Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пользуясь зтим обстоятельством, попробуем исключить С(8). Заменяя ~ф на Но/с(х), получим из (11.53) 258 $11. Волновые феонты и кОРОтковолновое пРЯБлижение 4Х разрешено относительно —, (коэффициент при этой производной ра- 1 вен —, а мы считаем, что с(х) > 0). Поэтому задание начальных с (х) данных х(0) = хс, х'(0) = се (штрихом обозначается производная по 1) однозначно определяет решение х(1). Однако не всякое решение х(1) этого уравнения задает луч, поскольку переход от системы (11.53) к уравнению (11.56) был не вполне эквивалентен.
Рассмотрим этот вопрос чуть-чуть подробнее. Пусть х(С) — решение уравнения (11.56). Определим ~(1) по формуле (11.55), выбрав пока произвольно поаикитеяьную постоянную Нс. Тогда уравнение (11.56) равносильно второму из уравнений (11.54), в то время как первое из уравнений (11.54) просто означает, что с(1) получается по формуле (11.55). Такам образом, если (х(1), Я1)) решение системы (11.54) при произвольном значении Не > О, то х(1) — решение (11.56) и, наоборот, если х(1) — решение (11.54) и Не — пронзвольная положительная постоянная, то существует и единственна такая функция ~(Ф), что (х(Ф), ((1)) — решение системы (11.54). Как перейти от системы (11.54) к системе (11.53)? Если (х(1), с(1))— рвпение системы (11.54), причем Д1) ~ О, то ясно, что (11.53) выполняется тогда и только тогда, когда с(х(1)))Я1)! = Не. Заметим, что для этого достаточно, чтобы было с(х(0)) фО) ~ = Нд.
В самом деле, достаточно проверить, что векторное поле касается многообразия ((х~ Р) с(х)~Я вЂ” НО) с Кр 1. Возьмйм точку (хе се) 6 М и кривую (х(1), С(С)), являющуюся решением системы (П.54) и удонлетворяющую начальному условию (х(0), ДО)) = (хю (е). В частности, вектор скорости (х(0), 4(0)) совпадает с вектором поля в точке (хе, (е). Нужно проверить, что вектор (х(0), с(0)) касается М в точке (хс, се), т.е.
что 11.4. Увявнвнив эйконлля и квявнвння пвгвнооя 259 Но — (ся (х(1)) ф1) /~) /, = 2с(хе) [с,(хо) х (О)] /(о|~ + 2сз(хо) (о 4'(0) = = 2с(хоЯе~сс (хе)~~Не ~с'(хо)~о]+ 2сз(хо)(о ~+Нос ~(хе)ся(хо)] = = 2с(хо) (со с*(хо)] ~~Но 'сл(хо)!4о! ~ Но] = 0 поскольку с(хо)]се] = Но ввиду того, что (хе со) Е М. Итак, если с(х(0) ) фО) ] = Но, то решение (х(й), С(1)) системы (11.54) является решением и системы (11.53), откуда х(Ф) является лучом.
Теперь заметим, что из выражения (11.55) видно, что при каждом фиксированном 1 условие с(х(с))]С(1)] = Нд равносильно тому, что ]х'(1)] = с(х(Ф)). В частности, если ]х'(0)] = с(х(0)) — решение уравнения (11.56), то х(1) является лучом и ]х'(1)] = с(х(1)) при всех й. Итак, лучи х(Ф) выделяются среди решений уравнения (П.56) тем, что их начальные условия х(0) = хе, х'(0) = ве таковы, что оо = = с(хо) Проверим, что лучи являются экстремэлями функционала, задающего время, за которое свет проходит кривую (епринцип Фермаз), т.е. Функционала т(Г) = 1'~', с' г где <Ь вЂ” элемент длины дуги кривой Г, с = с(х) рассматривается как функция на кривой Г. Экстремальность понимается по всем вариациям, сохраняющим концы, т.е.
в классе путей Г, соединяющих две фиксированные точки. Пусть эти точки обозначены хо и хь Поскольку факт экстремальности не зависит от выбора параметра, то удобно считать, что параметр меняется все время на отрезке (О, 1]. Итак, пусть Г = (х(т), т б [О, 1)). Будем брать вариации пути Г, сохраняя условия х(0) = хе, х(1) = х~. Экстремальность равносильна уравнениям Эйлера — Лагранжа для функционала 1 тя,~ щ =/Й.'М вЂ” '. о (здесь точка означает производную по т).
