Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 14
Текст из файла (страница 14)
А именно, обобщенны функция гэ " при в > 3 имеет порядок однородности 2 — в и при г ф О удовлетворяет уравнению Ьи = О. Поэтому Ьгз " сосредоточена в нуле и имеет порядок однородности — в. Но поскольку порядок однородности УЧ(х) равен — в — ~а~, то ясно, что Ьгз " = СЮ(х). При в = 2 имеем Ь(1пг) = О при г ф О и прод изводные — ()пг) однородны порядка -1. Поэтому Ь()пг) сосредодх точена в нуле и имеет порядок однородности — 2, так что Ь()пг) = = СЮ(х). Неясно заранее, почему не может оказаться, что Ьг~ " = О в Э'(К").
Мы увидим в дальнейшем, однако, что если и с З'(П) и Ьи = О, и б С"(й) (и даже более того: и вещественно-аналитична в П). Поскольку гз " имеет особенность в нуле, то Ьгз " ф О, откуда Ьтз " = СЮ(х), где С ф О. Анэлогичнопри в = 2 имеем Ь(1пг) = С6(х), С ~ О. Отметим, наконец, что оператор поворота определен в 2'(К") и в 3'(К" ), и зто позволяет придать точный смысл рассуждениям об усреднении, на основании которых мы вьппе сделали вывод о существовании сферически симметричного фундаменТального решения для оператора Ь. Пример 4.1$.
Фундаментальные решения для степеней оператора Лапласа. Из соображений сферической симметрии н однородности ясно, что для нахождения фундаментального решения оператора Ь™ в Кь естественно рассмотреть функцию гз ". Тогда мы получим, что $4. Ововщвнвыв ьункции Д»ю~м " = Сггэ ". Может лн быть С~ = О? Оказывается, что если 2п» вЂ” и р 2Е+ (т.е. 2ш — и не является четным неотрицательным числом), или, что то же самое, тэ " р С (К"), то мы получим, что С~ фби,значит, Д'"тз "=Сб(х),гдеСфО.Всамомделе,пригфО имеем при любом а е Ж: (а(а ц+а(п ц)гв-э а(а 1 и 2)гв-з Поэтому Дгз» "= (2/с — п)(2й — 2)гз» " з и при последовательном применении Д к гэ~ " мы будем получать множитель вида (2т — 2)(2оэ — и), затем (2щ — 4)(2ш — и — 2) и т.
д., откуда следует, что С~ ф О при оп — и 1» 2Е+. Поэтому при ив — и р 2Ез фундаментальное решение Р„"(х) оператора Д'" имеет вид Я„(х) = С жгз (4Л6) Далее, пусть 2п» вЂ” и е 2Ее, так что гэ "— многочлен от х. Тогда нужно рассмотреть функцию гз'" "1п г. Тогда получим 1 С~ 1п г, и = 2, Д~ ' ( э'" "1п ') = ( Сгт~ ", и > 4 (постоянная Сз зависит от и), где С» ф О и Сэ у» О.
Рассмотрим для определенности случай и ) 4. Заметим, что И 1 а — 1п г = —, так что й' г' дв-» („»~в-~1 „) дт-~ ( зев-~) 1 „+С з-~ С „з — е поскольку ге~ " — многочлен от х степени 2о» вЂ” и. Здесь Сз ф О, потому что гз ")п г 1( С (й"), а уравнение Дп = О не имеет решений с особенностями (если бы оказалось, что Сэ ф О, то прк некотором й мы получили бы, что и = Д» ~ (гз'" "1пг) имеет особенность в точке О ЗАДАЧИ 93 и удовлетворяет уравнению Ьи = 0). Впрочем, постоянную Сэ можно легко вычислить непосредственно.
Таким образом, при 2ш — и е 2У+ имеем: Я„(х) = С,„г "1пг. (4.77) 4.1.Найти )пп т,(х) в З'(К»), где т,(х) = — при х Е (-е, е), 1 я-++О ~(О т;(х) = 0 при х ~ (-е, е). 4 2. Найти 1пп Фе(х) в З'(К«), где Ф»(х) = — при х Е (-е, е), 1 »-++О Е 1«,(х) = 0 при х р (-е, е). 4-3. Найти 1пп — О1п — в З'(К'). е-++О х е 4.4. Доказать, что если 7' е С (К), то -(7'(х) — 7'(0)) е С (К). 4-в. Найти пределы пм 4-6. Рассмотрим каноническую проекцию К -+ Я' = К/2кй.
