р+ !!д — Л!р < 2!!У вЂ” д!!р < 26, откуда ввиду произвольности числа б ) О вытекает, что 11ш !!~е — У!!р = О, что и требовалось.
Докажем тепеРь УтвеРжДение леммы 4.4. ПУсть У' Е Уч1ре(П) и (и у(х) 1р(х)1(х = О для любой функций р Е З(Й). Но отсюда следует, что у,(х) = О при всех х Е П,. Поэтому утверждение леммы вытекает из п. г). В Лемма 4.4 позволяет отождествить функции У Е Х ~)ее(й) с обобщенными функциями, определяемыми нми по формуле (4.9). Заметим, что запись (4.12) (/, 1р) = у(х) 1р(х) е(х часто употребляется и для обобщенных функций у (в этом случае левая часть (4.12) является определением правой; в случае, когда правая часть имеет смысл, зто определение непротиворечиво).
4.2. ПРОСТРАНСТБА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (4.14) Пример 4.2. »Реаулярнме» обоб»ценные фуннцин о Я'(Й) и 3'(К"). Если у с Ь,', р(Й), т. е. 1 с Ь~(К") и у(х) = О вне некоторого компакта К С Й, то мы можем построить по стандартной формуле (4.12) функционал на Я(Й), являющийся обобщенной функцией с компактным носителем. Мы будем отождествлять у и соответствующий элемент Я'(Й). Если У б А~!ос(К") и / фх)~(1+ )х~)»»х < +со (4.13) при некотором )»' > О, то формула (4.12) задает функционал на 3(К"), являющийся обобщенной функцией умеренного роста.
В частности, (4.13) выполнено, если у измерима и )~(х)~ < С(1+ (х~) Пример 4.3. 6-функция Днрано. Это функционал, определяемый формулой (6(х — хо), о»(х)) = о»(хо). (4.15) Если хо с Й, то 6(х-хо) б З'(Й) и даже 6(х — хо) б Я'(Й). При любом хо с К" ясно, что б(х — хо) е 3'(К"). Вместо (4.15) в соответствии с вышеупомянутым соглашением часто пишут /— 6(х — хо)о»(х)дх = о»(хо) (4.15') хотя ясно, что 6(х — хо) не является регулярной обобщенной функцией, поскольку из леммы 4.4 вытекаю бы в этом случае, что она равна О почти везде вне точки хо. Пример 4.4.
Пусть 5 — линейный дифференциальный оператор в К", à — гладкая компактная поверхность в К", »(Я вЂ” элемент площади поверхности Г. Тогда формула »о ~+ ~(~'"Яг~~ (4.15) г определяет нерегулярную обобщенную функцию с компактным носителем в К". В качестве Г можно брать компактное подмногообразие (возможно, с краем) любой коразмерности в К". В этом случае в качестве ОЯ можно брать любую плотность на Г (нлн дифференциальную форму максимальной размерности, если фиксирована ориентация Г). В частности, если à — точка, то мы получим б-функцию, определенную выше.
л4. Ововщенные Функции 68 4.3. Хопоаичля п сходимость в пространствах обобщенных функций (4.17) В частности, сходимость 5» -+ у в этой топологии означает, что (4.18) дяя любого у б 9'. Мы будем испольэовать в этом случае и обычное обозначение )пп у» = у. Пример 4.5. 8-образная ооследоеатлельносшь. Рассмотрим построенные выше функции ~о,(х) Е З(Ж"). Напомним, что они обладают свойствами: а) у,(х) > 0 при всех х; б) ( ~Р,(х)дх = 1; в) ~о,(х) = 0 при ~х~ > с. Докажем, что отсюда вытекает соотношение 1пп у,(х) = д(х) 6-++о в 'Э'(Ж"). В самом деле, зто означает, что (4.19) 1пп р, (х) фх) Их = ф(0) (4.20) для любой функции 1» Е 'Э(Ж").
Учитывая свойство б), мы можем пере- писать (4.20) в виде соотношения очевидным образом верного ввиду оценки ! /м*лФ(е — Ф(с1 ь/ < Р$Ф(е — яо~$. !ь~<е Отметим, что (4.19) верно не только в 'Э'(Ж"), но и в 8'(Ж"), Я'(Ж") и даже в Я'(й), если 0 Е Й. Пусть 9' — одно из пространств основных функций Э(й), 8(й) или 8(Жо), з' — соответствующее пространство линейных непрерывных функционалов на 8' (обобщенных функций).
Мы будем рассматривать пространство 9' с так называемой слабой шовологоеб, т.е. топологией, определяемой полунормами 69 4.3. 'Топология и сходимооть яа . в/с йв(1) = — — ',, 2л1«в!вв В ' 2 (4.22) определяемые нз того условия, что (Рв, «в) есть среднее арифметическое й первых частичных сумм ряда Фурье. В дальнейшем мы встретим и ряд других важных примеров д-образных последовательностей. Отметим, что по сути дела всегда и в более сложных ситуациях б-образность доказывается тем же самым приемом, что и для у«(х). 1 1 Пример 4.6. Обоб«пенные функции —., ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
