Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 42
Текст из файла (страница 42)
2-10. См. рис. 11. 2-11. и = О. Указание. Решение и имеет начальные условия Коши н~ ьн О З=ФО дв ~ — ! =О. дх 'в=зо 2 12. и = Дх — а1), х ) хе + е, Дх) = О при х < хе + е; п = р(х+ аХ), х < хр — с, р(х) = О при х ) хр — е. 2 13. См. рис. 12. 2-14. См. рис. 13. ОТВЕТИ! Н УКАЗАННЯ 273 ! = 1/2а А ч" 3 ! =!/2а+ с ! Ъ !/2а Рнс. 11 Указание. Используйте формулу — (, „Ф(з) ая = Ф(х+а!)-Ф(х— — а!), Еде Ф(я) = — (а Ф(я) с(я. ГраФики функций Ф(х+ а!) н Ф(х — аС) нарисованы на рис. 13 пунктиром.
2-15. Е(!) В—  — ) [риД1, х) + Тиз(1, х)] с(х = Ее = сопя!. Укезанне. См. указание к задаче 2-9. 2-16. Отраженная волна имеет вид в тех же обозначениях, что в ответе к задаче 2-3. х+ а! ма 2-17. Слева и = ешы —, с частотой ы! = — < м. а+а ' а+е х — а! ма Справа и = е!пи —, с частотой ы, = — ) ы. е — а' а — е 2-18. Стоячие волны имеют внд Ха(х)(а!+ Ь) и Х„(х)(а„сояи„1+ Ь„ашы„!), и=1,2,...,сХ„(х)=соя — и=1,2~' '~ма оп=1,2, 1О Шзб ю М.А Отвкты и уклз~ния 274 0 я < 1/2а 1/а 21/а 21/а+ е Я/2а 51/2а+ е И/а+ а Рме. 12 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 276 Х,~1 х ях ХГ(х) = соя— 2ях Хг(х) = соя— Зях Хз(х) = соя— Рнс. 14 Графики первых функций Х„(х) нарисованы на рис.
14. 2-19. Граничные условия: п~ = О, (Е8и, + йи) ~, Г = О. Стоячие волны: Хр(х)(ар сояаГр1+Ьря1паГр1), Хр(х) = ВГН вЂ”, мр — — —, где ур— урх ура 1 ' Я 1 такие решения уравнения УГ1 сяе7 = ЕЕ у' Гто ур а (ря~ (р+ 1)т) р = О, 1, 2, ... Система (Хр . р = О, 1,...) ортогональна в Ьг([0, 1]) и каждая функция Хр является собственной дг функцией оператора Ь = — — с граничными условиями Х(0) = О, ,1 г а Х'(0) + аХ(0) = О, а = —.
Соответствующее собственное значение ЕБ' равно Лр — — ~ — ~, а его коротковолновая асимптотика имеет вид /7р1г ~1) ' ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 277 2-20. а) Резонансные частоты: ЫА =, й = О, 1, 2,...; усло- (22+ 1)ла 1 > \ вие резонанса: аг = агв при некотором Й. Если аг 71 агв, то и(1, х) = рва . ы вш — х ° вш ыс+ Еоаг сов 2~1 а а ч, 1,2 2Роыа2 ., (2гг+ 1)лх 2 в(пывс.ып ~ 1 11 1ЕЕ(,,) 1.
Если аг = агь при некотором Й, то и(1, х) = АЕОа ГЗ .. ы Хм. ы И = ( — 1) 2 ~- вшагс. Вш-х — — вшагФ. сов-х — агвсовагс. вш — х]+ ЕЕГ~Р 12 а а а а цр 2Евыа .. (2р+ 1)лх вшырс ' яп >а А ыр1ЕЕ( ыр) р>ар~в Указание. Искать частное решение в виде ие = Х(х) вгпагс, так что выполнены граничные условия (но не начальные условия), затем найти е = п — ие методом Фурье в случае аг 76 агь. В случае резонанса аг = щ, перейти к пределу в нерезонансной формуле дюя и при га -р гаь. Ггла б) Резонансные частоты: агь = —, й = 1, 2, ... Условие резонанса: аг = агь при некотором й. Если ы агав, то и(1, х) = — в1пы1. сов — х+ — + Еоа, м ров~в Ечга вш — 1 а Е$1аг а О0 2 + ~( — 1) А 2~о«га в1пагвг .
сов— Ьгх агАГЕзМ вЂ” ЫА) Если аг = агь при некотором й, то и(1, х) = АЕеа Г 3 .. ы 1/х . Агвя ю = ( — 1) — ~ — вшагв.в1п-х- — ~ — в(пагв.сов — +Фсовглв.вгп-х~]+ Е81 12газ а ю 1а а а + — + ~ ( — 1)Р 2 вгпагр$ ° сов —. Ю'оа'1 л 2Еоха . рлх ЕЯм .Г.г агр1ЕБ(гр2 Ы2) Р р>крфв ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 2Т8 Указание. См. указание к и. а). 2-21. а) Резонансные частоты: игл = —, й = О, 1, 2, ...; условие ата резонанса: ы = ыл при некотором )г.
