Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Ответ на последний вопрос: х(ь — у) вь и(х, у) =В а в(п — + ЯЬЯЬ а а (2р + 1)в'(а — х) 8Аь ь . (гр+ц у ~-~ (гр+1)вхв ЯР+1)ва аЬ в=в вь Ь Указание. Общая схема такова. Шав 1. Свести задачу к случаю ФО(0) = Фо(а) = ~р«(0) = Ф1 (а) = 2ре(0) = 2рв(Ь) = «ь1(0) = 1Ь1(Ь) = О, вычитал функцию вида Ав+ А«х+ Аву+ Авху. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 284 Вуав 2.
Искать в виде и = иь + иг, где иь,иг удовлетворяют уравнениям льиь — — глиг = О и, кроме того, иь удовлетворяет граничным условиям Дирихле с гУо = г(гь = О и теми же ьго, гггь, что и для и, иг удовлетворяет граничным условиям Дирихле с ььо = ьог — — О и теми же 9о, г)~ь, что и для и. Тогда иь(х, у) =сь Г(Сье ь +Рье ь ) в!и — = ь=г йхх йх(а — х)1 .
йхр = 7 ( Аь вЬ вЂ” + Вь ЕЬ Ь ь ) ь 1 вгп —, 6=1 иг(х, у) = ) ~АьвЬ вЂ” "+ВьвЬ )вшй™, 6 Аь ЕЬ вЂ” = — ь грь(у) в1п — г(у, йха 2 Г . йхр 6 Ьь' Ь о ь йха 2 Г . йхр Вь ЕЬ вЂ” = — гро(у) вш — Ф Ь Ьг' Ь о а А' вЬ вЂ” = — ~ 4'ь(х) вш — гьх, йхь 2 Г . йхх а а,/ Ь о а йхь 2 Г . йхх В' вЬ вЂ” = — / гЬо(х) вш — г(х. а а Г а о Т-г. Укоэоние. Если й(С, у) = ) е ьааи(х, у) дт, то — Сгй+ — = О и Орг й(4, у) = Сь(С) ехр( — фу) + Сг(4) ехрЯ)у).
Второе слагаемое должно обращаться в О почти всюду, если мы хотим, чтобы функция и была ограничена. Поэтому й(6, у) = Ф(0 ехр(-~6у) и и(х р) е-К!о+да — аИгр(х) г(хщ. Г 2х,г Поменять порядок интегрирований. 7-8. а й 2Е+ нли а — в ) — п/2. Отввты и укАзАния 285 7-9. Нет. Указание. Использовать неравенство Фридрихса. 8-1. Физическая интерпретация: С(х, Р) — взятый в точке х потенциал единичного точечного заряда, помещенного в точке р Е Й внутри проводящей заряженной поверхности дй. 8-3.
Та же, что и у 8»(х — Р), где 8„— фундаментальное решение оператора Ь. 8-3. Указание. Использовать, что оператор Ь ' самосопряжен. 8-4. Указание. Использовать формулу Грина (4.52) с е(х) = С(х, Р) (считэл Р параметром) и заменив 11 на 11 ~ В(р, е), где В(Р, е) = (х: )х — Р~ < е). Затем перейти к пределу при е -+ +О.
8-5.0(х, Р) = — 1п( ~ ') при н=2, 4Х (х2 — р2)2+(хг+Р2)2 ~(х> Р) — „2 -г 1 ( 1 1 (2 — »)в» 1 ~)х — р1" (х — р(~ при п > 3, где Р = (Рм ° ", Рв-ъ, -рв) для Р = (Р2 "°, Р» — 2 Р»). Указание. Искать формулу Грина в виде С(х, Р) = 8»(х — Р)+сЯ»(х — Р), где р ф 11 и с — постоянная. 8-6. 2х»~о(р') 4р' и(х) = / нв 21х — (р, 0)1 и"-1 2 / хву(рм ", рв-2)4р2 "ярв-2 г в/2' З, [(Х2-Р2)'+".+(Х»-2-р -2)'+рв)"' Указание. Использовать формулу из задачи 8-4. 8-7.
Возьмем круг нли шар (х: 1х~ < Щ. Тогда 1 В1х-р! С(х, р) = — 1в при и = 2, Ь! Мх-й 1 вв-2 С(х, р)— (2 — »)е» 2/х — р/ /р/ (2 — в)е» 1!х — р/ в-2 в-2 — » — 2 ПР 286 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ где у = — — точка, полученная из у инверсией относительно окружгг~у ! !г ности (сферы) (х: !х! = В). Укезание. Если п = 2, то искать С(х, у) в виде Е2 (х — у) — Ег(х — у) — с(у). 6-8. и(х) = /! „У(у) г(оз. Здесь круг (или шар) ап — 1к !з!=я !х — у!" взят в виде Й=(х:!х!<В), у=и~ Указание.
