Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пеямов пеоизввдвнив ововщвнных ььнкций 99 где (ц е Е"', аэ б Е™, я = (аы яэ), причем ряд сходится в топологии 21(К1 х Кз). Но тогда конечные суммы этого ряда дают требуемое приближение для ~р(х, у). Теперь мы можем дать Определение. Если Л е Ту(Й ), з = 1, 2, то прямым или теизориым ироизеедеиием Л и Ь называется обобщенная функция на Й1 х Йю определяемая по формуле (5.9) и обозначаемая Л Э Ь Л(х) Ь(у) или Л(х) Э Ь(у). Легко видеть, что Бцрр(Л Э Ь) с епрр Л х Зврр Ь1 (5.12) а если Л Е 3'(Иьз ), то Л Э Ь б 3'(Ит+"'). Далее, легко проверяется, д дЛ д д дху — (ЛэЬ)= — эЬ вЂ” (ЛэЬ)=Лэ — Ь (513) дху ' ду~ дм Пример $.1.
б(х)б(у) = б(х, у). Пример 5.2. Пусть 8 Е И', х е И" ', р(х) е С(И" '). Обобщенная функция б(8) Э р(х) Е З'(И," ) называется простым слоем с плотностью р иа плоскости 8 = О. Ее физический смысл состоит в том, что она описывает заряд, сосредоточенный на плоскости 8 = О и распределенный по ней с плотностью р(х). Ясно, что (5.14) и"-' Обобщенная функция б'(Ф) Эр(х) называется двойным слоем с плотностью р иа плоскости 8 = О. Ее физический смысл состоит в том, что она описывает распределение диполей, расположенных с плотностью р иа плоскости 8 = О и ориентированных по оси 1. Дииолем в электростатике называют два очень близких очень больших заряда, одинаковых по величине и противоположных по знаку, причем произведение величины зарядов на расстояние между ними является определенной конечной величиной, называемой моментом диполя.
Легко видеть, что в З'(И") верно предельное соотношение б (1) Э Р(х) — (пп ~ Э Р(х) Э Р(х)) откуда и вытекает указанная интерпретация потенциала двойного слоя. 45. Свйеткл и певовелзовлнив Фуеьв Ясно, что (рбг, у) = р(х)~р(х) ЙЯ, г (км ) ~) = — ) х )~лн г (5.16) (5.17) где пБ злемент площади поверхности Г, а п означает внешнюю нормаль к Г.
Отметим, впрочем, что локально можно днффеоморфизмом свести зти функции к описанным выше прямым произведениям б(З) З р(х) и У(З) З р(х). > ~ Отметим ещб следующее важное свойство прямого произведения: оно ассоциативно, т.е. если Д Е З'(ЙЗ), З = 1, 2, 3, то (Л ЗЫЗУз =Л З(ЬЗУз) в З'(йз х йз х йз). Доказательство очевидно нз того, что в З(йз х йз х х йз) в том же смысле, что и в лемме 5.1, плотны конечные линейные комбинации функций вида уз З ~рз З Ззз, где уу б З(йу). 5.3. Свертка обобщенных функцнй Из формулы (5.5) ясно, что свертку обобщенных функций у, у Е Е З'(И" ) естественно пытаться определить с помощью формулы (~ * е, зз) = (У(х)у(р), у(х+ р)), у Е З(И").
(5.18) Однако зта формула (и сама свертка) не всегда имеет смысл, поскольку у(х + у) ф З(Из") при ~р Зб О. Тем не менее, иногда правая часть (5.18) имеет естественный смысл. Пусть, например, у Е 8'(И"). Тогда мы положим (У( )р(и) р('+и)) = (у('), (д(и) р(я+и))), (5 10) (б'(З) Зр(х), у(З, х)) = — ~ Ж(0, х)р(х)дх. (5.15) У др н."-' Формуламн типа (5.14), (5.15) простой н двойной слон могут быть определены на любой гладкой поверхности Г коразмерности 1 в И".
