Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 19
Текст из файла (страница 19)
является гармонической функцией. Этому утверждению очень легко придать точный смысл, но мы не будем сейчас этого делать, чтобы не отвлекаться. Первая и вторая краевая задачи для уравнения теплопроводности в пределе дадут следующие задачи для уравнения Лапласа: Задача Дирихле: Ьи(х)=О, хЕЙ; и~ей — — п(х), х Е дй. (6.5) Задача Неймана: < две(х) = О, х Е Й; — ~ „= д(х), х Е дй. (6.6) Д(х)сИ = О / (6.7) ВП (зто же вытекает из формулы Гаусса — Остроградского, согласно кото- рой — вБ = Ьид'в', Вп и так что если и — решение задачи (6.6), то выполнено условие (6.7)).
В этой модели задача Дирихле имеет следующий смысл: надо найти установившуюся температуру внутри тела Й, если на границе поддерживается температура п(х). Смысл задачи Неймана: найти установившуюся температуру внутри тела Й, если на границе задан поток тепла Р(х). Очевидно, что решение задачи Неймана не определено однозначно: к нему всегда можно добавить постоянную. Далее, понятно, что стационарное распределение тепла может существовать в объеме Й лишь в том случае, если суммарный поток тепла через границу равна нулю, т. е. 6.3.
Поимев овосновянвя гягмоничности пгвдвльной эьнкции 127 6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции Возможно много вариантов такого обоснования. Мы приведем один иэ них. Предложение 6.1. Пусть решение и(1, х) уравнения теплопроводности определено и ограничено при 1 > О, х 6 й (й — область в Ж').
Предположим, что при почти всех х 6 й суигествует предел о(х) = 1нп и(е, х). е-++со (6.8) Тоеда о(х) — еармоническая 4ункцил в й. Замечание 6.2. Решение и(1, х) здесь можно а рггогг' считать ограниченной измеримой функцией, понимая уравнение (6.1) в смысле обобщенных функций, однако мы увидим ниже, что оператор теплопроводности имеет фундаментальное решение, бесконечно дифференцируемое при (1( + )х) ф О и, следовательно, на самом деле и(1, х) 6 С (Же х й), где Ж+ — — (1: Е > О), Более того, в предположениях предложения 6.1 предел в (6.8) на самом деле равномерен вместе со всеми производными на любом компакте К с й, т.е.
является пределом в топологии С' (й). В дальнейшем мы увидим, что все перечисленные задачи для уравнений теплопроводности и Лапласа разумны в том смысле, что они однозначно разрешимы (с указанной оговоркой относительно задачи Неймана) в естественных классах функций.
Эти задачи окажутся и корректны в надлежащем смысле, т.е. при правильном выборе пространств решения существуют, единственны и непрерывно зависят от данных задачи. Отметим, что задачи Дирихле и Неймана имеют много физических интерпретаций, отличных от приведенной выше. Например, малое вертикальное отклонение мембраны и(г, хш хг) и малое перемещение и(Е, хы хг, хг) упругого твердого тела удовлетворяют волновому уравнению дгн г — =а Ьн.
дг В стационарном случае мы опять приходим к уравнению Лапласа, и тогда задача Дирихле, например, в случае мембраны означает задачу о нахождении формы мембраны по форме ее границы. Граничное условие задачи Неймана интерпретируется как задание вдоль границы вертикальной составляющей силы, действующей на мембрану. З6. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСГИ 128 Доказательство предложения 6.1. Ясно, что 1пп и(т+т, х) = и(х) т-т+оо при всех 1 > О и почти всех х Е 11.
