Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 28
Текст из файла (страница 28)
А именно, беря а = 2, Д = О, и = — 1, мы получим, что уравнение (8.24) приобретает внд «" +ягг = О, откуда ясно, что при п = 3 сферически симметричные решения уравнения Гельмгольца имеют вид Дх) = — (Асояйт+Випйт), т = ф. Фундаментальное решение получится, если А = — —. В частности, 1 4л' фундаментальными решениями являются функции ееь" 4лт' е ' " солят 4пт ' 4лт ' ещ Йт а функция — является решением однородного уравнения т (Ь+йг)и(х) =О, хЕ Кг. Вернемся к рассмотрению общего уравнения (8.31).
Нам важно както описать поведение его решений при х -+ +О. Но для этого лучше всего попытаться искать решения в виде ряда по степеням х. Поскольиг ку прн х -+ +О член — играет более важную роль, чем 1, то можно г ожидать, что р(х) ведет себя в нуле как решение уравнения Эйлера, получаемого из (8.31), если убрать 1 нз ксоффнциента при д(х). Но решения уравнения Эйлера имеют вид линейньп~ комбинаций функций х и, быть может, х'1пх при подходящем выборе а.
В нашем случае мы получим подстановкой х в уравнение Эйлера, что а = ~и. Таким образом, естественно ожидать, что можно найти пару решений уравнения (8.31), ведущих себя цри х -+ +О как х~". Однако это оказывается верно с некоторой поправкой. Пока будем искать решения р(х) уравнения (8.31) в виде р(х) = х (ао + агх + агх + .. ) = аох + агх~+' +... (8 33) 1 откуда видно, что при и = +- уравнение Бесселя явно решается и 2 решения имеют вид, совпадаюпвей с первым членом в (8.32), т.
е. 18б 48. Совотввнныв знячвния и оовстввнныв хьнкции Подставляя этот ряд в уравнение (8.31) и приравнивая нулю коэф- фициенты прн всех степенях х, мы получим: аоо(о — 1) + аоо — аоиз = О, аг(о+ 1)о+ аг(сг+ 1) — агй = О, агг(о + й)(о+ й — 1) + агг(о + й) + ая 2 — аьи~ = О, й = 2, 3, а(гз-и2)=О, а1((о+1) — из] = О, (8.34) (8.35) аь ((о+ й) — и ] + аь-2 = О, й = 2, 3, ... (8,38) аг = аз = ... = О, аз 2 ая-г аз †(о+ й)2 — и2 (о+ и + й)(о — и+ й) й(й+ 2о) ' Если й = 2т, то отсюда получается 1 (-1) ао 22га(пг+ о) 22 га!(ог+ о)(иг+ о — 1)... (о+ 1) 1 Положим ао = . Тогда воспользовавшись тождеством 2 Г(а+ 1) 8Г(8) = Г(8+ 1), получаем а2 = 22 +огагГ(~+ +Ц.
Соответствующий ряд при о = и обозначается,у„(х) и называется функцией Бесселя нли цилиндрической функцией 1-го рода. Таким абра зом, ~.(*) = К;(-~)'ЦГ(, ' „,) © . (аИ) гг=о Ясно, что этот ряд сходится при всех комплексных значениях х ~ О. Мы можем без ущерба для общности считать, что ао ,-1 О (при ао = О можно заменить о на о+ й, где й — номер первого ненулевого коэффициента аь и затем изменить обозначения коэффициентов). Но тогда из (8.34) следует, что о = хи. Если и не является ни целым, нн полуцелым, то нз уравнений (8.35) и (8.36), мы находим тогда 8.4.
Фунллмкнтлльнок гкшкник опкглтогл Гкльмгольцл 187 Все выкладки имеют смысл и при целом или полуцелом о = и если и > 0 (мы можем предполагать зто без ущерба для общности, так как в уравнение входит гз). При и = -1, -2, ... можно по непрерывности написать ряд (8.37), поскольку Г(з) не имеет нулей, а имеет лишь полюса и притом лишь в точках л = О, -1, — 2, ... Таким образом, уравнение Бесселя (8.31) при Не и ) 0 всегда имеет решение У„(х), имеющее вид 1,(х) = х"д„(х), где д„(х) — целая аналитическая функция от х, причем д„(0) = ф О. Мы не будем 1 Г(и+ 1) искать второе решение (в тех случаях, когда оно еще не найдено) и не будем исследовать другие свойства цилиндрических функций. Отметим лишь, что в справочниках н книгах по специальным функцвям свойства цилиндрических функций обсуждаются с той же подробностью, с какой свойства тригонометрических функций обсуждаются в учебниках тригонометрии.