Это известные уравнения Лагранжа 2бб $11. Волновык ееонты н коготковолновов пгивлнжнннв для лагранжнана А = —. Онн имеют вид: )х) с(х) б 1' 1 1 <Ух(г) ) /х(г)( <Хт ~с(х(т)) (х(г)( сЕг l сз(х(г)) * ( (11.57) со Л) = 1ЛЯ~еыл '~ Ь Л ~ + е*"л ч — х Л 1.
1 дг х=о х=о Л) = — Лзя~зеыл~ Ь,Л '+ЬЛяне*"л~ ЬЬЛ 1+ 1=О у=о + 2(Ляе'"л ~~ — хЛ 1+с'"л ~ — хЛ 1; 1=О з=о Л) = )ЛЯ,еыл ~ Ь1 Л ' + еыл — х Л 1. —, бЬ- бх х=о 1=с Л) = — Лзя,'е™лт» ЬЬЛ 1+ъЛЬяеыл ~) Ь,Л 1+ у=с 1=О +21Леыл~я ° — 'Л 1+сын 'ЬЬ Л У. дЬ. х' бх 2 щ($, х, пм(1, х, п,(1, х, Ьв(~, х, Разумеется, факт экстремальности не зависит от выбора параметра и от того, в каких пределах меняется т (можно менять т на любом фиксированном отрезке (а, Ь)).
Пусть теперь (х(х)) — луч с вараметром 1, имекицим тот же смысл, что выше (т.е. таким, как в системе (11.53)). Мы знаем, что вдоль луча ф = с(х(8)). Но тогда, полагая т = 1, мы видим, что уравнение Лагранжа (11.57) переходит в ураннение (11.56), которое мы выше вывели для лучей. Итак, лучи удовлетворяют принципу Ферма. Этот результат согласуется, в частности, с тем, что в однородной среде (т.е. при с(х) = с = сопеб) лучи являются прямыми. Выпишем уравнения переноса в описанной ситуации. Для этого нужно подставить ряд п($, х, Л) вида (11.52) в уравнение (11.51). Будем считать, что Я(х, х) удовлетворяет уравнению эйконала.
Тогда ряд — — сз(х)Ьп начинается с Л'. де бс2 Имеем: 11.4. Углвнвннв зйконллл и х лвнвння пвгвносл 261 Теперь вычислим ип — со(х)Ьи. Первые члены в выражениях для пм и с~(х)Ьм сократятся ввиду уравнення эйконзла. Приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях Л, получим, деля на 24: Ят с (х)Я + [8тт сз(х)ЬБ)Ьт+ дЬ,, дЬ; +(24) 1[ — о — с~(х)1151 1~ =О. (11.58) Это и есть уравнения переноса.
Иэ уравнений бихарактеристик видно, что поле (ям — со(х) я,) = (т, — с (х)() касается лучей, т.е. все уравнения (11.58) имеют вид — Ьт(1(а), х(а)) + а(а) Ьу(1(а), х(а)) + Да) = О, где о(а) зависит лишь от Я, Да) зависит от Я, Ьо, ..., Ьу ы а (т(а), х(а)) — луч с параметром о, рассматривавшимся в начале раз- бора этого примера. ь < Укажем другой способ рассмотрения этого примера и близких ему по структуре. Можно искать решения уравнения (11.51), имеющие вид н(1, х, ы) = е 'о(х, ы), (11.59) где ы — болыпой параметр, а о — формальный ряд вида о(х, ы) = е ~*~ ~~~ од(х)ю ~. (11.60) Уравнение (11.51) для функции и(С, х, ы) вида (11.59) переходит в уравнение для о(х, ы) типа уравнения Гельмгольца [~1 + от'с '(х)1 о(х,ю) = О.
(11.81) Ят — — с (х)Я вЂ” + дЬо о дЬо до дх Я~ — — с (х)Я,— + дЬт з дЬ1 до * дх Зт — — сз(х)я, — + дь дь И дх 2 [он — с (х)ЬЯЬО = Оз 1 -[Ан — сз(х)д ЯЬъ+ (21) '[ — у — с'(х)дйо3 = 0; 2 -[Яи — со(х)ЬЯ)Ьз+ (21) т [ — 21 — со(х)ЬЬ11 = 0; 2 дт 262 $11.
ВОлнОВые ФРОнты и кОРОткОВОлнОВОе ПРиВлижение для функции 8(х) получается уравнение эйконала вида Я~(х) =— 1 с (х) (11.62) К тому же результату мы пришли бы, считая в исходной ситуации функцию Я(1, х) имеющую вид Я(1, х) = 1 — Я(х). Мы не будем сейчас выписывать уравнения переноса для функций пл(х). Они имеют структуру, близкую к структуре нестационарных уравнений переноса (11.58).
