Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 32
Текст из файла (страница 32)
а9. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 212 (9.22). Заметны, что формула Кирхгофа имеет вид д и = иа, + — и„„ (9.26) где иа,(1, х) = — ф(9)~Ы„, 1 4яазФ (9.27) !у-а(=а1 а и, — аналогичное выражение, полученное заменой 1д на 1р. Эта струк- тура формулы Кирхгофа не случайна. В самом деле, пусть мы докззали, что ие — решение задачи Коши ве~ =О, (9.28) д Докажем, что тогда е„= — в, является решением задачи Коши Ое„= О, иР~, = 1Р, — Р~, = О. (9.29) что и требовалось.
Условие и„б Сз(1 > 0) выполнено, например, при у 6 Сз(йз), как это видно, например, нз записи ие в виде: Е(Ь, е) 4 / Ф( '+е19) Б1 ° Ф !яд=1 Из этой же записи очевидно выполнение (9.28) при ф 6 С1 (Жз ). Итак, если 1Р 6 С1(Из), 1Р 6 С~(Из), то формула Кирхгофа (9.22) дает решение задачи Коши (9.23) (уравнение СЬ = 0 въшолняется в обобщенном смысле при 1 > 0). Если дополнительно считать, что 1Р 6 6 С~(Из) и у 6 С (Из ), то и 6 С~(Из) и уравнение Пи = 0 выполняется в классическом смысле. Итак, задача Коши (9.23) однозначно разрешима.
Из формулы Кирхгофа ясно также, что она корректна. Уравнение ПЕР— — О выполняется по очевидной причине, как и условие е„,~, = 1р, вытекающее ез последнего условия в (9.28). Остается нроверить последнее условие в (9.29). Считая, что и, 6 Сз при 1 > О, мы получим: 9.5. ФэндАментяльное Решение тРехмеРнОГО ОННРАтоРА 213 9.5. Фувдэмевтазьное решение трехмерного воюювого оператора в решение неоднородного волнового уравнения Положим 1 6(~х~ аз) бз(З, х) = — б З'(И').
(9.30) 4яа !х~ Теорема 9.4. Обобщенная Ззунхааз бз(1, х) удаелетеоряет ураененню Пбз(1, х) = 6(1, х), т. е. является фундаментальным решением оператора Даламбера П. Доказательство. По существу утверждение вытекает из того, что Пбз(З, х) = 0 при ф + ~х~ з4 О, Яз(1, х) = 0 при З ( О, Яз(+О, х) = дбз = О, — (+О, х) = 6(х). Функцию Яз(1, х) можно рассматривать как оз гладкую функцию от 1 (при 1 ~ 0) со значениями ТУ(11з), причем при 1 = О она сама непрерывна, а — имеет скачок, равный 6(х).
Поэтому доз применение оператора П = — — а Гз к Ез дает 6(З) ® 6(х) = 6(1, х). Приведенные рассуждения трудно сделать совсем строгими (если стремиться к этому, то возникнет необходимость сложной возни с топологией в З'(в~)). Однако можно рассматривать все вьппесказанное как звристику, проведя проверку соотношения Пбз(1, х) = 6 непосредственно. Это делается аналогично соответствующей проверке для уравнения теплопроводности (см. $ б, доказательство теоремы 6.4) и предоставляется читателю в качестве упражнения.
Теперь, пользуясь фундаментальным решением сз(1, х), мы можем решить неоднородное волновое уравнение Пн = Г, написав формулу н=сззУ> (9.31) если свертка в правой части имеет смысл. Свертка (9.31) называется эанаэдмеающнл нозленниаяом. В более подробной записи запаздывающий потенциал имеет вид 1 Г Г Г(з — тх-у) н(з,х)= — / дт ~ ', дЯ„.= 4ла / / )у~ О )З~кет — — У(1 — т х — у) д'эе (9 32) 4каз д т о (здесь интегрирование во втором интеграле ведется по у).
