Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(6.43) Она приводит к задаче на собственные значения < — ЬВ=ЛН, хай, де — ~ео =О, (6.44) обладающей теми же свойствами, что и задача (6.41), за одним ис- ключением: Л = 0 является собственным значением задачи (6.44). При и = 1 зта задача переходит в рассмотренную нами выше задачу Штурма-Лиувилля (с простейшими граничными условиями — нули на концах отрезка). Ниже мы докажем, что задача (6.41) обладает свойствами, весьма похожими на свойства задачи Штурма — Лнувнлля.
В частности, она имеет полную ортогональную систему собственных функцвй ВА(х), й = 1, 2, ..., с собственными значениями Лю причем Ль > 0 и Лл -ч +оо при й -+ -~ +со. Из (6.40) находим: ф($) = Се "" ', откуда видно, что ю($, х) естественно искать в виде ряда зб.
УРАВнение теплОНРОВОднОсти 146 Теперь тем же приемом, что и для случая в = 1, могут быть решены более общие задачи, например: й>0, хай, (6.45) 1>0> х6дй) х 6 й. Для этого вычитанием вспомогательной функции мы добнвземся того, чтобы О(1, х) = О, а затем ищем ранение и(1, х) в виде ряда и(1, х) = ~фь($)вь(х), А=1 откуда для НА(1) получаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Кдинственность решения этих задач может быть выведена с помощью принцнпа Хольмгрена иви получена нз принципа макснмума: если и($, х) — непрерывная в цилиндре [О, Т) х й функция, удовлетворяющая на (О, Т) х й уравнению теплопроводности, то (6.46) н(1, х) ( п1вх зпрк(0, х), знр н(4, х) (НЕЙ ввдп 1е[О,Т] Мы не будем доказывать этот фнзически естественный принцип. Доказательство довольно элементарно и его можно найти, например, в учебниках И. 1'. Петровского (43) или В. С. Владимирова [10-1]. В дальнейшем мы дадим доказательство существования полной ортогональной системы собственных функций для задачи (6.41). При этом граничное условие в (6.41) будет пониматься в некотором обобщенном смысле. В аналогичном смысле будет решаться и задача Дирихле.
Все это требует введения пространств Соболева, к теории которых мы сейчас и перейдем. 6-1, Дан стержень длины 1, боковая поверхность и концы которого теплоизолнрованы. Прн 1 = 0 левая половинка стержня имеет температуру иы а правая — температуру нз. Найти методом Фурье температуру стержня при М > О. Выяснить, что будет происходить с температурой при 8 -4 +со.
Оценить время, за которое перепад между ЗАДАчи 147 максимальной и минимальной температурами в стержне уменьшится вдвое (в частности, вь|яспить, как зто время зависит от параметров стержня: его длины, толщины, плотности, удельной теплоемкости, теплопроводности). 6-2. Стержень нагревается постоянным электрическим током. На концах поддерживается нулевая температура, а боковая поверхность теплоизолирована.
Считая температуру в сечении стержня постояппой, найти распределение температуры в стержне по данному начальному распределению, а также описать поведение этой температуры при 1-+ +со. 6-3. Пусть ограииченпое расценке и(1, х) уравнения теплопроводвости и1 = а~и„(х Е И' ) определено при $ ) 0 и удовлетворяет начальному условию и~, = ~р(х), где ~р е.
С(И'), Рпп ~р(х) = Ь, )пп у(х) = с. Выяснить, как ведет себя п(1, х) при 1 -+ +ос. 148 $7. ПРОстРАнстВА СОВОЛВВА н зАДАчА ДВРихлв $7. Пространства Соболева. Обобщенное решение задачи Днрнхле 7.1. Пространства Н'(й) Пусть в Е Е+, Й вЂ” Открытое подмножество в И". Определение 7.1. Пространство Соболева Н'(й) состоит из таких и Е Хх(й), что даи Е Х~(й) при ~О~ < в (Π— мультииндекс), где проазводная понимается в смысле обобщенных Функций. Введем в Н'(й) скалярное произведение (и, о), = ~~~ (даи, дав), )а)<ь (7.1) где скобки ( °, ° ) означают скалярное произведение в Х г(й). Введем так- же соответствующую норму 8и~!, =(, и), = (7.2) Ясно, что Н'(Й) с Н' (й) при в > в'. Далее, Но(й) = Х г(й).
