Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Теперь уравнения переноса для амплитуд Ь (т, х) показывают, что достаточно задать (т) Ь (, = Ьт,„(х), чтобы все функции Ь (1, х) были однозначно опретт) (т) делены. Итак, нам нужно показать, что начальные условил (11.68) однозначно определяют функции Ь,„(х). Нужно подставить и = ~™ и" д"т 'и то начальные данные и~т о, ит~1 о, ..., —,~ тоже имеют такой вид. Поэтому имеет смысл говорить о выполнении начальных данных (11.68) для и(1, х, Л). Можно рассмотреть, например, частный случай, когда ряды в (11.68) вообще состоят иэ одного члена: 11.5. Злдлчл Коши с выстго ооциллигующими данными 265 в начальные условия (11.68) и выписать получающиеся уравнения на функции 6 ((, х), приравняв коэффициенты при всех степенях А. Пер(в) вое иэ условий (11.68) дает у=0,1, Второе из условий (11.68) приобретает вид: ) =0,1, д~и И вообще условие, задающее — „~,~, имеет вид: щь Ф=е' (11.73) В=0,1,...,гп — 1;у=0,1,...,где~ (х)зависнтлзппьотЬ ..., Ьу .
Заметим теперь, что (1) где г„($, х, С) ~ П(1, х, С) при т ~ 1 и С 16 О. Поэтому если — 16 0 (а аые это предполагается в рассматриваемой задаче), то система уравнений (11.73) при фиксированном ) имеет вид системы линейнъпс уравнений относительно Ь ~ = Ь,„(х) с определителем, равным определителю (') Вандермонда ) за-1 (и. ) где т, = г„(0, х, — ). Правые части в (11.73) зависят лищь от д5е 6е, ..., Ь г Поэтому последовательность систем линеиных уравнений () (') (11.73) дает возможность однозначно определить все функции 6(") по индукции.
А именно, найдя Ье,(х) из системы (11.73) с у = О, мы можем 2бб 511. ВолнОВые РРОнты и кОРОткОВОлнОВОе НРивлижение определить Ье (1, х) из уравнений переноса с начельнымя условиями () 6~~," ), = Ье,„(х). Если определены Ьо, ..., Ь1 м то из (11.73) находятся функции 6. ~, е, г = 1, ..., гп, и тогда из уравнений переноса можно () определить Ь(" ((, х).
Теорема 11.5 доказана. Укажем кратко связь теоремы 11.5 с поведением особенностей решений задачи Коши. Особенности функции 7'(х), как известно, связаны с поведением на бесконечности ее преобразования Фурье У(~). Например, написав формулу обращения У(х) = (2х) " У(с)е'*И ((с, (11.74) мы видим, что если Щ)~ ( С(1+ф) Р(, то у Е Сн " 1())с1). Пмтому для нахождения особенностей решения и((, х) достаточно решить задачу Коши с точностью до функций, у которых преобразование Фурье по х достаточно быстро убывает при )С( -+ со. Формулу (11.74) можно рассматривать как представление Дх) в виде линейной комбинации экспонент е(С'*. Поскольку исходная задача является линейной, для нахождения решения задачи с одним нз начальных данных, равным Дх), достаточно рассмотреть решение, для которого в начальном условии дх) заменено на еы'( н потом взять такую же линейную комбинацию решений.
Если у с Е'(~"), япрр у С К, где К вЂ” компакт в й", то удобней поступить несколько иначе. А именно, пусть <р В Се~(Н"), ~р = 1 в окрестности К. Тогда У(х) = у(х) У(х) = (2я) " 7(С) д(х) е(*'(дс (11.75) и достаточно решать исходную задачу с заменой Дх) на у(х)еыч. Например, если У(х) = 5(х), у В С~с©(й"), у(0) = 1, то верна формула (11.75); поэтому решив задачу Коши (11.75) 26В $11. ВолноВые фРОнты и кОРОткОВОлнОВОе пРиБлижение где ибн — сумма М + 1 первых членов ряда, задающего асимптотиче- ское решение НС.
Все эти члены имеют вид где л = ф,9 = 4Я/, О" (с, е, 0) — одна из фазовых функций, удовлетворяющих уравнению эйконлла с начальнь|м условием з" (, = зе(е) = = и е, р(8, е, О) — функция, бесконечно дифференцируемая по всем переменным, определенная при малых 1 и имеющая носитель, лежащий в некоторой сколь угодно малой окрестности множества лучей (1, я(Р)), начинающихся в точке (О, О) (последнее получается иэ вида уравнений переноса). Таким образом, мы видим, что носитель Ян(1, х) лежит на множестве лучей, проходящвх через точку (О, 0). Принимая во внимание тот сформулированный вьппе без доказательства факт, что особенности Я и Ян (с любой точностью) совпадают, мы видим, что обобщенная функция Я(1, е) бесконечно дифференцируема вне множества лучей, начинающихся в точке (О, 0).