А именно, если р Е С(Г), то можно построить обобщенные функцни д рбг и — (рбг), определяемые формулами дп 5.3. Свветкя ововщвнных ьтнкций 101 что имеет смысл ввиду того, что (д(д), ~р(х + д)) е ЦК" ). Можно по- ступить и наоборот, полагая (Дх)д(д), у(х+ д)) = (д(д), (~(х), у(х+ д))), (5.20) что также имеет смысл, поскольку (у(х), у(х+ д)) е З(Щ). Покажем, что оба эти способа совпадают. Для этого возьмем такую функцию Х Е Э(К"), что Х(х) = 1 в окрестности вирру. Тогда ~ = К~ и мы имеем (У(х) (д(д) р(х+ д))) = (,с(х) У(х) (д(д) р(х+ д))) = = (у(х), ~(х)(д(д), у(х+д))) = (у(х), (д(д), Х(х)юр(х+д))), и аналогично (д(д), (У(х), р(х + у))) = (д(д), (у(х),,с(х)~р(х + д))). Но правые части этих соотношении равны в силу доказанного выше свойства (5.9) прямого произведения, поскольку Х(х)у(х+ д) Е 'Э(К~").
Поэтому равны и левые части. Теперь мы можем дать Определение. Свершиов двух обобщенных функций у, д б З'(К"), иэ которых одна имеет компактный носитель, называется обобщенная функция у' яд б З'(К" ), определяемая по формуле (5.18), понимаемой в смысле (5.19) или (5.20). Как мы видели, свертка коммутативна, т.е. У в д = д я У, У Е Е~(КК), д Е З'(Кк). Она также ассоциативна, т. е. (у ьд) хЛ= у ь(деЛ), (5.21) если две из трех обобщенных функций у, д, Л имеют компактный носитель, Это легко проверяется из ассоциативности прямого произведения, а также из того, что ((Ц «д)*Л, ~р) = (Дх)д(д)Л(з), ~р(х+д+х)) и то же самое верно, если заменить (у * д) ь Л на у ь (д * Л). У5.
СВеРткА и пРБОБРАЭОВАние ФУРъе 1О2 Правило (5.3) дифференцирования свертки верно и для обобщенных функций. В самом деле, (д (~ * д), у) = ( — 1)~ >(~ * д, д у) = (-1)>">(~(х) д(у), (д"1о)(х + у)), но (д 1о)(х + у) можно представить в виде д'*у(х + у) или д„"ьо(х + у) и тогда обратная переброска д" показывает, что верно правило (5.3): д-(~*у) = (д-й*д = 1. (д-д).
Прнмер 5,4. Решение неоднородного уравнения с Босшолнными ноэффиииенв1ами. Определение. Пусть р(В) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в И", Обобщенная функция Я(х) б б З'(И") называется его фундаменв1альным решениеи, если р(Ю)Я(х) = б(х). (5.22) Тогда уравнение р(П)и = У, где у б Я'(И"), имеет частное решение (5.23) (5.24) В самом деле р(П)(б*й = (р(11)31*У=5*У= У, что и требовалось.
Пример 5.5. Пользуясь предыдущим замечанием, можно находить без вариации постоянных частное решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными кеоффицнентами. В самом деле, пусть н = 1 и р(А1) = Ь вЂ” оператор вида уи ,~Го-1 а' Ь = — +а 1 — +...+а1 — +ао о$3л п1 1 ''' 4 7 х Пример 5.3. 5(х) А У(х) = у(х), У б З'(И" ). С алгебраической точки зрения мы видим, что операции сложения и свертки определяют на Г(И") структуру ассоциативного кольца с единицей б(х).
При этом З'(И") является двусторонним модулем над этим кольцом. 5.3. Сввгткл ововщвнных функций где ау = сопеа В этом случае мы можем положить с(х) = 0(х) р(х), где р — решение уравнения Х р = О с начальными условиями р(О) = р'(О) = ... = р< >(О) = О, рС '>(О) = 1. Отсюда, если функция Х Е С(К') имеет компактный носитель, то функция является частным решением уравнения Хи = Х. Отметим, что посколь- ку р(х — Х) как функция от х удовлетворяет уравнению Х р(х — с) = О при любом Е Е К, то функция удовлетворяет уравнению Хил = О.
Поэтому наряду с и1(х) частным решением уравнения Х и = Х является также функция и(х) = р(х — В) Х(1)Ш. о (5.25) и(х) = в1п(х — с) Х(1)сЫ. о Формула (5.25) дает решение уравнения Хи = Х при произвольной функции Х Е С(Хс') (не обязательно финитной), поскольку факт выполнения уравнения Хи = Х в точке х зависит лишь от поведенвя Х в окрестности этой точки, а само решение и, найденное по этой формуле, определяется в окрестности точки х лишь значениями Х на некотором конечном отрезке.