»9. ВОлнОВОе углвнвнив Пользуясь фундаментальным решением сз(т, х) можно другим способом получить формулу Кирхгофа (9.22) для решения задачи Коши (9,23). А именно, пусть решение и(1, х) задачи Коши (9.23) задано при й ) О. Продолжим его нулем на полупространство (т: 1 < О) н рассмотрим полученную обобщенную функцию и Е З'(й«).
Легко видеть, что (9.33) Пи = 6'(1) Э 9»(х) + б(У) оз тр(х). Решение этого уравнения, равное нулю при 1 < О, можно найти в виде запаздывающего потенциала (9.31), беря у равным правой части (9.33). Легко видеть, что мы приходим при этом опять к формуле Кирхгофа. Отметим еще, что запаздывающий потенциал и(т, х), найденный по формуле (9.32), зависит лишь от значений у (1», х') при т' С т и ~х' — х) = = а(З вЂ” у), т.е. от значений у в точках нюкней половины светового конуса с вершиной в точке Ф, х (слово «нижняя» здесь понимается в смысле направления оси т). В этом смысл термина запаздывающий потенциал.
Указанное свойство запаздывающего потенциала обеспечивается тем фактом, что зпррЯз С «»~. Фундаментальное решение оператора П, обладающее этим свойством, единственно. Имеет место даже следующий более сильный факт. Теорема 9.5. Сутцестивует ровно одно фундаментальное ре»пение оператпора П, сосредотпоченное в павупространстве ((т, х): т ) О), а ил«енно, Ез(т, х). Доказательство. Если бы существовало два таких решения, то их разность и(1, х) с З'(«1«) удовлетворяла бы вазновому уравнению Пи = = О и была бы равна нулю при 1 < О.
Если бы и было гладкой фу»пашей, то из единственности решения задачи Коши вытекало бы, что и тв О (данные Коши при 1 = 1о с О равны нулю). Мы можем, однако, сделать и гладкой с помощью усреднения. Пусть 9ъ«с З(н«), зпррот«С ((т, х): ф + (х) < е) и»«) О и ) ~р«дИх = 1, так что ср« -+ 6(1, х) в З'(й~ ) прн е -+ +О. Тогда 1пп (их~р«) =и -»+о в З'(й«) (см. 9 5, предложение 53).
Но и х у«е С '(й«), П(и*у«) = (Пи) *р« = О 9.6. Двумвгнов волновая углвнвнив (мвтод спуска) 215 вирр(и « ~р«) С вирр и+ вирра«С ((8, х): 2 > — с). Поэтому в силу единственности решения задачи Коши для волнового уравнения и * у,: — 0 при любом е > О, откуда и ьп О, что и требова- лось. Важность теоремы 9.5 состоит в том, что из всех фундаментальных решений она выделяет единственное, удовлетворяющее «принципу причинности«, состоящему в том, что нельзя передавать информацию в «прошлое«. Поэтому в злектродинамике для решения уравнений вида Пи = у, которым удовлетворшот скалярный и векторный потенциалы, используется именно зто фундаментальное решение.
По-видимому, сама природа в пределах достижимой на сегодняшний день точности эксперимента использует среди всех решений уравнения Пи = у решение и = сз * у, удовлетворяющее принципу причинности. 9.9. Дву ри ур (ме од у Решим задачу Коши для уравнения дги 2/дги дги'« — =а ~ — + — ) и=и(2 хг хг) дгг (,д 2 д 2)' хг (9.34) с начапьными условиями и~«е — — аахм хг) — ~«о —— ф(хы хг). (9.35) ди Идея решения (метод спуска) очень проста: введем дополнительную переменную хз и решим задачу Коша для трехмерного волнового уравнения и«« —— агЬи (где Ь вЂ” лапласиан по переменным хм хг, хз), но с начальными условиями (9.35), не зависящими от хз, Тогда решение и(«, хм хг, хг) фактически не будет зависеть от хз, поскольку функция и,(«, хы хг, хз) = и(«, хм хг, хз + г) является решением того же уравнения им — — а Ьи при любом г и удовлетворяет тем же начальным условиям (9.35); следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши для трехмерного волнового уравнения и, не зависит от г, т.е.