Если ы ф ыл, то и(1, х) = в!Н~Л+ ~~г (-1) +' з!плгАЬ ° вш вш !(грл — ЫА) а Если аг = щ, при некотором Й, то и(й, х) = ААа11 .. аг х . ы Ю = (-1) — 1 — вшаМ ° зш — х + — в!нага ° соз -х+ Ф созыв ° в!п -х]+ 1 12аг а а а а + ~~г (-1)Р+ в)п гарй ° вш 2ЫАа .. рггх 1(аР мрл) Указание. См. указание к 2-20 а).
б) Резонансные частоты: ыв = (2й+ 1)за 2! , )г = О, 1, 2, ... Условие резонанса: ы = ЫА при некотором й. Если ы ф игл, то и(й, х) = з!Вагз+ гз (-1) . в!Нагл4 ° сов 2А . ( +Ц* савв 1(лгз - ыгв) а Если аг = ЫА при некотором )г, то ААа11 . аг х .. ых глх1 и(С, х) = ( — 1) — ! — в!пый соз — х+ — з)пый з!и — — усовы!.сов — !+ ! 12аг а а а а р 2Аагр . (2р + 1)ггх + 1 Р згпыр! !(ы — агр) рва,ргГА Указание. См. указание к 2-20 а). в) Резонансные частоты имеют вил ыр — — —, гле Тр такие же, как 7ра в ответе к 2-19, р = О, 1, 2, ... Условие резонанса: ы = ыр при некото- ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ оЛ ром р.
Если ы у4шр, то обозначая у = —, имеем а' ы1 йа . АЛ1 ~ l ых йа . мх1 и(1, х) = А(сов — + — в(п — ) (сов — + — вш — ) в)пы1+ а ЕБы а) 1 а ЕЕЫ а ) + ~~~ вшыр1 (сов — + — вш 4А уурвшпр . / урх Ы . 7рх1 (2 ур вш 27р)( уз -ур) 1 ЕЕ7р Если оу = ыр при некотором р, то и(1, х) = ~-в1пы1 ° сов(у(- — 1)) + — сояоа яуп(у(- — 1)))+ Ау(1 — сов 2 у) ипыв. в1п(у (- — 1)) Авшмв вш(у (1 + 1)) + (2 у — вш2у) 2 у — в!В 27 + ~~у ' в(пау„1(сов + — вш 4А77„вш 7„. У ч х Ы . 7аМ (27о — вш 27п)(7 — 7й) 1 ЕЕ7а яре,агр Указание.
См. указание к 2-20 а). 3"1. Ф(х) = сов йх + й )е вшй(х — 1)д($) Ф(1)ас; Ф(х) = совйх+ О(-~ = совйх+ — ~ в(пй(х — 1) совйвд(1)~11+ 0( —.); /11 1 /1 Ъ й~ е Ф(х) = — йв1пйх+0(1) =-йвшйх+ совй(х — С)совйсд(1)й+0(~-). е 3-2. Указание. Значения й, удовлетворяющие Ф(1) = Ф(1, й) = О, можно нанти с помощью теоремы о неявной функции вблизи й, для которого сов Ы = О. Дифференцирование по й интегрального уравне- дФ ния задачи 3-1 приводит к интегральному уравнению двя —, дающему информацвю, необходимую для применения теоремы о неявной функции. 3-3.0(х,() =-'~д(~-х)х(1-~)+д(х-Щ-х)~1. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 280 Физическая интерпретация: с (х, с) — форма струны, оттянутой в точке с точечной вертикальной силой Р = Т, где Т вЂ” сила натяжения струны.
3-4. С(х, ~) = — [д(~ — х) сЬ х ° сЬ(1 — ~) + д(х — ~) сЬ(1 — х) сЬ ~~. Физическая интерпретация: С(х, С) — форма струны, оттянутой в точке С точечной вертикальной силой Р = Т, имеющей свободные концы (кон- цы, которые могут свободно двигаться в вертикальном направлении)и подвергнутой действюо упругой возвращающей равномерно распределенной силы (см. рис. 15, где возвращающая сила реализована маленькими пружинками, присоединенными Рис. 13 к точкам струны и к массивному неподвижному телу).
