Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Мы хотим доказать, что и продолжается до функции из С (й), т.е. скачки всех производных на самом деле равны нулю. Обозначим зти скачки через ~ра, т. е. у = (д и+)(з — (д и )~з б С (Я), (11.7) Как и в 2 10, особую роль играют скачки нормальных производных д~и+ д"и ~, = — "„~,— — "„~, ~С"(д). (11.8) хп хтт 11.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ, КАК ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВОВ 237 Все скачки ~р выражаются через скачки нормальных производных дд» по очевидной формуле: Р дда = да 1»а ~ О = (О ~ Оа) (11.9) Поэтому достаточно доказать, что дд» = О, я = О, 1, 2, ...
Вычислим Аи в В'(й). По лемме 10.1 — = д»е(х') З д(ха) + [ — ], — ", = дде(х') ® Б'(ха) + дауд(х') е д(ха) + [ — э~. Анаяогичным образом легко получить, что прн любом целом я ) 1 »-1 †' "„ = ~ д» (х') е д(0(х.) + [ †„"~. дха дха (11.10) Если теперь а' — (и — 1)-мерный мультииндекс, да = д", то » — » д д = у ~д дд ( ')] зд(0( „)+ [д д ~. (п.П) дха дха ' Пусть теперь а е С (й).
Аналогично доказательству леммы 10.2 мы получаем а(х~, ха)(др(х ) Эб(0(ха)) = ~) од(х ) Зад®(ха), (11.12) д=о фе(х')ЕБ(~ й(х„)+~ а(х')Э31 1 0(х„) =д(х), (11.13) д=1 где д б Цад(й), ад(х') е С~(Я), а ддо — скачок функции и на Я (см. формулу (11.8) при й = 0). Иэ уравнения (11.13) ясно, что д»в О, так как левая часть (11.13) сосредоточена на Я. Далее, применяя обобщенную функцию, стояпдую в левой части (11.13), к основной функции дд, равной ~р»(х')х„в окрестности Я (здесырд е со (5)), мы получим, что все члены, кроме первого, обратятся в О, а первый будет где ад 6 Сад(5). Формулы (11.10)-(11.12) поквзываот, что если Ам = 1 вне Я, то уравнение (11.6) можно переписать в виде 238 $11. ВолновыБ ФРОнтЫ И КОРОтКОЕОЛНОВОБ пРИБЛИжЕНМЕ равен (-1) пт! ) т)то(х')Етт(х')бх'. Ввиду произвольности 1р1 ясно, что тдо(х~) ш О, т.е. функция и не может сама иметь скачка на я.
Аналогично доказывается, что и производные до порядка ш — 1 не могут иметь скачка на Я. А именно, пусть р — наименьшее из всех чисел й, для которых ттть ф О. Таким образом, (11.14) Ф.=фт=...=дртрло, бр~О. Мы хотим выделить самый сингулярный член в левой части уравнения (11.6). Это легко сделать, исходя из уже выписанных формул (11.10)-(11.12). А именно, при нахождении нормальных производных дь — „Прн я < р будут ПОЛуЧатЬСя фуНКцИИ Иэ 1Ч1,(й).
Прн Е = р+ 1 МЫ хя йолучим = трр(х') ер б(х„) + ~ дхР+1 для+' и уравнение (11.6) при р < пт — 1 приобретает вид тя-р-1 тбр(х') е1б1 " О(х„)+ ~~1 О1(х') Зб1~ р ' О(х„) =д(х), где ат(х') 6 С" (Я), д б Ь11 (й). Отсюда, как и выше, следует, что тдр = — О, что противоречит исходному предположению.
Итак, трр — — О, при р < пт — 1. Докажем теперь, что тт1 = О. Но это сразу ясно из уравнения (11.6), поскольку все производные дЯЕ, где а = (а', а„), а„< пт — 1, непрерывны в й. Таким образом, нормальная производная порядка тп также не имеет скачка. Рассмотрим теперь случай, когда р > нт, где р — номер первой разрывной нормальной производной (см. (11.14)). Однако этот случай легко сводится к случало р = пт. В самом деле, применяя к обеим ча- дР-т стям уравнения (11.6) оператор —, мы видим, что и удовлетворяет уравнению того же вида, что и (11.6), но с показателем р вместо пт. Отсюда следует, что и случай р > пт невозможен.
Теорема 11.1 полностью доказана. Из теоремы 11.1 вытекает, что решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывов первого рода описанной выше структуры. На самом деле они всегда просто бесконечно дифференцируемы (в нашем курсе это не будет доказыватьсл). Приведенные ниже примеры 11.1. Хлглктвгистнкн, как поввехностя глзеывов 239 показывают, что неэллиптическне уравнения могут иметь разрывные решения.
Пример 11.1. Уравнение км = ази, имеет решение д(х — а1), имеющее разрыв 1-го рода вдоль линии я = а1, являющейся характеристикой. Вдоль характеристики х = а1 можно устроить разрыв 1-го рода производных сколь угодно высокого порядка, рассмотрев решение и(1, х) = (я — а1)ад(х — а8), где Ф б Е~, Аналогичные разрывы очевидным образом строятся вдоль любой характеристики (все характеристики имеют в нашем случае вид х — а1 = с~ и я + а1 = сз).
