Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Подробности можно найти в учебниках механики (см., например, Арнольд (2-2)). Отметим, в частности, что мы дали здесь доказательство единственности решения задачи Коши и способ его конструкции, но не проверили существования решения, т. е. того, что изложенная конструкция действительно дает решение. Это действительно так в той области, где рассмотренная выше система лучей, начинающихся при 1 = О, диффеоморфма системе параллельных отрезков (в частности, это верно в малой окрестности плоскости ((8, з): 8 = 0)), но мы опустим проверку этого несложного факта.
> ~ Сделаем еще одно замечание об уравнении Гамильтона-Якоби вида (11.19) . Предположим, что нас интересует не само решение, а лишь волновые фронты ((1, х): О(1, и) = с), где с — постоянная. Зафиксируем одно значение постоянной и будем рассматривать систему поверхностей 1з: О($, х) = с), которые лежат в К" и зависят от 1 как от параметра. Если где-то — ф дд о до ~ О, то можно (локально) решить уравнение О'(8, х) = с относительно 8 и записать эту систему поверхностей в виде (х: У(х) = 1), 11.2. Углвнвннв Глмильтонл-козни, вихлглктвгнстики, лучи 247 т.е.
в виде поверхностей уровня функции Я. Как написать уравнение на Я? Из тождества Я(Я(х), х) шс дифференцированием по х находим: дЯ Подставляя значение Я, = — Я ° — в уравнение (11.19), получим у + А(х, -Я (х) у) = О. (11.22) А(х, Лс) = ЛА(х, с), х е И", с е И", Л > О. Мы можем считать, что ш. ( 0 (иначе заменим Я на -Я, что не дЯ дЯ изменит волновых фронтов). Вынося (- — ) и сокращая на него, мы получим из уравнения (11.22): А(х, Я,(х)) = 1. (11.23) К тому же результату мы пришли бы, считая просто, что Я(Ф, х) = Я(х) — Ф + с. (11.24) Тогда уравнение (11.23) сразу получается и без требования однородности функции А(х, С).
Роль однородности состоит в том, что в пррщоложении однородности уравнение (11.19) на самом деле является лишь уравнением на направление вектора нормали к волновым фронтам и никак не зависит от параметризации волновых фронтов и величины вектора нормали. Итак, если считать, что Я(1, х) имеет вид (11.24) или, что А(х, С) однородна цо С порядка 1, то волновые фронты задаются уравнением Я(х) = 8, где Я(х) — уже решение уравнения Гамильтона-Якоби (11.23), не содержащего времени Ф. ~ Рассмотрим часто встречающийся и наиболее важный для уравнений с частными производными саучай, когда А(х, с) имеет 1-й порядок однородности по С, т.е. 248 $11.
Волновыв агенты и коготковолновов пгнвянжвнив 11.3. Характеристики гиперболического уравнения Пока мы не обсуждали вопрос о существовании характеристик. Ясно, что эллиптическим оператор не имеет характеристик. Мы увидим сейчас, что гиперболический оператор имеет достаточно много характеристик. Пусть дан оператор А = а(1, х, Рм Ря) = ) а~(1, х)Р~~'Р,, (11.25) ~а)~юь где Ф Е В, х Е К", а = (ае, а') — (и + 1)-мерный мультииндекс, а„(Ф, х) Е С (П), П вЂ” некоторая область в К"+'. Напомним, что зна- чит гиперболичность оператора А относительно выделенной перемен- ной Ф (см. $1). Рассмотрим главный символ а (Ф,х,т,с)= ~~~ а (1,х)т вс,".
!а)=юь (11.26) Тогда гиперболичность означает, что уравнение а„,(Ф, х, т, с) = О, (11.27) (Ф, х, С) Е П х (Ж" '1 0). Далее, ясно, что в силу однородности а,„, т. е. тождества а ($, х, вт, вс) = в~а,„(Ф, х, т, С), рассматриваемое как уравнение относительно т, при любых (1, х) Е Е П, С Е 1Р '1 0 имеет ровно га действительных (и притом различных) корней. Обозначим эти корни т1(Ф, х, с), ..., т (Ф, х, с). Ясно, что а являетсл многочленом степени гп по т, а из гнперболичности вытекает, что его старший коэффициент (коэффициент при т ) не обращается в 0 при ($, х) е Й (этот коэффициент не зависит от с в силу формулы (П.26)), Поскольку корни этого многочлена простые, то в этих корнях мы имеем: — ';-1,, ио.
(11.28) По теореме о неявной функции в окрестности т можно разрешить уравнение (11.27) относительно т и считать т (С х, С) гладкой функцией от (1, х, С) локзлыю по (Ф, х, С) Е П х (И" '1 0), т.е. в достаточно малой окрестности любой фиксированной точки 11.3. Хзеяктвенстнкн гнпвеволического хезвнення 249 набор корней т~(Ф, х, зс), ..., т (1, х, вс) совпадает с набором чисел вта(1, х, с), ..., вт„,($, х, с). Мы можем выбрать поэтому функции тз(1, х, з~) при ~6 = 1, а затем продолжить их по однородности, считая, что (11.29) т.(1, х, вс) = вт (Ф, х, с), з > О.