Если <р(1, х) й 'Б(И+ х 11), то нз теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла вытекает, что 11ш и(1+ т, х) ср(1, х) ййх = и(х) р(С, х) Йййх, (6.9) нли, иными словами, 11ш и(1+ т, х) = и(х) в З'(И+ х 11) т-т-~-то (здесь и(х)) надо понимать как 1Зи, т. е. в смысле правой части предыдущей формулы). Применим к обеим частям оператор теплопроводностн — — а Ь,. и поменяем местами этот оператор и предельныи переход д д1 (зто можно делать в обобщенных функциях — например, в данном случае дело просто сводится к замене функции х($, х) в (6.9) на другую функцию (- — — а Ь,) ~р($, х) е 'Э(И+ х Й)). Тогда мы получим, что д '1д1 *) — — а Ь ) и(х) = О, т.е.
и(х) является решением (в обобщенном смыд сле) уравнения Ьи(х) = О. Но, как мы знаем, тогда и(х) — настоящая гармоническая функция, что и требовалось. 6.4. Решение задачи Ковш для уравнения теняоправодвостзь Интеграл Пуассона Мы исследуем сейчас задачу Коши (6.2). Будем вначале считать, что 1о(х) б 3(И.") в и(1, х) б 3(ИА) при каждом $ > О, причем и(1, х) является непрерывной функцией от 1 при $ > О со значениями в 3(И") и, более того, бесконечно днфференцируемой функцией от 1 прн 1 > О значениями в 3(Ио ).
Как мы увидим ниже, решение и(1, х) с описанными свойствами существует (и в очень широком классе решений единственно). Пока же заметим, что мы можем сделать преобразование Фурье по х, а поскольку оператор преобразования Фурье осуществляет топологический нзоморфизм г': 3(И") -+ ЗЩ), то его можно менять местами . д с производной —. Итак, пусть й(1, С) = е ы'Си(1, х)дх 6.4. Решении задачи Коши для углвнвния твплопговоднооти 129 (здесь и в дальнейшем при отсутствии указания области интегрирования подразумевается интеграл по Ж").
Стандартное интегрирование по частям дает: = — +афй. де Таким образом, уравнение (6.1) равносильно уравнению дй(а 6) +.2К!26(, ) 0 (6.10) Начальное же условие, очевидно, приобретает вид ц~, = РЫ), (6.11) 6($, с) = е " ® у(с). (6.12) Взглянув на зту формулу, мы видим, что 6(8, С) действительно является непрерывной при 8 > 0 и бесконечно дифференцируемой при 8 > 0 функцией от 1 со значениями в 3(Щ).
Позтому совершал обратное преобразование Фурье, мы получим решение задачи Коши и(8, х), удовлетворяющее описанным выше условиям. Напишем более явную формулу. Имеем: а(1, х) = (2н) " е'*ЦО(Е, 6) ~Ц = (2я)-~~ еы Е-ы ф ДД<У~ — (2„)-а ецх-е) Е-ы'~6',р(у) с(уЩ Меняя порядок интегрирования (зто возможно по теореме Фубини), мы получаем: ц(8, х) = Г(1, х — у) у(у) ау, (6.13) 5 Шмбин М А где у = Ру. Уравнение (6.10) представляет собой обыкновенное дифференциаш ное уравнение по 1 с параметром (. Оно легко решается, и мы получим с учетом начального условия (6.11): гб. УРАВнение теплОпРОВОДИОсти где Г(1, х) = (2Н) " ег*'4 с РО сК (6.14) (х С вЂ” 1а ф~ = -1а~С С + (х ~ ~г Делая замену переменных с — — = у, т.е.
сдвигая контур инте21а грирования по каждому Сг, мы получим: Г(1, х) = (2 )-",-'".' 1,-" НН,1„= 2 (2я) -«е- ат (а ~Д)-е е — (6 Д~ (мы сделали еще замену переменных с = ВАМ г1). используя формулу е ® И~=я"~, получим окончательно: Г(1, х) = (2а~й$) "ехр~- — ). 7 )х) 41а (6.15) Решение задачи Коши записывается в виде и($, х) = „~ е / р(у)Йу, 1 (2а~/И),/ (6.16) называемом интезралом Пуассона. Проанализируем эту формулу. Заметим прежде всего, что она имеет смысл для значительно более широкого класса начальных функций ~р(х), чем класс 8(К" ), с которого мы начинали.