Испольэовать формулу из задачи 8-4. Учесть при вычислении — С(х, у), что при !х! = 11 д хо — !х-у! = — — !х-у! = — ~~ !х-у!, — ( = — ~ —, — ) = Д 8 ~ у1 Еу — х у1 (х у) — Яг ' !у!( Ь-х!' !у!.г' 8!х-у! ' 8-8. Для полушара (х: !х! < В, х„> О) ответ имеет вид га(Х Р) — гге (Х Р) гхо (Х 9) где СΠ— функция 111ина шара (х: !х! < )з) и у = (Р1,..., Р„г, — у„) для у=(Р1, ",Р -1, Ра) 6-10. 1 + + (хг — уг)2+ (хз — уз)г 1 + С(х, у) 4х (х1 — у1) — ш)' + (хг + уг)' + (хз — уз)' 1 4х (х1 4х (х1 — у1)г + (хг — уг) г + (хз + уз) 2 1 4х (х1 у1) + (хг+ уг) + (хз+ РЗ) Указание.
С(х, Р) = Ез(х у) — Ез(х — Тгу) — Ез(х — Тзу)+Ез(х — Т,Тзу), где Тг(уг, Рг, рз) = (Р1 — Рг Рз), Тг(уг, Рм Рз) = (Р1, Рг -Рз). Если и = 3, искать С(х, у) в виде Е„(х — у) — с(у)Е„(х — у), где (в обоих случаях) у = —. Показать геометрически, что если !х! = В, то И~у !у!' = — не зависит от х.
!х — у! Я Отвиты и хк»з»ния 287 8-11, Укюавие. Использовать, что Г(з) имеет простые полюса при я = О, -1, — 2, ... 8-12. Указание. Использовать формулу Лиувилля для вронскиана двух линейно независимых решений уравнения Бесселя. 8-13. Указание.
Разложить левую часть в степенной ряд по 1 и х и использовать разложение У„(я) из задачи 8-11. 8-14. Указание. Взять 1 = е'и в формуле задачи 8-13 и использовать результат задачи 8-11. 8-15. Для области (х = (х~, ..., х„): 0 < ху < а», у = 1, ..., и)) е Яш /с»ий» собственные функции имеют вид П,, й = 1, 2, ..., а собу=» е. ственные значения равны 8-18. Указание. Использовать тот факт, что функции,4 (а»,зх) при различных и являются собственными функциями одного и того же оператора 4» 1 8 »г Ь= — +- — —— 4зз Я 4х яз (на пространстве функций, обращающихся в 0 при х = 1). Этот оператор симметричен в пространстве 1»((О, 1), хая), состоюцем из функций на (О, 1), имеющих интегрируемый квадрат по мере хая.
8-1Т. Для круга (х: ~х) < Н) в полярных координатах искомая система имеет вид .У» ( — '" г) е'»", й е Е+, и = 1, 2, (а»,„определены в задаче 8-16.) Указание. Записать Ь в полярных координатах и разложить собственную функцию в ряд Фурье н(г, ~р) = 2,»Х»(г)е~»". Тогда каждый член Х»(г) е~»~ будет собсгвенной функцией и Х»(г) удовлетворяет уравнению Бесселя. Используя регулярность в О, показать, что Х»(т) = сА( т) 8-18. указание. для цилиндра й = ((х, р, я): хз + рз < Н, 0 < я < < Н) свести задачу к случаю Ьи = у, и~ = О, затем разложить и и у ОТВБТЫ И УКАЗАНИЯ 288 по собственным функциям оператора Ь в Й, имеющим вид ~(е ~'.18(аь,а — ) 81п —; Й Е Ж+, п = 1, 2, ..., т = 1, 2, ...
