Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 26
Текст из файла (страница 26)
8.1. Симмвтгичвскив и слмосопгяжвнныв опвглтогы 173 Такой оператор всегда самосопряжен. В самом деле, симметричность его очевидна и надо лишь проверить, что Р(А*) = Р(А). Пусть и Е Р(А*), А'и = ш Проверим, что и Е Р(А) и а(т) и(т) = = е(т) при почти всех т. Рассмотрим множество Мп = (т: ш Е М, (а(ш)~ < Х), и пусть Лп(ш) = 1 при ш Е Мп и Хм(ш) = О при ш ф Мп. Условие А'и = е означает, что / а(ш) Дш) и(т) ар = у(т) и(т) Йр М м для любой функции 1 Е Р(А).
Заметим, что если д Е Ьг(М, ИП), то Хпд Е Р(А). Отсюда следует, что l а(т) д(т) и(т) др = д(ш) е(ш) йр мп мя для любого д Е у~(Мп, Ир). Но ясно, что (аи)~ Е Ь~(Мп, Ир), так как функция а ограничена на Мп. Поэтому ввиду произвольности д ясно, что аи) = е), . Поэтому если М = Ц„г Ми, то аням — — е(м. Поскольку функция а(т) почти везде конечна, то множество М 1 М имеет меру О. Таким образом, а(т) и(т) = е(ш) почти везде. В частности, а(ш) и(т) Е г.г(М, Ир), т.е. и Е Р(А) и аи = е, что и требовалось.
Важный пример: рассмотрим пространство(", т.е. пространство последовательностей х = (хы хг, ... ), х. Е С, для которых ~„~, (х.(г < < +со. Оператор А, переводящий (хы хг, ". ) в (Л1хы Лгхг, ... ), где Л Е К, определенный на тех последовательностях х, для которых ~ 1, Л~1~х ~~ < +со, является сзмосопряженным оператором. В этом прймере М есть счетное множество, а мера каждой точки равна единице.
Операторы Аг. Я1 -> Яг и Аг. Яг -+ Яг называются диишарио эквивалентными, если существует такой унитарный оператор с: Я1 -+ -~ Яг (т.е. обратимый оператор, сохраняющий скалярное произведение), что П г Аг П = А1 (напомним, что равенство операторов подразумевает равенство областей определения), т.е. коммутативна диаграмма А1 Яг + Яг п~ Аг Яг — + Яг 174 З8. Совстввнныв значвния и совстввнныв ььнкции Теорема (спектральная теорема).
Валкий самосопрязеенный оператор в енльбертовом пространстве унитарно эквивалентен некоторому оператору умноэкеннл на функнию (см., например, Рид и Саймон [45)). Заметим, что унитарная эквивалентность оператора А описанному выше оператору в (" означает, что пространство Я сепарабельно и в пространстве Я имеется ортогонвльный базис )оы )рэ, ..., состоящий из собственных векторов оператора А с собственными значениями Лы Лг, "- При этом Если еще [Л [ -+ +со при у' -+ +оо, то говорят, что оператор А имеет онекретный спектр.
Если Кег А = О, то дискретность спектра оператора А равносильна тому, что оператор А 1 всюду определен и компактен (вполне непрерывен). Это вытекает из известной теоремы о том, что компактный самосопряженный оператор имеет ортогонвльный базис из собственных векторов с собственными значениями ры рэ, ..., причем р -~ О при .у -+ +со. 8.2. Расширение по Фридрихсу Приведем важный конкретный пример симметрического, но не самосопряженного оператора.
Пусть Ь вЂ” оператор Лапласа, Й вЂ” ограниченная область в К". Рассмотрим в Ьз(Й) оператор Аа, имеющий область определения Ю(Ао) = 2)(Й) и переводящий у с 'В(Й) в ( — )л))э). Элементарное интегрирование по частям показывает, что оператор Аа симметричен, т.е. (Аау, ф) = (у), Ааф), у), ф б Э(Й), где скобки означают скалярное произведение в Ьз(Й).
Этот оператор даже не замкнут. В самом деле, легко видеть, что если ))э е С~(Й) и вирру — компакт, лежащий в Й, то существует такая последовательность функций )ов Е З(Й) (их легко получить, например, с помощью операции усреднения), что )ов -~ у) и )2)у)) -~ )."ца по норме Ьз(Й). Беря )Р )с Т)(Й), мы видим, что оператор Ао незамкнут. Однако его можно замкнуть. Это значит, что мы можем определить замкнутый оператор Аа, график которого есть замыкание графика оператора Аа 8.2. рлсшидвнив по рдидеихсх (в Хд(й) х Хд(й)).
Это значит,что если у Е Хд(й) и существует такая последовательностыр» е З(й), что р» -» дд и Ьу» -+ Х в Хд(й), то мы полагаем ~о Е Р(Ад) и Ад~р = Х. Легко видеть, что в этом случае по-прежнему (Ад~р~ Ф) = (~р Адф), ф Е З(й), Отсюда, в частности, вытекает, что Аду корректно определено (не зависит от выбора последовательности ~д») и что имеется включение Ад С Ад. Кстати, легко видеть, что (Ад)' = Ад (это получается предельным переходом в тождестве, определяющем Ад). Интересно понять, что такое Ад.