Ясно, например, что если ~р(х) непрерывна и )гр(х)( < Сец*~, Ь > О, (6.17) (по существу мы повторили выкладку, доказыввюшую, что преобразо- вание Фурье переводит умножение в свертку). Вычислим явно Г(1, х), взяв интеграл в (6.14). Для этого нужно выделить полный квадрат в показателе экспоненты: 6.4. Рвшвнив злдАчи Коши для угьвнвния твплопговодпости 131 то интеграл в (6.16) сходится при — > Ь, т.е. при 0 < 1 < —. При 1 1 4 22 4 2Ь этом сам интеграл и интегралы, полученные из него взятием любых производных по $ и х, сходятся равномерно для 2 6 [А, В], ~х~ < В, где 1 0 < А < В < —, В > О. Поэтому можно дифференцировать сколь- 4а2Ь' ко угодно раз под знаком интеграла.
Полученная функция и($, х) будет при указанных значениях Ф ршпением уравнения теплопроводности (6.1). В самом деле, достаточно показать, что функция Г(1, х) является решением уравнения (6.1) при 1 > О. Это можно проверить непосредственно, а можно вместо непосредственной проверки заметить, что мы уже знаем, что 0 = (д2 — а Ь ) в(Ф, х) = / (~ — а Ь ) Г(Ф, х — р) фр)бр для любой функции 22 Е 8(К"), откуда следует, что (® — азм,) Г(1, х — р) = О. д Легко проверяется также, что в этом случае выполнено начальное условие и~ = 22(х) в смысле, что при каждом х Е К" (6.18) Йп в(1, х) = х(х). Мы сделаем это даже двумя способами.
1-6 способ. Заметим, что Г(1, х) = е "Д-), где с = 2а~4, Дх) = = и "~2ехр( — ~х~2), так что У(х) > О, ) У(х)бх = 1 и е -+ +О при $ -+ +О. Мы имеем дело с классическим 6-образным семейством положительных функций (в частности, Г(1, х) -> 6(х) в Э'(14") при 1 -+ +0). Теперь проверка (6.18) проводится по стандартной схеме докззатель ства б-образности (см. $ 4, пример 4.5). Соответствующие подробности, которые мы опускаем, читателю полезно восстановить в качестве упражнения. 2-6 способ.
Пусть мы хотим проверить соотношение (6.18) при х = = хе. Разложим функцию у(х) в сумму у(х) = ~ре(х) + ~р2(х), где уе(х) непрерывна, совпадает с у(х) при ~х — хе~ < <1 и равна 0 при )х — хе~ > 2. Соответственно, у1 (х) непрерывна, равна 0 при (х — хе~ < 1 $6. УРАвнение теплОпРОЕОДЕОсти 132 и удовлетворяет оценке (6.17). Интеграл Пуассона (6.16) для ~р распадается в сумму таких интегралов для хв и для 1а» (мы обозначим их ие(», х) и и1(», х)). Соотношение (6.18) достаточно проверить отдельно для ие(», х) и для и»(», х).
Займемся вначале функцией ид(», х), Имеем: и»(» хо) — Г(», хо у)Р»(у)ау Ь-вь!й» Ясно, что подынтегрельная функция стремится к 0 при» -+ +О (поскольку 1пп Г(», х) = 0 при х ф 0), причем она имеет при 0 <» < В < »- +в < — интегрируемую мажоранту (вида ехр( — с~у~ )), не зависящую от 1 2 4а~Ь ». По теореме Лебега йш ид(», хе) = О. »- +е Остается рассмотреть случай финитной начальной функции. Здесь рассуждения из прнмера4.5, $4 проходят без всяких изменений. Однако есть н другой способ, основанный на аппроксимации гладкими функциями и последующем предельном переходе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