~. 9-1.и(1, х) = е™'Ле( — р), р = ~/х~~+хю (Здесь ось цилиндра— прямая (х: «1 = хз = О)). 9-2. См. рис. 1б. и(й, т) = Указание. Ввести новую неизвестную функцию е = ти вместо и. (Здесь т = ~х~.) Тогдаи(1, т) = — (уг(т+а1)+у(т — а1)1, где ф — нечетное 1 продолжение функции тх на )9. 9-3. См. рис. 17. если т+ а1 < В, — ( — (т — а1) 1 если т+ай > В и (т — а4~ < В, 1 г г 4ат 0 если )т — ай( > В. и(й„т) = Указание. Ввести новую неизвестную функцию е = ти, т = ~х~, Тогда г+аФ е(1, т) = — у гд(8) и8 = Ф(т+ ай) — Ф(т — а1), 1 Г г — аВ Где Ф(т) = — 8 гг'(8) с(8, "т' — нечб'гное НРололжение функции тт' на н. 1 г 9-5.
Уюоание. Рассмотреть задачу Коши с начальными условиями и~, = О, и~~, = гд(х). Тогда и(1 «) (2я)-и 1 е'Иа-8>4+аа~кб,ь(у)г)рг18 / 2ааф (2я)-а / 810а-8) Š— ад40Ф(р)фД( / 2ва)ф 1 84 2 2т 0 если т <  — а1, если т+ о1 > В и — В < т — а1 < В, если т — а1 > В. ОТВЕТЫ Н УКАЗАНИЯ 291 а х1 Рнс.
19 Рнс. 18 Рассмотрим, например, первое слагаемое. Умножая подынтегрэльное выражение на С~-функцию 1Я), равную 1 при [С[ > 1 и О при 1 [с[ < — (это не влияет на особенности и), попытаться нанти такой 2 дифференциальный оператор С = ~ сС(С, х, 9, ~) —, что ге 'Н*-УИ+АОСΠ— ЕФ*-УЬС+ЯСО Доказать, что такой оператор супсесгвует тогда и только тогда, когда [х-9[э ф азСз (здесь х, р, С считаются параметрами) и использовать этот оператор для ДС-кратного интегрирования по частям, передвигая его с экспоненты на остальные члены. „г 9-9. ((С, х, р) .
С > О, С вЂ” х + — ~. Указание. Привести оператор к каноническому виду. 9.2. а) [(С, хм хз): О < С < пап 4, -), хд б [С, а-С], хэ Е [С, 6-С)~. (См. рис. 18: крышка гроба.) б) ((С, хы хз): С > О, б(ВС[(хы хз), П) < С), где П = [О, а) х [О, Ь|. (См. рис. 19: чаша стадиона (бесконечной высоты).) 9-8.
а) Пусть данный параллелепипед задан как ((С,х,р,э):хб[О,а), ре[О,Ь), эс[О,сЦ. Тогда ответ имеет вид (С, х, 9, Я): О < С < шш~-, 2 2 С, 1 ' ' ' ' Ь'Ю'~)' /о Ь с1 С<х<а — С, С<9 <Ь вЂ” С, С< э<с — С). 292 Ответы н тклзлння Р .20 Рис. 21 — — 1пВ, Ю 2т — — 1пт, Я 2я и(х) = )х! < В, (х~ >В, где т = )х~; рассматриваемая окружность имеет внд (х: ф = В), Я— полный заряд окружности, т.е.
Ц = )~„1 н п(у) ~Ью где и — плотность, определящая потенциал. 10-2. — — 2+ — — — 1пВ, Ят Я Ч 4яВ«4« 2« — — 1пт, Я 2я н(х) = т<В, 1х! > В, Здесь Я вЂ” полный заряд круга (х: (х~ < В), т = )х~. 10-3. 'Гот же ответ, что и в задаче 10-1 с т = ~~х'+ у«в (х, р, «)- пространстве, где ось «является осью цилиндра,  — радиус сечения цилиндра плоскостью ху. 10-4. чае, т< В, 10, т>В, где ае — плотность диполей, т — расстояние до центра окружности Сечение гиперплоскостью 1 = 1 представляет собой либо меньший параллелепипед, либо прямоугольник, либо отрезок, либо пустое множество (рис. 20).
б) 1(1, х, у, «): йв«((х, у, «), П) < 1), где П вЂ” данный параллелепипед. Сеченяе гиперплоскостью изображено на рис. 21. 10-1. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ гОЗ или до оси цилиндра,  — радиус окружности или поперечного сечения цилиндра. 10-5.
Я если !х! < В, (и — 2)яя 2В" 2' если !х! > В, (и — 2) я„2 !х!" где сфера радиуса В взята с центром в начале координат, ч' — полный заряд сферы. 10-6. Индуцированный заряд д = — —. ЯВ 4 Указание. Искомый потенциал равен О на поверхности сферы, следовательно, внутри сферы. Вычислить потенциал в центре сферы, предполагая нзвестным распределение заряда на поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