По определению, Р(Ад) состоит из таких и Е Х (Й), что существует такое д Е Х (Й), что (д, Ф) = (и, ( — Х») Ф), Ф Е З(й). Но это означает, что — Ьи = д в смысле обобщенных функций. Поэтому Р(Ав) ) . Е Хд(й) ~ Е Хд(й)) (8.5) Описать .0(Ад) не так просто. Впрочем, легко видеть, что Р(Ад) С С Н'(й). В самом деле (Ади, и) = З(и) (интегрзл Днрихле от и) при и е З(й). Поэтому если у» -» ~р, Аду» -» Аду в Х (й), то (Ад(~р» — 9з) у» — уд) -+ О при й, ( -» +со, откуда ~р» -+ <р в Н (Й), так что ~р Е Н~(й). Итак, Р(Ад) С Н~(й). В то же время, из (8.5) ясно, что Р(Ад) Э ~ Нз(й).
Отсюда следует, что А;, ф Ао (например, если и е Сд(й), и~ о д» О, то и Е Нз(й) и, значит, и Е Р(Ад), но в то же время, и ф р Н'(й) и, значит, и ф Р(Ад)), Таким образом, оператор Ад симметричен и замкнут, но не самосопряжен. Существует естественный способ конструкции самосопряженного расширения любого полуограниченного симметрического оператора, которое называется расширением ид Фридрихсу.
По существу мы уже применяли эту конструкцию при построении обобщенного решении задачи Х»и = Х, и~ = О. Теперь мы опишем расширение по цдридрихсу в более общей абстрактной форме. Пусть дан симметрический оператор Ад. УХ -» УХ. Он называется полуограничениым снизу, если существует такая постоянная С, что 17б $8. Совстввнныв знлчвння и совстввнныв эункцви Если к оператору Ао добавить оператор (С + я)1, где с > О, то для нового оператора (мы снова обозначим его Ао), будет выполнена оценка (8.7) (Ао~р, у) > с(~р, ~р), у б Р(Ао). Мы сразу будем счатать, что выполнена более сильная оценка (8.7), поскольку с точки зрения интересуюшей нас задачи на собственные значения добавление (С + е)1 ничего не меняет (оно лишь сдвигает собственные значения, не меняя собственных функций).
Кстати, неравенство Фридрихса показывает, что в рассмотренном выше примере сразу выполнено неравенство (8.7). Введем скалярное произведение [и, «] = (Аои, «), и, «б Р(Ао). (8.8) Оно определяет на Р(Ао) предгильбертову структуру (положительнля определенность ясна из (8.7)). Кроме того, есла через ][ ° ]]о обозначить соответствуюшую норму (т.е. ]]и][о — — [и, и]~1о), то нз сходимости по норме ]] ° ][~ вытекает сходимость по норме ]] ]] пространства Н, В частности, если последовательностыро б Р(Ао) фундаментальна по норме ]] ° ]]ы то она фундаментальна по норме ]] ° ]] а, значит, сходится в Я. Обозначим через Н~ пополнение Р(Ао) по норме [] $ (в примере это пространство Н~(й)).
Из неравенства (8.7) и приведенных вьппе рассуждений ясно, что имеется естественное отображение Н~ -+ Н. А именно, образ д' элемента д б Н~ определяется как предел в Я последовательности (1«о), уо б Р(Ао), которая сходится к д в Но. Докажем, что это отображение инъектавно.
Прежде всего заметим, что по непрерывности скалярвых произведений [у, д] = (Аоу, д'), у б Р(Ао). Если д' = О, то используя введенную выше последовательность (уо), мы получаем [д, д] = 1пп [ул, д] = 1пп (Ао рю д*) = О, откуда д = О, что и требовалось. Итак, имеется естественное вложение Яь С Я, и мы будем в дальнеашем отождествлять элементы пространства Н~ с соответствующими элементами пространства Н. 8.2. Рясшиееиие по Феидгихст 177 Положим теперь Р(А) = Я1 П Р(Ао) (8.9) А = Ао[о< 1Р (8.10) Мы получаем некоторый оператор А: Я -~ Я, называемый расширением по Фридрихсу оператора Ао. Теорема 8.3.
Расширение по Фридрихсу пояуограниченного оператора Ао является сомосопряженнмм опера1пором А: Я -+ Я, Рно сноеа полуограмичено снизу и для мего (Аи, и) > е(и, и), и Е Р(А), (.4и, о) = [и, о[, и, о й Р(А). (8.11) В самом деле, это верно при и, о е Р(Ао). По непрерывности это верно при и Е Р(Ао), о е Я1. Теперь используем тождество (.4ои, о) = (и, Аоо), и Е Р(Ао)> о Е Р(Ао). В частности, зто верно при и Е Р(Ао), о Е Р(А). При этом Аои = Аи, Аорто = Ао, так что мы имеем: (Аи, о) = (и, Ао) = [и, о), и е Р(Ао), о Е Р(А). Но отсюда, в частности, (и, Аи) = [и, о[, и б Р(Ао), о Е Р(А), а здесь можно перейти к пределу по и (если предел берется в Я1).
Тогда получим (и,Ао)=[и,о), иЕЯы оеР(А). (8.12) где е > 0 та же постоянная, что и е амалогичноб оценке дяя оператора Ао. Доказательство, Мы проверим, что обратный оператор А 1 существует, всюду определен, ограничен и симметричен. Отсюда будет вытекать, что оператор А самосопряжен (см, следствие 8.2).
Прежде всего, проверим, что 178 48. СоБстВенные знАчениЯ и совственные ФУнкЦии В частности, это верно при и 6 Р(А), е 6 Р(А). Меюы местами и и о, мы получим (8.11). Из (8.11) следует, что (Аи, о) = (и, Аи) = [и, о[, и, о 6 Р(А). (8.13) В частности, оператор А симметричен и (Аи, и) = [и, и] > я(и, и), и 6 Р(А), (8.14) где я > О то же, что и в оценке (8.7). Из оценки (8.14) вытекает, в частности, что КВТА = О и определен обратный оператор А '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