Замечание. Уравнения переноса описывают в физических задачах перенос энергии, поляризацию и другие важные физические явления. Однако мы не останавливаемся на этих вопросах, относюцихся скорее к курсу физики. П.Ь. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными Рассмотрим уравнение Ан = О, где А = а(1, х, ЮО Ю ), 1 6 11, х 6 6 К", и пусть А — гиперболический оператор относительно переменной 1.
Рассмотрим формальный ряд и(1, х, Л) = е*ллрэб ~~ Ьу(й,х)Л 1 В=О (11.63) а„,(1, х, Яо Я,) = О, (11.64) где а (1, х, т, ~) — главный символ оператора А. Но как мы видели выше в и. 11.3, это равносильно тому, что вьшолнено одно из т уравнений ш. =В(1,х,Я,), (11.65) где О($, х, с) (1 = 1, 2, ..., т) — полный набор корней уравнения ОФ(1, х, т, ~). Задав начальное условие (11.66) и попробуем понять, по каким начальным данным при 1 = О можно восстановить этот ряд, если он является асимптотическнм решением. Мы будем рассматривать только такие фазовые функции Я(1, х), что бгаб Я(1, х) ~ О.
Функция Я(1, х) должна удовлетворять уравнению эйконала 11.5. ЗАДАЧА КОШИ С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ДАННЫМИ 2бЗ где функция ое(х) такова, что 8гас(, Яе(х) ф О, мы можем построить ровно ш различных решений уравнения эйконала (11.64), удовлетворяющих этому начальному условию, а именно, решения уравнений (11.65) (каждое иэ них уже имеет единственное решение).
Решения уравнений (11.65) существуют в малой окрестности плоскости 1 = О, определяемой как указано в п 11.2. В этой же окрестности функции 51 (1, х) будут однозначно определены из уравнений перелюса, если задать начальные данные 51 11 е = 61,е(х), 1 = О, 1, 2, ... (11.67) Поставим теперь задачу Коши, для уравнения Аи = О, задавая начальные данные вида: н~ е1АЯО(Р) ~с( )(х) Л-1 и=о Т=О и1~, = Ле1"~<*~ ~ с~~1(х) Л 1, 1=Е (11.68) т-1 00 д в! Л -1 11~(Р)Ч~;~ (ив-Ц( )Л вЂ” 1 О1 ЯВ1$0= Е С1 Х и(Ф, х, Л) = ~~1 и" ($, х, Л), (11.69) где 1г(1 х Л) еыя"1ь*) ~51 )(1, х)Л 1.
(11.70) Назовем сумму (11.69) решением уравнения Ан = О, если каждое в"(1, х, Л) является решением этого уравнения. Поскольку все ряды Смысл этой задачи состоит в том, что мы хотим находить сколь угодно точные (при больших Л) решения уравнения Ап = О с быстро осциллирующими начальными данными, являющимися конечными отрезками рядов, стоящих в правых частях (11.68). Решением этой задачи уже нельзя называть просто ряд вида (11.63) (такого может и не оказаться). Нужно брать конечную сумму таких рядов (с различными фазами Я(Ф, х)). Итак, рассмотрим сумму: 264 $11.
ВолнОВые ФРОнты и кОРОткОЕОлнОЕОе НРНБлижение дьит — имеют вид т=о Л ет з'(*) ~~т с ( ) Л т=о и( = стааль~*)~тто(х) т-1 Лттт — 1стьво(~) (Х) (11.71) Обрывая ряд для и на достаточно далеком члене, мы видим, что нахождение асимптотических решений дает настоящие функции и(1, х, Л), для которых Аи = О (Л "т), и$, = ет ь(*)тра(х) + О (Л ), (11.72) д"т Лы-1 тьяь1*), т, (,) + О (Л-Рт) где т)т' может быть сколь угодно большим. 'Хеоремя 11.5. Описанная выше задача Коши для гиперболического уравнения Аи = 0 (с иа тальиьтми данными (11.68)) однозначно разрешима (в малой окрестпности начальной плоскостпи 1 = О). Доказательство. Каждая из фаз Я"(1, х) должна удовлетворять уравнению эйконэла и начальному условию Я~, = Зо(х). Существует, как мы видели, ровно тп таких фаз я~, оз, ..., я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