3-6. Указание. Решение у = у(х) ф 0 уравнения — у" + д(х)р = 0 с 6 > 0 имеет не более одного нуля. 3-1. Указание. Использовать неравенство (Су, у) > О, С = 1 взятыр(х) = 1 " 1 с1у,(х — х ) с 3-образным семейством <р,. 3-6. а) ~,. 1 „=,)об(х, з)11х. Указание. Использовать разложение ~~-~ Ху(х)Х (С) Лз 1=1 которое можно получить, например, как разложение функции О(ч С) по ортонормированной системе (Х (х), 1 = 1, 2, ... ). б) ~,. 1 —, —— ,)с,)е)б(х, ~Я 1(хсзр. 1 Указание.
Это — равенство Парсеваля для ортогонального разложения С = С(х, С) относительно системы (Х (х) Хь(~); 2, й = 1, 2, ...). 42 В частном случае 1 = — — 2 на [О, т] с граничными условиями Х(О) = Х(т) = 0 мы имеем Л„= пз и, принимая во внимание ответ 281 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ к задаче 3-3, мы получаем 4-1. О. 4-2. 26(х).
4"3. яд(х). 4-4. Укезаиие. У(х) — У(0) = 1 „— Д1х)41 = хД ~'(1х)~В. 4-5. О при й — 1 +со; — 2я1б(х) прн 1 ~ -со. 4-6. Указание. Написать явные формулы для отображения З'(о'1) + -+ З~ (И) и обратного к нему. 4-Т. Указание. Использовать непрерывность обобщенной функции из З'(о1) по отношению к одной из полунорм в С'о(У). 4 8.
Указание. Использовать соображения двойственности. 4-9.л ьехо(х+2ая) = 2 л'леге1 *. 4-10. Указание. Умножить предыдущую формулу на у(х) и проинтегрировать. 4-11. а) и(х) = У.р. — + Сд(х) = —, + С14(х) = —. + Сед(х). 1 1 1 б) в(х) = !п(х~+Сд(х) +С1. в) и(х) = — Ю(х) + Сд(х) + С1. 5-1. а) -2я10((). б) 4 К! Уки1ание. Использовать сферическую симметрию и взять С = ~Ц(1, О, 0) = (~ы О, О). в) — бф — ре).
Ре Указание. Использовать ответ к б). ( ) А-1-1 (4 — 10)ь1 ~ 5-2. а) 1 (и — 2)я~ 1~х(~ ~ Указание. Это должно быть сферически симметричное фундаментальное решение оператора (-Ь). Ответы и указания 282 б) — е "~*~. 4~г)ж) Укгианне. Учитывая сферическую симметрию, взять С = (См О, О). Использовать регуляризацню умножением на ехр( — в1Я). Вычислить возникающий одномерный интеграл с помощью вычетов.
в) езгцМ! 4т)ж( Указание. Вычислить г' ~ ) как в б) и перейти к пре- ~щз — йз ~го деву при в -+ +О. б-3. — е 4зг)я) 6-1. Юз-ч~(-~Х г ~г2в~~~ ~'1 (ь+О "('*) = г +Л (2р+Цк '*Р~ ( 1 ! ') 1 в о Указание. Первый член в написанной выше сумме намного больше оставьньпс по истечении времени, сравнимого с гвременем релаксациие. 6-2.и(1, х) = — х(1 — х) + 2 свекр~ — ~ — ) $~ в1п —.
1зВ 2Уй Здесь 1 — сила тока,  — электрическое сопротивление стержня, У вЂ” объем стрежня, й — коэффнциент теплопроводности, с = -1г ггр(х) — — х(1 — х)~ в!и — г1х, 1/~ 2Уй ~ Ю о Чг=о' 12 а 1пп и($, х) = — х(1 — х). г-гага ' 2Уй Указание. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид 1~гг иг=аи + —. срУ Р 1~ 1эср Время релаксации $г — = —, где й — коэффициент 4ггэаэ 40аэ 40й ' теплопроводности, с — удельная теплоемкость (на единицу массы и единицу температуры), р — плотность (масса на единицу объема), 1— длина стержня. 283 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 6-3. !Нп и(1, х) = —. Ь+с «~оо 2 указание. Рассмотреть интеграл Пуассона, дающий явную формулу для и(1, х).
1-1. и(х, у) = а (х — ув). Уки«ание. Метод Фурье в полярных координатах дает и(т, ~р) = ос+ ~~1 т~(а«совЬр+ Ь«в1НЬр). 2 1( ) (Х4 4) О ( 2 2) 12 12 Указание. Найти частное решение ир уравнения Ьи = хв — ув и затем искать е = и — ир. 1-6. В полярных координатах и(т, у) = 1 + — 1и — + (т2 — а т 2) совг~р. Ь т Ь 2 а 4(а4 + Ь4) Указание. Метод Фурье в полярных координатах дает и(т, у) = АО+ВОЬат+1~ ~(А«т" +В«т «)театр+(С«т" +Р«т «)в1НЬр». «=1 7-6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