В частности, каждое пространство Н*(й) Вложено в Х г(й). Предложение 7.2. Скаллриое произведение (и, о), определяет в Н'(й) структуру сепарабельного гильбертова пространства. Доказательство. Не очевидны лишь полнота и сепарабельность. Проверим полноту. Пусть последовательность (и») фундаментальна в Н'(й). Это означает в силу определения нормы б й„что все последовательности (д и»)», (при )а~ < в) фундаментальны в Х ~(й).
Но тогда в силу полноты пространства Хг(й) они сходятся, т.е. Нпз д и» = о по норме Хг(й). В частности, и» -+ вв. Но тогда дои» -+ дава в З'(й), а поскольку, с другой стороны, д"и» -+ в в В'(й), то о = даео. Тв ким образом, оо Е Н*(й), и даи» -+ даэо в Хг(й) при ~а) < в. Нозто и означает, что и» -+ оо в Н'(Й). Проверим сепарабельность. Отображение и ьо (д и)~а~<, задает Взометричное вложение Н'(Й) в прямую сумму нескольких зкземпляров пространства Х,г(й). Теперь сепарабельность Н'(Й) вытекает нз сепарабельности Х,г(й).
150 $7. Пгостг»нств» Соеолвв» н з»д»ч» Двгихлв где С > 0 не зависит от С, то условие и б Н*(И") равносильно тому, что (1+ ~(~г) в(С) 6 Ьг(К"), а норма (7.2) при 11 = К" эквивалентна норме 17г т.т, = '7'о+~тт~'> а'тт~, с а1 которую мы будем обатначать так же, как и норму (7.3) (опасность путаницы не возникает). Таким образом, доказано Предложение 7.3. Простпрансщао Н'(И") состпоитп вэ тпех в щольпо тпех в е 3'(К"), длл нотпорых (1+ ~6 ) и(~) Е Ь (Ии), ~~в~~(ц = ~~ 1 ~В в(х)!. ~а~я» лен (7.5) Теорема 7.4 (теарема ваожыия С.Л. Соболева). При е > -+ й вме- 2 етп место вложение Н'(К") С С»»(К"), (7.6) причем оператпор аложенвл непрерывен.
Поясним формулировку теоремы. На первый взгляд кажется, что она бессмысленна, поскольку функцию и Е Н'(И" ) можно как угодно изменять на любом множестве меры нуль, не меняя соответствующей обобщенной функции (и элемента пространства Н'(К")). Изменяя же функцию и во всех точках с рациональными координатами, мы можем добиться того, что она будет всюду разрывной. Поэтому включение (7.6) следовало бы более точно формулировать так: если и е Нт(йн), а норма е нем можетп бытпь задана втормулоб (7.4). Это предложение может служить основой для определения пространств Н'(И") при любом действительном е. А именно, при любом в б И мы можем составить пространство тех и Е 3(й"), что й(С) Е Ь~„(И") и (1+ ~()г)'тгй(С) Е Ьг(йй), введя на нем норму (7.4).
Мы снова получим сепарабельное гильбертово пространство, которое и обозначается Н'(Кн ). В дальнейшем нам понадобится банахово пространство С»»(К") (здесь й е Е+), состоящее из функций и е С»(К"), производные которых У'в(х), ~а~ < й, ограничены при всех х Е К". Норма в С»»(К") задается формулой 152 З7. ПРООТРАнстВА СОБОлеВА и ЗАДАЧА ДЕРихле й(С) на (1+ ~(~~)вт~. Этот оператор нзоморфно и изометрично отображает Н'(й") на Ьг(й"), переводя 3(й") изоморфно на 3(й").
Поэтому плотность 3(й") в Н'(й") вытекает из плотности 3(й") в Ьг(й"). Пусть теперь е й Н'(Х'), и й 3(й"), и -+ е в Н*(й"). Но из неравенства (7.7) следует, что последовательность и фундаментальна по норме Й (~(лр Следовательно, и — т ет в СА~(й"). Но тогда и и ет совпадают как обобщенные функции, и, следовательно, почти всюду. Неравенство (7.7) по непрерывности верно при веют и б Н'(й"), что доказывает непрерывность вложения (7.6). В частности, теорема 7.4 показывает, что для функций и й Н'(К" ) при в > — имеет смысл говорить об их значениях в точке.