Пример 11.2. Рассмотрим более сложный случай трехмерного волнового уравнения им = а~Ли, и = и(1, х), х Е Жз. Простейший пример разрывного решения можно получить, взяв сферическую волну д٠— ае) п(8, х) =, имеющую, очевидно, разрыв 1-го рода на верхней поле светового конуса ((1, я): !х! = а1, 1 > О). Сферу (х: ф = = а1) С жз естественно называть еаляоеыи фроятиом. Волновой фронт движется со скоростью а. В геометрической оптике лучом называют параметрическн заданную (с параметром $) линию, нормальную к волновому фронту в каждый момент времени.
В нашем примере лучи— прямые линии х = ае1, где 8 > О, е Е Из, ~е~ = 1. Иногда лучом называют просто линию, нормальную ко всем волновым фронтам (без задания параметра). В дальнейшем мы более четко укажем терминологию геометрической оптики в связи с уравнением Гамильтона — Якоби. Пример 11.3.
Опять рассмотрим трехмерное волновое уравнение ьм - -аЯЬп, но на зтот раз попробуем построить решение, имеющее в начальный момент времени разрыв вдоль данной гладкой компактной поверхности Г с Кз. Пусть, например, Г = дй, где () — ограниченная область в жз и начальные данные имеют вид и~, = 1п, и~~, = О, где тп — характеристическая функция области 11, равная 1 на () и 0 вне й.
Попробуем понять, как будут вести себя разрывы функции и с ростом 1, исходя из формулы Кирхгофа, по которой мы будем строить и. В формуле Кирхгофа нужно проинтегрировать оп по сфере радиуса аФ с центром в точке я, разделить результат на 4яаз8 и затем взять производную по 1. Легко видеть, что н(Ф, х) будет гладкой функцией от 1, х при тех 1, х, для которых сфера радиуса а$ с центром в точке х не касается поверхности Г, а пересекает или вообще не задевает ее. Позтому разрывы могут быть лишь там, где описанная сфера касается Г. При малых Ф зто множество (аволновой фронте) есть в точности множество тех точек я, которые лежат на расстоянии 240 $11.
Волновыв фгонты н коготковолновов пгнвлнжвняв а8 от Г. Волновой фронт при малых 8 можно построить так: провести все нормали к поверхности Г (ьяучяэ) н отложить на ннх а1 в обе стороны. Легко видеть, что на построенном так волновом фронте действительно имеется разрыв первого рода функции и. При больших 1 нормали начинают касаться, пересекаться и т.д. Возникает огибающая семейства лучей, называемая хаусшикоб. Особенность решения на каустике имеет уже более сложную структуру и мы не будем этого касаться. Уже на этом примере видно, как в теории волн возникают объекты геометрической оптики. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос более подробно.
11.2. Уравнение Гамильтона — Якоби. Волновые фронты, бихарактериствки и лучи Уравнением Гаиильшоиа — Якоби обычно называют уравнение вида Н(х, — ) =О, (11.15) где Н = Н(х, с) — вещественноэначная функция переменных х Е К", ( Е 3Р, о = о(х) — неизвестная (тоже вещественнозначная) функция, — — ее градиент. Уравнение Гамильтона-Якоби играет важную роль дд дх в механике и физике.
Напомним кратко способ интегрировзния уравнения (11.15), точнее, связь этого уравнения с обыкновенными дифференциальными уравне- ниями, известную из курсов механики и обыкновенных дифференци- альных уравнений (см., например, Арнольд [2-2)). Рассмотрим гамильтонову систему х = Нт(х, с), (11.16) ~ = -Н (х„с), он (он он 1 он у он он 1 гдеНт — — — = ~ —,..., — ~,Н,= — =( —, = о6 = 1,66,'"'66.) *= о* =(о*т " о*.у. Решения этой системы (кривые (х(8), с($))) называются бихараитле- ристихами (или, точнее, бихарактеристиками функции Н(х, ()), сама функция Н(х, С) часто называется фуикииеб Гамильтаоиа нли гамиль- твоииаиом.
Про систему (11.16) говорят, что это гамнльтонова систе- ма с гамнльтонианом Н. Векторное поле (Н~, — Нь) в Щ"1, определяю- щее систему (11.16), называется гамильшоиовым полем с гамильтониа- ном Н. Можно показать, что гамильтоново поле корректно определено 11.2. Угьвнвнив Гамильтона-Якови, вихьгьктвгистики, лтчи 241 на Т'Щ. Это значит, что если считать с кокасательиым вектором, записанным в системе координат, соответствующей заданной системе координат в К," (т.е. считать ~ы ..., („ координатами кокасательного вектора по базису дхм ..., бх„— см.
$1), то вид системы (11.16) будет тот же самый при любом выборе криволинейных координат в К",. В курсах механики дается инвариантное определение гамильтонова поля на Т*К",, из которого сразу следует сформулированное выше утверждение, но иам зто сейчас не понадобится, как и само утверждение об инвариантности, указанное для полноты картины. Имеет место Предложение 11.2.
Гамильтониан Н(х, () лвьаетсл первым интегралом системы (11.16), т. с. Н(х($), с(8)) = сопв$ вдоль любоб бихарактвристики (х(г), С(г)) . Доказательство. Доказательство. Имеем: д дН. дН аг ' дх 66 Н(Х(г)~ 1(г)) = Х+ — ( = НлНг + Нг( — Нь) = 01 что и требовалось. В частности, важны нулевые бихарактсристики, т.е. такие бихарактеристики, для которых Н(х(ь), ЯФ)) = О. Как показывает предыдущее замечание, достаточно, чтобы было Н(х(гв), С(го)) = О для какого-нибудь Фв. Рассмотрим теперь график градиента функции Е(х), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