Приведем конкретный пример: частное решение уравнения и" + и = = Х дается формулой г5. СВБРткА и пРВОБРАЭОВАние ФуРье 104 и(х) = — / — Нр, 1 Г Г(р) 4я / )х — р! (5.26) а при и = 2 — логари4иичесний потенциал и(х) = — — Г Г(р) 1п(х — р(г1р. Г 2х / (5.27) Свертка Е„» Г в этих примерах и при любом п локально интегрируема. Свертка и = — Я„» Г как обобщенная функция совпадает с обычной локально интегрируемой функцией и(х) = — Во(х — р) Г(р)г(р, поскольку функция Я„(х — р) Г(р) локально интегрируема в Й~~"У и мы можем по теореме Фубини сделать в интеграле (Я„» Г, го) замены переменных, приводящие к определению свертки обобщенных функций. Приведем другие примеры потенциагюв. Свертка (5.28) где à — гладкая компактная поверхность коргзмерности 1 в Йп, р б Е С(Г), называется потенциалолг просгаого слог и имеет смысл потенцигла системы х зарядов, распределенных по поверхности Г с плотностью р.
Свертка и = -бо» вЂ” (рбг) д дп (5.29) называется погпенциалан двойного слоя и имеет смысл потенциала системы диполей, расположенных на поверхности Г, ориентированных вдоль внешней нормали и с плотностью дипольною момен- та р(х). Пример 5.6. Потенциалы. Если ߄— фундаментальное решение оператора Лапласа Ь в Ип, определяемое формулами (4.55), (4.55'), то свертка и = -Я„» Г, где Г й с'(К"), называется потенциалом и удовлетворяет уравнению Пуассона г5и = — Г. В частности, если функция Г кусочно-непрерывна, то при и = 3 мы получаем ньютоновский гюгпенциал 5.4. НОСИТЕЛЬ И НОСИТЕЛЬ СИНГУЛЯРНОСТИ СВЕРТКИ 105 Заметим, что вне поверхности Г оба потенциала (5.28) и (5.29) являются обычными бесконечно дифференцируемыми функпнями, заданными формулами и(х) = — 5„(х — у) р(р) сБю Г и(х) = 1 " о(у)ео„. Г 35 (* — у) доя Г (5.30) (5.31) Представляющее интерес поведение цотенцналов вблизк поверхности Г мы более подробно обсудим в дальнейшем.
5.4. Даяыившше своиства свертка. Носитель и иоситевь сивгуляриости свйртки Изучим вначале свертку обобщенной и гладкой функций. Предложение 5.2. Пусть у б 5'(К"), д Е С (Ж") или у' с й'(йх), д б СО (й"). Тоздо у хд с С (И"), причем (у х д)(х) = (у(р), д(х — р)) = (у(х — р), д(у)).
(5.32) (у(х — у), д(р)) = (у(у), д(х — у)) следует из того, что по Определению замена переменных в обойден- ных функциях делается так, как если бы мы кмели дело с обычным интегралом. Остается проверить, что если у Е З(йх), то ((У *у), у) = ((У(р), д(х — у)), д(х)) (у(х), (д(у), 1с(х+ у))) = ((у(у), д(х — у)), у(х)). Доказательство. Прежде всего, заметим, что д(х — у) является бесконечно дифференцируемой функцией от х со значениями в С (й,",). Если при этом д б Се (йх), то носитель д(х — у), кзк функции у, лежит в некотором компакте, если х меняется на компакте.
Поэтому (у(у), д(х — у)) е С (н"). Равенство 5.5. Глядкость гвшвннй одногодного УРАВнения 1О7 Предложение 5.5. Пусть У Е Я'(йР), д Е З'(И"). Тогда (5.33) вирр(У ь д) С вирр У+ вирр д. Доказательство. Надо доказать, что если ~о Е Й(й") и вирру й П (вирр У + вирр д) = 1о, то (У ь д, у) = О. Но это ясно из формулы (5.18), поскольку в этом случае вирру(х + у) не пересекается с вирр(У(х) д(у)~. Определение. Носителем сннгулярностн обобщенной функции У Е 6 'Р'(Й) называется наименьшее замкнутое подмножество Р С Й, для которого У~о~, е С (Й ~ г').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