Она индуцирует изоморфизм С (У) -+ Сэ (К), где Сэ„— множество всех гладких 2к-периодических функций на К. Доказать, что этот изоморфизм продолжается по непрерывности до изоморфизма З'(Я')(= (С (о')) ) -+ З~ (К), где З~~ (К) — множество все~ 2я-периодических обобщенных функций. 4-7. Доказать, что ряд Фурье ~ 7«е««* сходится в З'(К') тогда и только тогда, когда существуют такие постоянные С и )7, что ~.(« ~ < < С(1+ ~й~) . При этом если У вЂ” сумма этого ряда, то У Е Зэ (К) и У» = (У, е '«*), где скобки означают естественную двойственность между З'(У) и С (У). 4 В.Доказать, что всякая обобщенная 2к-периодическая функция (илн, что то же самое, обобщенная функция на Я ) является суммой своего ряда Фурье.
94 $4. Ововгленные Функции 4-9. Разложить в ряд Фурье 6-функцию на о г или, что то же самое, обобщенную функцию ~~> б(х+ 2йт) е Эа,(ИВ). 4-10. Использовать результат предыдущей задачи для доказательства следующей формулы суммирования Пуассона: Д2ли) = — ~ Дй), где Х е Я(йж ), у — преобразование Фурье функции У.
4-11. Найти все такие и б З'(И), что а) хи(х) = 1; б) хи'(х) = 1; в) хи'(х) = Б(х). м~ 4-12. Проверить, что функция -4, где г = (х(, является фундаментальным решением оператора Гельмгольца гя + йз в мз. $5. Свертка и иреобразовавие Фурье 5.1. Свертка и прямое произведение обаэчных фуивций Свертакед обычных функций у и д на И" называют интеграл (у ед)(х) = У(х — д)у(д)Ид, (5.1) который берется по Ж". Конечно, интеграл (5.1) не всегда определен.
Мы будем рассматривать его в случае, когда )', у Е С(Ж") и одна из функций У, д имеет компактный носитель (в этом случае интеграл (5.1) имеет смысл и легко видеть, что у *д е С(К")). Делал в интеграле (5.1) замену переменных х — д = х, мы получим (У*д)(х) = Дх)д(х — х)Ых, (5.1') т.е.
свертка коммутативна: (5.2) Далее, пусть у Е С~(3Р). Тогда ясно, что (5.1) можно дифференцировать под знаком интеграла, причем мы получаем — У*у) = —,*д. д д~ дхв дх ' Вообще, если у Е С~(~") нли у е С (11"), то а У*д) =(д а*у=~*(д д). при ~а~ < юи. Операция свертки ассоциативна, т. е. (5.3) У*(д*й) = (У*у).5, (5.4) (у ху, ф) = у(х — д)д(д)ф(х)орох если У, у, Ь с С(ц") и две из трйх функций у, у, Ь имеют компактный носитель. Это можно проверить заменой переменных, однако мы сделаем это чуть ниже другим способом. Пусть у Е С(И" ) и у имеет компактный носитель. Тогда интеграл 55. Свйеткв и иевовевзоввнив Фуеьв 96 можно преобразовать, заменяя х на у + в, к виду (У х д> ~О) = / У(в)у(у) ~о(в+ у)иупв. (5.5) Отсюда в силу теоремы Фубннн очевидна уже доказанная коммутатнв- ность свертки. Далее, отсюда же следует, что ((У * д) х Ь, р) = У(х) у(у) й(в) р(х + у + в) даду дл = (У х (у х й), р), У д(с) =У(с) д(4), (5.6) где волна означает преобразование Фурье: У(с) = У(х)е ц'хдх.
(5.7) Таким образом, преобразование Фурье переводит свертку в обычное произведение. Посмотрим еще, как устроен носитель свертки. Введем сведующее обозначение. Пусть А, В с $Р. Положим А+В=(х+у:хЕА, у6В) (нногда А+ В называют арифметической суммой подмножеств А и В). Оказывается, что вирр(У х у) с вирр У+ вирру. (5.8) В свмом деле, из (5,5) видно, что если вирр уй (вирр У+ вирр д) = И, то (У * д, ~р) = О, что и дает включение (5.8).