Таким образом, мы всегда можем считать, что функции ту(1 х, с) определены в конической по с области, т, е. области, содержащей любую точку вида (8, х, тС) при т > 0 вместе с любой точкой (8, х, О прн с ф О. Мы будем всегда предполагать это в дальнейшем вместе с гладкостью функций т ($ х, с). таким образом, функции тз(1, х, с) являются гладкими вещественнозначными и однородными первого порядка по С. Предположим, что поверхность является характеристикой.
Тогда вектор (т, с) = ~ —, оз) на этой пот бя верхности удовлетворяет уравнению (11.27). Но тогда ясно, что локально мы должны иметь при некотором у (11.30) (опять на поверхности Я = 0). В частности, мы можем в качестве Я взять любое решение уравнения Гамильтона — Якоби (11.30). Надо только, чтобы поверхность о = 0 была неособой, т. е. чтобы было выполнено условие: бгаб о' ф 0 при Я = О. Локально такую функцию о' можно получить, например, решая задачу Коши для уравнения (11. 30) с начальным условием (11.31) где бгао оо(х) о4 О.
Например, можно провести характеристику через точку (со, хо), выбрав Бо(х) = с (х — хо), где с е н" '1 О. на самом деле, беря функцию эо(х) произвольной, мы можем найти т характеристик, пересекающихся с плоскостью Ф = $о цо заданной цронэвольной неособой гнперповерхности в этой плоскости. Это означает, что волновой фронт, заданный при 1 = Фо, может распространяться в ш различных направлениях. 250 з11. Волновыв ФРОнты Н КОРОтКОНОлнОНОЕ НРивлнЖЕЕНЕ Можно проверить, что паиденвые характеристики, пересекатощиеся с плоскостью о = оо по данной пеособой гвперповерхности, ва самом деле не зависят от произвола в выборе начальной функции Яо, если начальная поверхность 1х: Оо = О) фиксирована.
Мы опустим эту несложную проверку, которую можно провести, например, анализируя описаиный выше способ построения решения уравневия Гамиль тона-Якоби. В случае и = 1 такая проверка была сделана в $1, где мы показали, что через каждую точку (1о, хо) 0 Й проходят ровно две характеристики гиперболического уравнения. 11А. Быстро епщллирувжене репивпеа, Уравнение зйкоиава и уровишпн перепаса Теперь мы хотим понять, каким образом волновая оптика переходит в геометрическую на очш~ь коротких волнах (нли, что то же самое, при высоквх частотах). Напомним, что плоская волна с частотой ы и волновым вектором й имеет вид и($, х) = об"и о'*1 = е'"'Р ь 1 Вектор — имеет длину —, где а — скорость распространения волн.
м а' Для трехмерного волнового уравнения величина а постоянна, т.е. Ее зависит от ы. Величину же ы можно считать произвольной, в частности, сколь угодно болыпой. Таким образом, для любого вектора йо длины— а и для любого ы имеется плоская волна вида Н(1 Х) Е1а10 Оочб (11.32) Мы можем считать теперь вектор йо фикснроваввым и устремвть частоту ы к +со.
Это и будет означать предельный переход к геометрической оптике для нашего случая плоской волны. Будем называть фазой плоской волны (11.32) величину у = м(1— — йо ° х), стоящую в показателе экспоненты. Зафиксируем ы и йо н будем следить за поверхностями постоянной фазы <р = сопоо, которые называются оолиаооьнв франтаин. При каждом о волновой фронт— это плоскость (х: й' х = 1+ с) С 11о. С взмеиением времени, воиновой фронт движется со скоростью а в Направлении вектора йо. Поэтому прямые, идущие в иаправленви йо, естественно называть лрчаапь 11.4.
УРАВнение эйконАИА и УРАВнениЯ пеРеносА 261 рассмотрим теперь общвй дифференциальный оператор А = а(х, О) = ~~» а„(х) Юа, х й Й с Йа, ~а)(»а и попробуем найти по анвюгии с шюской волной (11.32) решение урав- нения Аи = О в виде и(х) еыэ(а) (11.33) где Л вЂ” большой параметр, з(х) — вещественнозначная функции, которую мы будем называть фоэоб. Вычисляя Аи, мы видим, что Аи = Ла'а,„(х, Яа(х))еыш») + О (Л"' ~), (11.34) где а (х, 4) — главный символ оператора А (см. 5 1). Не будем следить пока за членами, обозначенными в (11.34) через О (Л ') (они имеют вид многочлена от Л степени не выше ш-1, умноженного на экспоненту еыЩ*)). Но из (11.34) ясно, что если мы хотим добиться въшолнения уравнения Аи = О при сколь угодно болыпих Л, то фаза 8(х) должна удовлетворять уравнению а (х,— )жО, (11.35) Аи =О(Л 1), Л-» оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