Состанлены таблицы цилиндрических функций. Это же относится ко многим другим специальным функциям. Многие иэ них являются, как и цилиндрические функции, решениями некоторых линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Вернймся к уравнению Гельмгольца. Мы видели, что уравнение (8.20) сводится к уравнению Бесселя. В самом деле, оно имеет вид (8.22) с а = и — 1, р = О. Перейдем к уравненвю (8.24) и возьмем 1 — о 2 — и м = — = —. Тогда мы получим уравнение (8.30), в котором 2 2 г2 )и 2+ ] ( ) и — 2 откуда и = х —.
Поэтому, в частности, имеется решение уравнения 2 8.20 име е в ( ), юще ид У(г) = г т,У.-з(Ь.). Это решение на самом деле не имеет никаких особенностей (оно разлагается в ряд по степеням г~), Можно рассмотреть решение У(г) = г 1 ,Уэ- (Ь ). Если и нечетно, то из этой функции умножением на постоянную можно получить фундаментальное решение для оператора Гельмгольца (на самом деле, это элементарная функция). Если п четно, то надо наряду с,У -г (х) использовать второе решение уравнения Бесселя (оно назыа~ вается цилиндрической функцией 2-го рода или функцией Неймана и 188 28. СовстВенные знАчений и соВстВенные ФУнкЦии содержит 1пх в разложении при х -~ +0).
Его можно также выразить через у -*(х) квадратурой с помощью известного приема (например, теорема Лиувилля дает для второго решения линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка). В любом случае, мы видим, что имеется фундаментальное решение Е„(г), аналитическое по г при г ф О. (й) Отсюда все собственные функции оператора Лапласа аналитичны во внутренних точках области. Отметим, впрочем, что имеется общая теорема, гарантирующая аналитичность любого решения эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами. Решения эллиптического уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами бесконечно дифференцируемы.
8.5. Вариациоввые принципы. Поведение собствшивых значений при изменении области. Оценки собственных значений Пусть дан самосопряженный полуограниченный снизу оператор А в гильбертовом пространстве г( и пусть он имеет дискретный спектр. Пусть 22м у2, ... — ортонормированная полная система собственных векторов оператора А, а Лл, Л2, ...
— соответствующие собственные значения, т.е. Ау = Л2~ру, у = 1, 2, ... Дискретность спектра означает, что Л. -+ +Со при,у — 2 +со. Мы можем поэтому считать, что собственные значения упорядочены по возрастанию, т.е. Л1 ч Л2 ~1 ЛЗ ~~ ° ° что мы и будем предполагать В дальнейшем. Вместо набора собственных значений удобно рассматривать неубыВающую функцию г((Л), Л с И, равную количеству собственных значений, не превосходящих Л, т, е.
л~<л Эта функция принимает лишь неотрицательные целые значения, постоянна на интервалах между собственными значениями, а в самих собственных значениях имеет скачки, равные кратностям собственных значений. При этом она непрерывна справа, т.е. Р((Л) = И(Л + О). Собственные значения Л легко восстанавливаются по функции Л(Л).
А именно, если Л вЂ” любое вещественное число, то оно является 8.5. ВАРНАЦионнын пРВЯЦипы 189 собственным значением кратности )т'(Л+0) — )т(Л вЂ” 0) (если )т(Л+0)— — )т'(Л вЂ” 0) = О, то Л не яаяяется собственным значением). При этом если )т'(Л вЂ” О) < ) < )1)(Л+ О), у — целое неотрицательное, то Лу = Л. Короче: Лт однозначно опредеяяется из условия )т (Л) — О) < т' < М(Л) + О). Имеет место следующее важное Предложение 8.5. ХХмеетп меспю сооппюшение (8.38) )т'(Л) = впр г)пп Х, ссгт(л) (Ав,в)(»(в.в), веь еде буквой Х обозначено конечномерное линейное подпросшранстпво в Р(А) (под знаком вцр написано, чтпо впр берется по таким Х, апо (Аи, и) < Л(и, и), при всех и Е Х). Если оператпор А .авллетпся расширением по Фридрихсу оператпора Ао и Л не лвллетпсл собстпвенным значением, тпо условие Х С Р(А) можетп бытпь заменено более сильным условием Х С Р(Ао).
