Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 33
Текст из файла (страница 33)
волна не пртжодит бесследно, а оставляет последействие (правда, 1 убывающее по времени как — — это видно из формулы (9.38)). Иными Ф словами, принцип Гюйгенса при и = 2 не имеет места. Иэ формулы Пуассона методом спуска можно было бы получить формулу Даламбера, задающую решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения.
Впрочем, мы уже вывели эту формулу другим способом. Найдем еще фундаментальное решение для двумерного Волнового оператора. Аналогично трехмерному случаю надо решить задачу Коши с начальными данными ~4=о=О В 1в=о=йх) $9. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 218 Но из формулы Пуассона ясно, что такое решение 82($, х) имеет вид в(в,*(=, *вБ.*, в( в — (,(( в (9.39) где (в(1) — функция Хевисайда.
легко непосредственно проверить теперь, что функция 82($, х) локально интегрируема и является фундаментальным решением двумерного волнового оператора. Последнее проверяется так же, как в трехмерном случае и мы оставляем зто читателю в качестве упражнения. Наконец, из формулы Даламбера ясно, что фундаментальное реше- 82 82 ние для одномерного волнового оператора — — аз — имеет вид дв дх Е2(1, х) = — д(ас — (х~). (9.40) Задачи 9-2, Решить езадачу о взрыве шараэ в трехмерном пространстве: найти и = и(1, х), х Е Нз, если нм = Е~ЬН, и(, = ((2, в(~, = О, где (р — характеристическая функция шара (х ( (х( ( 12).
нарисовать мультфильм поведения н(1, х) как функции от 1 и (х(. 9-3. То же, что и в предыдущей задаче, но с другими начальными условиями: и~ = О, и(~ = 21(, где (1( — характеристическая функция шара 1(х: (х! ( В). 9-4, Пользуясь результатом задачи 5-1 в), написать с помощью преобразования Фурье формулу решения задачи Коши для трехмерного волнового уравнения (вывести таким образом формулу Кирхгофа). 9-$. С помощью преобразования Фурье по х решить задачу Коши для волнового уравнения иц = азвлн, н = и(1, х), х б М. Написать 92 фундаментальное решение и-мерного даламбертиана П = — — азвл и д2 доказать, что его особенности лежат на световом конусе ((1, х)()х( = а 2 ).
9-1. С помощью разделения неременных найти цилиндрические волны в Нз. 219 ЗАДАЧИ 9-6. Выяснить, где находятся особенности фундаментального реше- 82 82 82 ния для оператора — — — — 4 —. 822 О 2 О 2' 9-7. Пусть и(Ф, х) — решение задачи Коши для уравнения идд = дди, х = [хд, х2) е и~, с начальными условиями о)д=о=2' "д)д=о=4' а) Пусть ед, дЬ известны в прямоугольнике хд Е [О, а), х2 Е [О, Ь); где можно определить и? Нарисовать в Щ~, ~, область, в которой можно определить и (при 2 ) 0). б) Пустыр, дЬ отличны от 0 в прямоугольнике хд Е [О, а), хз Е [О, Ь).
ГДе отлично от нУлЯ о? НаРисовать этУ область в Идз 9-8. Решить задачу 9-7 при х с йз с заменой прямоугольника иа прямоугольный параллелепипед. Вместо области в ид рисовать ее сечение плоскостью 2 = 1. 220 $10. СвойствА потвнциьлов и их вычисление $10. Свойства потенциалов и их вычисление Мы уже говорили о потенциалах в разных местах курса. В 3 4 (замечание 4.8) мы обсуждали физический смысл фундаментального решения оператора Лапласа в жз и в йз . Тэм было объяснено, что фундаментальное решение Яз (х) оператора Лапласа в жз имеет смысл потенциала точечного заряда, а фундаментальное решение бэ(х) оператора Лапласа в Жз имеет смысл потенциала тонкой заряженной нити.