2 Интересен также вопрос о том, когда имеет смысл ограничение на подмногообрззие произвольной размерности. Однако нам он в общем виде не понадобится и мы обсудим лвпть наиболее важный случай многообразия коразмерности 1. Для простоты обсудим просто случай гиперплоскости х„= 0 в й". Точку х е К" будем записывать в виде х = (х', х„), где х' б К" '. Теорввва 7.6 (теорема С.Л. Соболева о следах). Оператпор ограни- 1 ченил и в-+ и~ при в > — продолхеаетпсл (с 3(й")) до линебного непрерывного отпобрахеенил Нв(йв) + Нв-172(йв-1) Доказательство. Запишем оператор ограничения через преобразование Фурье (для и е 3(йв)): Отсюда видно, что если через Рч обозначить преобразование Фурье по х', то мы получим: Р"и(х', О) = — й(с', 4„) ас„.
Положим для краткости е(х') = и(х', О), 6(Е) = г ти(хв), так что 154 в7. ПРООТРАистВА СОБОлеВА и 3АДАчА ДиРихле Теорема 7.5 означает,что если и Е Н*(К"), то корректно определен след и~ функции и на гиперплоскости я„ = 0 и он является элементом Н* '/в(К" '). Получать его нужно так: представить и в виде предела Кш и,„по норме ц )(, функций и Е 3(К").
Тогда следы и ) при т -+ со имеют предел по норме )) й', 7. в пространстве Н' ~7з(К" 1), причем этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности. При желании ограничиться целыми значениями в можно воспользоваться тем, что Н* '7в(Кь ') С Н' 1(К" '). Таким образом, след и~, функции и Е Н'(К") принадлежит Н' '(К" '). Можно определить пространства Н'(М), где М вЂ” гладкое компактное многообразие (без края). А именно будем писать, что и Е Н*(М), если для любого координатного диффеоморфиэма х: 77 — > Й (здесь 77 — область в М, й — область в К" ) и для любой функции 1о Е Срьь(й) имеет место включение у(и о х 1) Е Н'(К"). Здесь и о х ' — это обобщенная функция и, перенесенная на Й с помощью диффеоморфизма х 1.
Она умножается на <р, чтобы получилась обобщенная функция, носитель которой лежит в й. Тем самым, у(и о х 1) Е с'(й) С Г(К"), в частности ~р(и ох ) Е $'(К"), так что имеет смысл говорить о включении у(и о х 1) Е Н'(Кв). Локализация паюоляет, например, доказать следующий аналог теоремы 7.5: если й — ограниченнав область с глад- 1 ной границей дй, то при в ) — оператор ограничения и ь+ и~ продолжается (с С'о(й)) до линейного непрерывного оператора Н'(й) — > -+ Н* '7'(дй) 7.2.
Пространства Н'(й) Определение 7.6. Пространство Н'(й) . Зто замыкание З(й) в Н'(й) (мы считаем, что в Е Х+). Таким образом, Н'(й) — это замкнутое подпространство в Н'(Й). Тем самым, оно само является сепарабельным гильбертовым пространством.
Ясно, что Н'(Й) = Н'(Й) = 7,'(й) Однако уже Й(й) необязательно совпадает с Н'(й). В самом деве, если Й вЂ” ограниченная область с гладкой границей, то, как говорилось выше, функция и е Н1(й) имеет след и~ е А г(дй). Ясно, однако, что 7.2. ПРОСТРАНСТВА Й(й) если и б Н1(й), то и~, = О. Поэтому, например, если и е С'ь(й) и и~ ~ О, то и ф Н1(й). Пространство Й(й) вкладывается (и притом взометркчно) также в Н'(Ро).
Это вложение продолжает вложение 2У(й) С 2(Ж"). Такое продолжение определено по непрерывности, поскольку норма (! ° )(, на 2(й) эквивалентна норме пространства Н'(ж"). Важный факт представляет собой следующая теорема о компактности вложения. Теорема ТЛ. Пусть й — ограниченная область в Ио, в, в' б л+, в > в'. Тогда вложение Н'(й) С Н' (й) является компактным (вполнс непрерывным) оператором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
