Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Итак, условие и~ = 0 на функциях и С Сз(11) для ограниченной области й с гладкой границей равносильно включению и Е Нз(й). Это оправдывает замену граничного условия в (7.15) включением (7.16). Далее, выполнение тождества (7.17) для и Е Нз(й) при любой функции о Е Н'(й) равносильно тому, что Ьи = у (где »А применяется в обобщенном смысле).
В самом деле, если выполнено (7.17), то выбрав о Е З(й), мы получим, перебрасывая производные с и на о, что (и, Ьо) = (у, о), о й 71(й), что и означает, что Ьи = у. Обратно, если Ьи = у, и б Нз(й) и у й 1.з(й), то тождество (7.17) верно при о й 'В(й), а значит по непрерывности при любом о й Н'(Й). Все зто оправдывает следующую обобщенную постановку задачи (7.15): Пусть й — произвольная озраннченнал область в $Р, ~ й Хз(й); кадо найти такую 1бунниию и й Нз(й), что тохсдвство (7.17) вынолнеко двл любой 1дунниии о Е Н1(й) (или, что то же самое, для любой функции ю Е '1У(й)).
Функцию и будем называть в атом случае обобзаеннььн решением задачи (7.15). Выше мы видели, что если Й ограничена и имеет гладкую границу, и й С (П), то и является обобщенным решением задачи 164 в7. ПРОстРАнстВА СоволеВА и ЗАдАчА ДЕРихле (7.15) тогда и только тогда, когда оно является решением этой задачи в классическом смысле. Теорема 7.9. Обобщеяяое рещеяие задача (7.15) сущестивуеш и едиис|лвеяяо. Докжюатеяьство. Перепишем (7.17) в виде (7.18) (щ и) = — (щ 7) и рассмотрим правую часть как функционал от о при с е Й(й). Это линейный непрерывный функционал. Его линейность очевидна, а непрерывность вытекает из неравенства Коши — Буняковского: 1(о, ~)! < ~1~~~ ~~с~~ < ~~~йы где 5' ° !) — норма в А,э(й).
По теореме Рисса мы можем (и притом единственным образом) зэ писать этот функционал в виде (о, и), где и — некоторый фиксированный элемент пространства Й (й). Это доказывает однозначную разрешимость задачи (7.15) (в обобщенной постановке). Обобщенная постановка задачи Дирихле оставляет открытыми два важных вопроса: 1) точное описание класса всех решений и при 7' Е й ьэ(й), 2) существование более гладкого решения при большей гладкости 7. Заметим, что локальные вопросы о гладкости легко решаются тем замечанием, что если Цх) — фундаментальное решение оператора Лапласа в и"', то свертка ио(х) = (Я * 7)(х) = Я(х — у) 7'(у)бу (определенная при почти всех х) является решением уравнения Ьио = у и, значит, Ь(и — ио) = О, т.е.
и — ио — аналитическая функция в й. П<хэтому гладкость и локально совпадает с гладкостью ив и может быть легко описана (например, если 7 й Свв(й), то и й С'"'(й)), как это уже было доказано ранее). Сложнее решается вопрос о гладкости вблизи грашщы. Более того, для случая негладкой границы он не выяснен до конца и по сей день. Однако в случае, когда граница дй гладкая (класса Сс"), имеются точные (хотя и не очень просто доказываемые) теоремы, описывающую гладкость и через гладкость 7. Мы приведем две такие теоремы без доказательства. 7.4. ЗАДАЧА ДиРихле (оеоешенное Решение) 165 Итак, пусть ограниченная область Й имеет гранвцу класса С Если у 6 Н'(Й), г й Х+, то и 6 Н'+г(Й) ПН1(Й). Обратно, очевидно, что если и 6 Н'+г(Й), то Ьи = у е Н'(Й).
Таким образом, оператор Ь осуществляет изоморфизм: Ь: Н~~(Й) й й(Й) -+ Н'(Й), е Е Е+. В частности, в этом случае все обобщенные решения (при у 6 Ь~(Й)) пробегают пространство Нг(Й) О Н1 (Й). Другой вариант точного описания гладкоств имеется в шкале функций, удовлетворяющих условию Гельдера. Будем писать, что 7' Е Сч (Й), где О < 7 < 1, если ~Д(х') — у(хо)~ < С(х' — х" ~", х', хо й 11 (говорят тогда, что у удовлетворяет условию Гельдера с показателем 7). Класс функций Сн+т(Й), где т Е Е+, у 6 (О, 1), состоит из таких функций 7' й С~(Й), что д у Е Сч(Й) прн ~о~ = т.
Если и — решение задачи (7.15) в ограниченной области Й с гладкой границей и у 6 С"'+'(П), где п1 й е +, О < 'у < 1,то и Е С »г+т(Й). Отметим, что такого сорта теорема неверна в обычных классах С"(Й) даже локально, а именно, вз условия у' е С(Й) не следует даже, что и Е Сз(Й). Перейдем к рассмотрению обобщенной постановки обычной задачи Дирихле Е Аьи = О, и!оп (7.19) Прежде всего возникает вопрос об интерпретации граничного условия. Мы сделаем это так: будем считать, что дана такая функпия», что »~ = у.