что дает ассоциативность свертки. Отметим, что в (5.5) важную роль играет функция У(х)д(у) Е С(йвх), которая называется прямым ала теизориым произведением Ввуииааи У и у н обозначается У З у илн просто У(х) у(у), если полезно указать аргументы. Предположим, что У и д финитны. Тогда в (5.5) можно положить у(х) =е х'х, где с е Р'. Тогдаполучим: 5.2. Пгямок пгоизвкдкние Ококшенных ФУНКЦИЙ 97 5.2. Прямое про»я»ведение обоб»цйн»пвк функций Пусть й» С Й"', Йз С йо', у» б З'(й»), Ь б З'(йз). Определим их прямое или тензорное произведение у» Я уз Е З'(Й» х Йз).
Вместо у» ® уг мы будем часто писать также у»(х) 7з(у), где х б Й», у Е Йз. Пусть»о(х, у) б З(й» х йз). При у» б»»„(Й1) мы имели бы по теореме Фубннн (/»»8» ~з, 9») = (~»(х), (Яу), 9»(х, у))) = (~з(у), (~»(х), у(х, у))). (5.9) Эту же формулу надо принять за основу при определении 1» ® Ь для обобщенных функпий. Покажем, что она имеет смысл. Заметим прежде всего, что всякий компакт .К в й» х йз содержится в некотором компакте вида К» х Кз, где Ку — компакт в й», »' = 1, 2. В частности, вирр~о с К» х Кз при некотором Кы Кг.
Далее, 9»(х, у) можно теперь рассматривать как бесконечно дифференцируемую функцию от х со значениями в З(Кз) (бесконечная дифференцируемость означает, что все производные являются пределами своих рвзностных отношений в топологии З(Кз)). Позтому (уз(у), у(х, у)) б З(К»), поскольку уз является линейным непрерывным функционалом на З(Кз).
Отсюда следует, что имеет смысл функционал (Г, »о) = (Их), (.6(у>, Ю(х у))) Легко проверить, что г' б З'(й» х йз), причем виррЕ С вирру» х х вирруз. Можно построить также функционал С б З'(й» х йз) по фо1»муле (С, р) = (уз(х), (у»(у), р(х, у))). Необходимо проверить, что Р = С. Отметим, что если 9» = <р» Э ~оз, где шу б З(й»), т.е. р(х, у) = у»(х) ~рз(у), то ясно, что (Р' '»»> = (С '»»> = (У '»»»Иа 'р >. Поэтому ясно, что для проверки равенства Г = С достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 5.1. В З(й» х йз) плотим линебные комбинации функциб вида р» 6»»оз, где»оу Е З(йу). Точнее, если К» — компакта в й», »' = 1, 2, и К вЂ” такой комнан»п в й, что К содержится в мнохсестве внутренних точек К», то всякая функция»о б З(К» х Кз) може»п быть в З(К» х Кз) приближена сколь угодно точно конечными линейными комбинациями функциб вида»о» ®»рз, где р~ б З(К.). $5. СВеРткА и пРВОВРАЗОВАние ФУРье 98 Доказательство. Рассмотрим следующий куб Цл в )а"'+"'. 12(г) = ~ГРАВЕР~ — х г), (5.10) где 1 / 2я1 уА = — ~ у(г) ехр ~ — — й .
г) дг. — Р*/ (5.11) Яг Ряд Фурье (5.10) абсолютно и равномерно на 1)1 сходится к ~р(г), причем его можно сколько угодно раз почленно дифференцировать. В самом деле, интегрирование по частям показывает, что величины ограничены по модулю постоянной Си, не зависящей от й, т.е. ) ря) < Си (1 + )Цг) Отсюда и следует сходимость ряда (5.10) и воэможность его почленного дифференцирования.
Таким образом ряд (5.10) сходится в топологии С (1'„1я). Пусть теперь Ху е З(К1), Х = 1 в окрестности К.. Тогда получаем У(х, У) = Х1(х)Х2(Р)1Р(х, У) = ФА Х1(х) ехр( — й1 ' х) Хг Ы ехр( ~ ег ' Р) ~ АЬА2 т.е. куб с центром в точке О, со стороной И и с ребрами параллельными координатным осям. Выберем И столь большим, чтобы компакт К2 х Кз лежал строго внутри куба Я . В 1 2 Я ) полную ортонормиро/2зга ванную систему образуют экспоненты (ехр~ — „й г~, й б Е"~, где н = = П1 +Нг, г Е Й" и экспонента рассматривается как функция от г. Функцию ~р(х, у) = 1Р(г) можно разложить в ряд Фурье 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