и не зависит от хз. Таким образом, решение задачи Коши (9.34)- (9.35) существует (например, для любых у Е Сг(йг ), «д Е Сг(йг )). Оно единственно просто по теореме единственности, относящейся к трехмерному случаю, так как решение задачи (9.34)-(9.35) можно рассматривать и как решение трехмерной задачи Коши. У9. ВОлнОВОе УРАВнение Теперь запишем п(г, хс, хз) по формуле Кирхгофа. Имеем: и(г,х) = — / СР(Ус Уз)гсо с + з Ф(Ус Уз)гсо с д 1 1 дС 4яа~г,г 4~ге~С (Р-а(=аС (9.36) Е =, / 6(Ус, Уз) с(8.с 1 4сгазг (9.37) )у-арааг (первое слагаемое в (9.36) имеет вид — ин). д Рассмотрим сферу в пространстве Кз, по которой происходит интегрирование в (9.37).
Это сфера с центром в точке х и с радиусом а4 (см. рис. 10). Мы должны проинтегрировать по сфере функцию, не завнсяшую от уз. Фактически это означает, что мы дважды интегрируем по проекции сферы на плоскость Уз = О. Пусть саус ссрз — мера Лебега на этой плоскости, с(о,с — элемент площади сферы в точке у, проектирующийся в элемент площади сСУС аул. Ясно, что аУС арз — — ~сова(У) ~ сго',с, гДе сс(У) — Угол межДУ ноРмалью к сфеРе и осью Уз. Но ноРмаль к сфере пропорциональна вектору у — х = (ус — хс, уз — хю уз), имеющему длину а8.
Будем интегрировать по верхней половине сферы (на которой Уз ) 0) и затем удвоим результат. Тогда из условия (У вЂ” х( = а4 Рис. 10 где у = (ус, уз, уз), г1О'„— элемент площади сферы (у: у 6 Кз, !у— — х/ = аг), х = (хд, хз) = (хд, хз, 0) (мы отождествляем точки К~ с точками Кз, имеющими третью координату 0; можно бьпю бы придать этой координате и любое другое значение, тзк как от ее выбора ничего не зависит). Преобразуем второе слагаемое в формуле (9.36), которое мы обозначим нег 9.б. ДВУМЕРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ (МЕтад спуокА) 217 следует, что Рз = аз1з — (Ут — хт)з — (Уз — хз)з, рз соеа(у) = — = — а~1~ — (уд — хт) — (уз — хз)~, а$ ас )~ ггрТггрэ а$дрг Пуз ай сова(р) а гз (р х ) (р х ) Поэтому формулу (9.37) можно переписать в виде Ф(р) р г г „За:гг ~г' 1 гДе х = (хы хз), У = (Рм Рз), т2У = т)У1 т(ую Решение задачи Коши (9.34)-(9.35) задается формулой „„.) ° ~ Г .." 1, Г ~()" Т,~РР -Тг: а*) г- Т,4ггг=а= Р' го-аг<ай гр-аг<аТ (9.38) которая называется фоумрлоб Пуассона.
Из формулы Пуассона видно, что значение решения и(Ф, х) в точке х при и = 2 зависит от начальных данных гр(у) и т)г(р) в круге (р: ~у — х~ < а$), а не только вблизи его границы (вспомним, что при п = 3 начальные данные достаточно было знать вблизи сферы (у: )у — х! = а1) ). В частности, если Тд, гТг сосредоточены вблизи точки О, то решение в какой-либо окрестности точки х будет отлично от нуля вой время, начиняя с некоторого момента. Таким образом, локализоВанное всомущение уже не видно как локализованное из другой точки, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