Будем считать, что» б Н1(Й), а граничное условие для и интерпретируем так: и — » й Й(Й). Отсюда следует, что и й Н1(Й). Введение функции» избавляет нас от необходимости описывать гладкость у и, тем самым, от использования пространств Соболева с нецелым индексом на дЙ. Кроме того, удается рассмотреть случай области с негладкой границей. Итак, сформулируем обобщенную постановку задачи Дирихле (7.19): Пусть дана ограниченная область Й С И" и» ч Н1(Й); набти танрю фрнниию и 6 Н'(Й), что Ьи = О и и — » 6 Й (Й).
На первый взгляд кажется, что эта задача сводится к предыдущей, если искать и — » й Н1(Й) и обозначить у = Ь(и — ») = — Ь». Однако ниоткуда не следует, что Ь» 6 А г(Й), а более общий случай мы не 1бб $7. Пгосттянствл Соволквя и зядячя дигнхлк рассматривали. Поэтому рассмотрим эту задачу независимо от первой, тем более, что решается она стопь же просто. Из вышеизложенного ясно также, что если о Е С(й), о] „= «о, и Е Ст(!!) и и — обобщенное решение задачи (7.19), то и является обычным классическим решением этой задачи.
Теорема 7.10. Обобщенное решение и задачи Дирихле существует и единстпвенно для любой ограниченной области й С Ж" и для любой функции о Е Нт(й). Этно решение имеетп стпрого минимальный интеграя Дирихле 77(и) среди всех функций и е Нт(й), для котпорых и — о е Н'(й). Обратно, если и является стационарной точкой интпеграяа Дирихле в классе всех функций и Е Нт(й), длл которых и — с Е Нт(й), то на самом даве интпеграл Диритле имеет стпрогий минимум на функции и, причем и,ввляетпся обобщенным решением задачи Дирихле.
Доказательство. Пусть и б Нт(й). Условие тли = О можно записать в виде: (и, Ью) =О, шее(й), или, что то же самое, в виде [и, ш] =О, ш Е'Э(й). Поскольку скалярное произведение [и, ю] является по ю непрерывным функционалом на Нт(й), по непрерывности имеем [и, ю] =О, шЕ Нт(й). (7,20) Это условие равносильно уравнению тли = О. Итак, мы должны нолти такую функцию и Е Н (Й), что и ортогонзльна подпространству Н'(й) относительно скалярного произведения [,.], причем о — и б ~ Н" (й). Но это означает, что и являетсл перпендикуляром, опущенным из о на подпространство Нт(й)! Как известно, в гильбертовом пространстве такой перпендикуляр единствен, причем он является наименьшим по длине вектором и е Н (Й), удовлетворяющим условию и — и е Й(й).
Условие стационарности и, как известно, приводит к условию ортогонзльности. Однако имеется небольшая неприятность: «скзлярное произведение [, ] определяет структуру гильбертова пространства на Нт (й), но не на Нт(й). Поэтому следует слегка уточнить приведенные рассуждения. 7.4. ЗАдАчА ДНРихле (ОВОВщенное Решение) 1бТ Рассмотрим я = е — и Е Н1(й), так что е = н + я.
Из условия (7.20) вытекает, что [ш,е]=[ш,я]) ШЕН (Й). (7.21) Но отсюда очевиден способ доказательства существования решения. А именно, рассмотрим [и, е] как линейный непрерывный функционал от и на Й(й) и представим его (по теореме Рисса зто возможно и притом единственным образом) в виде [ш, г], где я — фиксированный злемент Й(й). Остается положить и = е — ю По построению я выполнено условие (7.21), откуда следует (7.20). Условие и — е б Н~(й) очевидно. Единственность решения очевидна из того,что если и1,из — два решения, то и = и1 — из Е Н'(й) удовлетворяет условию (7.20), откуда и = О. Покажем теперь минимальность интеграла Дирихле на решении и в классе всех и1 е Н'(Й), для которых и1 — в е Й (й).
Положим з = и1-и, так что и1 =н+л. Ясно, что » е Н'(й) и из (7.20) находим Э(и1) = [иы и1] = [и, и] + [з, л] = З(и) + 21(я) > З(и), причем равенство достигается лишь при З(з) = О, т. е. при л = 0 или, что то же самое, при и = н1. Проверим, наконец, что если интеграл Дирихле стационарен на функции и е Н (Й) в классе всех и1 е Н1(й), для которых и1 — п е Е Н1(й), то и — обобщенное решенве задачи Дирихле (н, значит, интеграл Дирихле достигает строгого минимума на и). Стационарность интеграла Дирихле на и означает, что у21(и+1л)[ = О, з Е Й(й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