Доказательство. Пусть Х» — конечномерное надпространство тг', натянутое на все собственные векторы <р с собственными значениями Л. < Л. Ясно, что Х» С Р(А) и оператор А — ЛХ на Х» имеет лишь неположительные собственные значения и, значит, сам неположителен, т.е.
(Аи, и) < Л(и, и), и й Х». В частности, мы можем взять Х = Х» в правой части (8.38), Но гт(шХ» = )т'(Л). Отсюда видно, что левая часть (8.38) не больше правой. Теперь проверим, что левая часть (8.38) не меньше правой. Пусть Х с Р(А) и (Аи, и) < Л(и, и), и 6 Х. Мы хотим доказать, что йшХ < )т'(Л).
Фиксируем такое подпространство Ь и положим М» = Х~ (ортогональное дополнение). Ясно, что если и Е М», то и разлагается по собственным функциям ут. с собственйыми значениями Лт > Л. Поэтому если и е .Р(А), и ф О, то (Аи, и) > Л(и, и). Отсюда следует, что Х () М» = О.
Рассмотрим теперь оператор Е». Н -т Я, проектирующий на Х» параллельно М», т.е. если и = о + ш, где о Е Х», то Е М», то Е»и = о. Ясно, что КегЕ» = М». Рассмотрим теперь оператор Е»~ь: Х -+ -т Х». Поскольку (Кег Е») Л Х = О, Е»1 — мономорфизм. Следовательно, дпп Х < дйш Х,» = )т (Л), что и требовалось. 190 з8. Совственные знАчениЯ и соественные ФУнкЦии с1(Д .)А) =О я=1 ° р )=1 но (Д, уь) = д)А + сую где е1А -+ О при б -+ О.
поэтому матрица (б~ь + + езл), блязквя к единичной, обратима при малом 6. Поэтому с = О и векторы 11, ..., ~р линейно независимы, т.е. С1ЦЛ Ь1 = р. Далее если [и, н] < Л(и, и), и с Ь, то [и, п] < (Л+ е)(е, е),.в с А1, где можно считать с = е(б) таким, что е(6) -+ О при 6 -+ О. В самом деле, если е = Я" 1сууу, то вектор и = Я 1с1е1, близокке понорме [[ ][1, откуда и вйтекает требуемое утверждение.
Положим теперь )((1(Л) = впр йю Г1 ь,сп(л,) (лы,и) <л(юи) '~еь, (8.39) тогда из приведенного вьппе рассуждения ясно, что 1(((л — с) < )((1(л) < < )У'(Л) для любого Л Е И и для любого е > О. Если Л не является собственным значением, то 1у'(Л) непрерывна в точке Л, откуда )у1(Л) = = )1((Л). Предложение 8.5 доказано. Замечание. Разумеется, )11(Л) восстанавливается по 1ч1(Л) (а имени: )у'(Л) = )у' (Л + О)). ИН1и да более удобен другой способ описания собственных значений в терминах квадратичной формы.
А именно, имеет место Остается проверить последнее утверждение предложения. Можно считать без ущерба для общности, что (Аеи, е) > (и, и), и с Е Р(Ае). Будем использовать гильбертово пространство Я1, полученное пополнением Р(Ад) по норме, задаваемой скалярным произведением [и, е] = (Аеи, е), и, е Е Р(Ае). Вместо (Аи, е) в (8.38) мы можем писать [и, е]. Пусть [~ ° []1 — норма в пространстве Я1. Пусть Ь вЂ” любое конечномерное подпространство в Р(А). В частности, Е, С Я1. Выберем в Ь ортогональный (в смысле Я) базис е1, ..., ер и пусть векторы 11, ..., Ур Е Р(Ае) таковы, что ][е) — 11[[1 < б, где е > О достаточно мало. Пусть 11 — подпространство, натянутое на У1~ ю 1р. Легко видеть, что, йю Ь1 = д(ЦЛ Ь = р при малом е. В самом деле, если ~" 1 с)у) = О, с) с С, то умножая зто равенство скалярно на ую мы получаем 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