При этом надо брать все лучи, соответствующие всем функциям з'(Ф, е, О) при каждом 0 и при каждом г = 1, ..., т. Получится набор из ш конусов с криволинейными образующими, выходящими из точки (О, 0) (при каждом и е Р', ~4 = 1, и при каждом Р = 1, ..., ш получается луч, причем этот луч гладко зависит от О). Более детальное описание особенностей мы оставляем читателю в качестве упражнения, которое полезно проделать для уравнений 2-го порядка, например, для уравнения, описывающего распространение света в неоднородной среде.
11-1, Рассмотрим уравнение им = О~ЬЕ, и = п(8, х), е Е Вз. Найти его характеристики, пересекающиеся с плоскостью с = 0 а) по прямой и х = 0 (пб ~~ '10); б) по окружности (е: )е~ = В). 11-2. Выяснить связь между лучами и характеристиками длл уравнения ин = сз(х)и„. 11-$. Для задачи Коши з ПН вЂ” Е Няя1 Злдлчи 269 написать и решить уравнение эйконала и первое уравнение переноса.
Пользуясь этим, найти такую функцию и($, к, Л), что при ж ~ О и при Л -+ оо ии — *'и, =0(Л '), и~ =0(Л э), гЛ +0(Л- ) 27О ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Ответы и укнзнннн 1 1 а) ирр+ие +и — О Замена переменных: Р— х! д = -х+у, 1 1 т = х — -у+ -л. 2 2 (Имейте в виду, что замена переменных, приводюцзя уравнение к каноническому виду, неединственна; вьппе приведена одна из возможных замен, в то время как существуют и другие, столь же правильные.) б) ирр — иед+ 2ир — — О; < р=х+у, е=х — у, т = у+я.
1 1 1 1-2. а) и,~ — -и, — — и — — и = О; в ' 4л гз в = ху 1 1 б) и,+и + и,+ — и =О; я+в 2в я=у — х в =хе В) ива + 2ил + ив = О; с л=х+у, в=х. одной независимой переменной. (Здесь и в п. б) вид общего решения не является единственным.) ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 271 Указание. Замена переменных 2 = 1п (хц(, в = 1п1у/х~ сводит уравнение к виду 2и~и + и, = Р, т.е. — (2и~ + и) = О, откуда д 2и + и = Р(в) и и(я, в) = а(в) + ехр( — в/2)Ь(х). б) и(х, р) = 1п~ ~ ~/(хр) + д(ху); /, а — произвольные функции одной независимой переменной.
Указание. Замена переменных с х = 1п1хр~, в = 1п)р/х~ приводит уравнение к виду и = О, откуда и(х, в) = вср(х) + с/с(г). 2-1. а) и~~ = О. Указание. Написать уравнение 2-го закона Ньютона для движения колечка. б) (тисс Ти )~, =О. Указание. См. указание к и. а). в) (тасс+ ссис — Ти,)1 = О. 2-2. а) Е(С) = 2,)е (рисю(1, х) + Т~~и(1, х)1 с1х = Е — — соней. б), в) Пусть Е(с) = -ти,'~, е + — )е (ри,'(1„х) + Тй(С, х)] дх = Ее— = саввам. Тогда Е(1) = Ее = сопят в случае б) и ЕЯ вЂ” Е(О) = А = — )е оизс ~, сй в случае в). (Атр — работа силы трения.) 2-3.
рии = Еи„или исс = а и, где а = ~сеЕ/р. з Здесь и = и(с, х) — продольное перемещение точки, которая в равновесии имеет координату х, р — объемная плотность материала стержня, Š— модуль Юнга, входящий в выражение силы, возникас11 ющей в деформированном материале, по формуле Р = Ео' — (закон Гука), о' — поперечное сечение, где измеряется сила, — — деформация маленького кусочка материала стержня вокруг точки измерения ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ( Ы вЂ” часто называется относительным удлинением здесь 1 — длина рас1 сматриваемого кусочка в положении равновесия, а й( — приращение этой длины, вызванное приложенными силами) .
Указание. Показать, что относительное удлинение стержня в точке, имеющей координату х в положении равновесия, равно и, = и (1, х), так что сила Е = ЕБИД1, х) действует на левую часть стержня в соответствующем поперечном сечении. Рассмотрите движение части [х, х+Ьх] стержня, напишите уравнение 2-го закона Ньютона для этой части и возьмите предел при Ьх -~ О. 2-4.п~!, р = О. 2 $. (Ели, — йи)~ = О.
Здесь й — коэффициент упругости пружины, т. е. сила порожденная удлинением пружины на единицу длины. 2 3. а),б) Щ) = -)р[ри~~(Ф, х)+Еи~~(1, х)1 дх = Ее = сонэк в) Е(1) В— е -йп~~, + — ДрБ~4(С, х) + ЕяиЦС, х)~ дх = Л(» = сопеС. 2-7, рЯ(х)ин = — ~ЕЯ(х) — ), где Я(х) — площадь поперечного сед У дит дх 1 дх)' чения стержня в точке, имеющей координату х в положении равновесия (ось х направлена вдоль оси стержня). 2-9. ЕЯ = — ) ~ри~~(1, х) + Тир,(1, х)) дх = Ер = сопзС (возможно +со прн всех 1). Указание. Используя результат эадачи2-8, доказать что Е(г') (( < Е(1) для Р ) $ и затем обратить направление временной переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