Потенциал нити нельзя определять в виде обычного интеграла (он получается расходящимся). Мы указали два способа определения этого потенциала: восстановление его по напряженности поля (являющейся градиентом потенциала с обратным знаком) и придание смысла расходацемуся интегралу с помощью перенормировки заряда. Оба способа определяют потенциал нити с точностью до постоянной, однако этого достаточно, поскольку в конечном итоге мы интересуемся лишь напряженностью электростатического поля, являющейся физически измеримой величиной, в то время как потенциал является вспомогательным математическим объектом (по крайней мере, в классической электродинамике). В $5 (в примере 5.2) мы определили обобщенные функции, названные простым слоем и двойным слоем на плоскости 1 = 0 и на произвольной поверхности и объяснили их физический смысл.
В примере 5.6 этого же параграфа мы ввели потенциалы простого и двойного слоев как свертки фундаментального решения Я„(х) с простым и двойным слоями на поверхности. В п. 9.1 выяснились роль и смысл скалярного и векторного потенциалов в злектродинамике. В этом параграфе мы обсудим свойства потенциалов (а также их определения и вычисление) чуть подробнее.
Однако прежде чем знакомиться с этими подробностями, мы рекомендуем читателю перечитать указанные вьппе места иэ основного текста. Потенциалы мы будем понимать достаточно гибко. Когда предварительные определения, с которых мы начнем, станут непригодными, мы изменим их так, как нам будет удобно, следя все время за тем, чтобы сохранились физически измеримые величины. 10.1. Определение потенциалов Пусть Е„(х) — стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа Ь в И", а именно: 10.1.
Опгвлвлвнив потвнцизлов 221 где о„~ — площадь единичной сферы в К"; В частности, наиболее важен случай и = 3: Ез(х) = — —. 1 4е!х! ' Здесь Ез(х) имеет физический смысл потенциала точечного заряда, равного 1 в подходящей системе единиц, а Ез(х) означает потенциал бесконечной равномерно заряженной прямолвнейной проволоки с единичной плотностью заряда (см., например, (52, т. 2, гл. 4, $3 я гл. 5, $5)) Все потенциалы имеют вид (10.1) где у б Е'(К"), т. е. у — обобщенная функция с компактным носителем в К", Таким образом, при п = 3 или 2 это потенциалы некоторых распределенных зарядов.
Каждый потенциал вида (10.1) удовлетворяет уравнению (10.2) в З'(К" ). Мы будем рассматривать потенциалы следующих видов. 1. Объемным позлеиваалом зарядов, распределенных с плотностью р(х), назовем интеграл и(х) = — Е„(х — у) р(у) Ыр. (10.3) Мы будем всегда предполагать при этом, что р(у) — локально интегрируемая функция с компактным носителем, которая является кусочно-гладкой, т.е. р б С вне конечного объединения гладких гиперповерхностей в К", на которых р может иметь скачки. То же самое предпояагается относительно всех производных д~р, взятых вне этих гиперповерхностей.
Примером допустимой функции р(у) является характеристическая функция произвольной ограниченной обяасти с гладкой границей. 222 510. Свойства потвнциллов и их вычислвнив Важнейшим свойством объемного потенциала является то, что он удовлетворяет уравненню Ьи = — р понимаемому в смысле теории обобщенных функций и вытекающему иэ того, что и = — Е„в р н ЬЯ„= 6. 2.
Лотеациолол оросшого своя назовем интеграл (10.4) и(х) = — Я„(х — у)о(у)йЯю г где à — гладкая гиперповерхность в К", о — гладкая функция на Г, вБв — элемент площади на Г. Пока мы будем считать, что о имеет компактный носитель (в дальнейшем нам встретятся и примеры, когда это не так). Этот потенциал удовлетворяет уравнению Ьи = — оог, где одг — обобщенная функция с носителем на Г, определенная в примере 5.2. 3. Потенциалом двойного слоя назовем интеграл (10.5) и(х) = а(у) йЯю г где ни — внешняя (или еще каким-нибудь образом выбранная) нормаль к Г в точке у, а остальные обозначения такие же, как в предыдущем случае.
Потенциал двойного слоя удовлетворяет уравнению Ьи = — — (а(у) ог), д дй д где — (а(у) дг) — вдвойной слойэ — обобщенная функция, определенная в примере 5.2. И в этом случае также пока считаем, что а имеет компактный носитель. Мы будем также предполагать, что аЕ С (Г). Легко видеть, что потенциалы (10.3)-(10.5) определены в И"'1Г и представляют собой бесконечно дифференцируемые функции в й"'1Г (где в случае объемного потенциала(10.3) надо понимать Г как объединение поверхностей, где р или ее производные имеют скачки). Мы 10тк Функции, ГлАдкие Вплоть до ГРАницы 223 будем рассматривать их как обобщенные функции в )я", понимаемые как свертки (10.1), где для объемного потенциала у = р; в случае потенциала простого слоя у = пбг, где (пбг, у) = а(х)1Р(х)бЯ~, у е Э()я"), г а в случае потенциала двойного слоя где (у(обг)~ 1Р) = / о(х)=4о*.
д )' ду(х) г Ясно, что во всех этих случаях при х Е И" '1Г свертки и = — Е„я у совпадают с выражениями, задаваемыми интегралами (10.3)-(10.5). Физический смысл потенциалов (10.3) — (10.5) ясен из того, что было сказано вьппе (см. и. 5.2). 10.2. Фуикцни, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные Пусть й — область в Ж", à — гладкая гиперповерхность в й (т.е.
замкнутое подмногообрззие корззмерности 1 в й), и и Е С'~(й '1 Г). Будем говорить, что н является гладкой (или бесконечно дифференц~- рреяон) енаошв до Г с жаждой сшороны, если каждая проязводная д"и непрерывна вплоть Г с каждой стороны гиперповерхности Г. Точнее, при любом хе Е Г должна существовать такая окрестность о точки хе в й, что П = о'+ОГНО(У, где Гп = ГГ1о, сг' и П открыты и ограничения и~о+ и н~п продолжаются до функций и ~ ч С '((У+) и и еС (У ). В дальнейшем нас часто будут интересовать лишь локальные вопросы, где с самого начала можно предполагать, что о' = Й и вьппеупомянутое разложение имеет вид й = й+ О Г О й, прячем и+ Е Соо(й+), и еС (Й ).
Наша цель — доказать, что все потенциалы являются функциями, гладкими вплоть до Г с каждой стороны (зто, в свою очередь, позволит доказать теоремы о скачках потенциалов, вычислять и применять потенциалы). Для этого вначале мы установим некоторые вспомогательные леммы о функциях, гладких вплоть до Г с каждой стороны. 224 э10. СВОйстВА пОтвициАлОВ и их Вычисланив Г = У П (х: х„= О), У~=(х:хбУ, х=(х',х„), хх„)0), а нормаль б к Г имеет вид б = (О, ..., О, 1); в частности — = —. ди дн дй дх„' Обозначим через фь скачок й-й нормальной производной функции и на Г, т.е.
дь„+ дьн- А ]г — — А]г 6 С (Г), где й = О, 1, 2, ... Заметим, что скачки всех остальных производных выражаются через функции фь по формулам (д и+)]г — (д )]г = д" Ф „, если а = (а', а„), где а' — (и — 1)-мерный мультииндекс. Лемма 10.1. Производные —, —, и Ц = 1, ..., п — 1) д[н] де [в] дз[н1 дхи' дхй джадид~ выражаются 4ормрлаян — = [ — ] + бв(х') Э б(х„), (10.6) — = ~ — х1+4л(х') Эб(хв)+6в(х') ЭУ(х ), дз[н] [ дз ] дхй дхп дхвдху 1дх„дх ] дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
