Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 37
Текст из файла (страница 37)
и-мерное дд подмногообрвзие в Кга'~ вида Гв = ((х, Еа(х)), х 6 К" ), где о, = д Сформулируем основное утверждение, необходимое для интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби. Предложение 11.3. Если Š— решение уравнения Гамильтона — Якоби (11.15), то гамильтоново иоле касается подмногообразил Гв в его точках. Доказательство. Утверждение означает, что если (х(8), Дс)) — бихарактеристика, причем (хо 4о) = (х(го), 4(гв)) 6 Гв, то Короче: 242 $11. ВолноВые ФРОнты н кОРОтковолновое пРМБлижение Но — ~ь(Х(1)) ~ = ~ьь(Х(1))Х(10) = ~ль(ХОЩ(ХО, 10), лзо Еь где ΄— матрица вторых производных, т.е.
О'„= ~~ — ~~ ~о*;б*д ~~тд= ' С другой стороны с(1о) = — н,(хо, Ьо), так что мы должны доказать, что (я.. и, + и.) „, = о. Но это сразу получается дифференцированием по х уравнения Гамильтона — Якоби (11.15). Иэ предложения 11.3 сразу вытекает Теорема 11.4. Многообразие Гл инвариантпно отпноситпельно гамильтонова потока (тп. е. отпноситпельно сдвига по бихарактперистпи кам). Это значит, что если (х(т), С(1)) — бнхаргктеристика, определеннгя при $ й (а, Ь), и с(то) = з,(х(со)) при некотором 8е й,(а, Ь), то Н (х(1)) =~(1) при всех1 Е (а, Ь). Пользуясь теоремой 11.4, можно строить многообразие Ге, если оно известно над подмногообразием М коразмерности 1 в К").
Если же над М известно и 5, то простым интегрированием по Ге строится и О' (заметим, впрочем, что если Гг найдено, то 5 восстанавливается по значению в одной точке) . Следует, однако, отметить, что все эти задачи легко исследуются локально; глобально же построить О удаетсл редко. Чаще удается построить продолжение Гя, уже не являющееся графиком градиента (так называемое лагранжево многообразие), что тоже достаточно для решения большинства задач математической физики (с отсутствием однозначного проектирования лагранжева многообразия на Щ связано появление каустик).
Однако подробное исследование этих вопросов выходит эа рамки настоящих лекций. Укажем как строится (локельно) функция 5, если она сама и ее градиент известны над начальным многообразием М коразмерности 1 в К". Если бихарактеристика 1 = ((х($), С(1)) ), начинается в точке (хо, со), где хо ь. М, со — — Яь(хо), а кончается в точке (хы ст), то ясно, что Я(хт) — Я(хо) = Я. дх = 1т(х. (11.17) Ъ Ъ Назовем .лучами проекции нулевых бихарактеристик над Н". Будем рассматривать лишь нулевые бнхарактеристнки, начинающиеся над М 11.2. Углвпвнив Глмильтонл-Якови, вихлглктввистики, лучи 243 Пример 11.4.
Рассмотрим уравнение Гамильтона — Якоби вида ~Я,(х)! (11.18) Функция Гамильтона в этом случае имеет вид в точках вида (х, о,(х)), где х с М. Возьмем два луча я~(1) и хя($), соответствующие таким бнхарактеристикам. Они могут пересечься в какой-то точке хз е Щ, и тогда формула (11.17) даст в точке хз два, вообще говоря, различных значения для Я(х). По этой причине задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби (определение В по значениям Я~м и о ~, ) редко бывает разрешима глобально. Однако локально задача Коши часто бывает разрешима. Для локальной ее разрешимости достаточно, например, чтобы лучи'описанного типа, начинающиеся в точках М, шли в начальный момент трансверсзльно М. В этом случае мы можем рассмотреть отображение у': М х ( — е, е) -+ И", которое паре яе е М, 1 Е ( — е, е), ставит в соответствие точку х(с) луча, начинающегося в точке хе (т.е.
х(0) = хе) и являющегося проекцией бихарактеристики (я($), с($)), для которой с(0) = Я (хе). Отображение у по теореме о неявной функции будет задавать диффеоморфизм множества (7 х ( — е, е) (где (7 — малля окресгность точки хе в М, а е достаточно мапо) на открытое подмножество в Ж" тогда и только тогда, когда вектор й(0) не касается М (это условие необходимо и достаточно для того, чтобы дифференциал отображения у' был изоморфизмом (Т М х Ж -+ Т„Ж"). В этом случае лучи локально не пересекаются и задача Коши локально разрешима, Итак, сформулируем точно задачу Коши. Дано подмногообразие М С И," и функция Яе Е С"'(М).
Пусть в (Т'И,") ~„дано подмногообрззие Гл ~„, которое при естественном проектировании на Т'М дает график градиента Яе и лежит на нулевой поверхности уровня функции Н(х, ~). Задача Коши состоит тогда в нахождении функции о', для которой Я~, = Яе и Гл~ совпадает с заданным над М подмногообрззием (которое мы так и обозначили).
Если во всех точках М выполнено описанное выше условие трансверсаяьности, то задача Коши имеет решение в окрестности М. Поверхности уровня функции Я называются обычно волнвеььвв фроншанв. Мы увидим ниже, почему употребление этого термина здесь не противоречит его употреблению в примере 11.2. 244 $11. Волновыв фгонты и коготковолновов пгивлижвнив Уравнения бихарактеристик имеют вид И=' откуда сами бихарактеристики имеют вид Е (=й х =2~еЕ+х„ В частности, все лучи прямые (причем, зто могут быть прямые любого направления).
Если такой луч является проекцией бихарактеристики, лежащей на графике Гл градиента решения Я(х) (в силу теоремы 11.4 зто означает, что о,(хе) = се), то вдоль всего луча мы будем иметь МФ)) =с(4) =се =- откуда луч х(Ф) ортогонален всем волновым фронтам о(х) = сопе4, которые он пересекает.
Отметим, что в общем случае лучи не обязательно ортогонаяьны волновым фронтам. Одним из решений уравнения (11.18) является функция 8(х) =— Ф е в ЕЯ '1 О. Ее линии уровня (х: Я(х) = Ф), т. е. волновые фронты, совпадают с волновыми фронтами из примера 11.2. Лучи в данном случае— прямые линии, также совпедакяцие с лучами, о которых говорилось в примере 11.2.в < Рассмотрим еще следующий частный случай уравнения Гамильтона-Якоби: — +А(х, — ) =О, (11.19) Н(1, х, т, с) = т+ А(х, с). Гамильтоноеа система, определяющая бихарактеристики (1(е), х(г), т(а), С(в)), имеет вид 4=1, х = Ае(х, С), т=О, с =-А,(х, с) где 8 = Я($, х), А = А(х, с), $ е 1Р, х, 4 б Ж'. Это уравнение является уравнением Гамильтона-Якоби в Щ'+1 с гамильтонианом 11.2. Углвнвнив Гамильтона-Якова, вихягяктвгистаки, лз чи 245 (точка означает производную по параметру в).
Иэ этой системы видно, что т(в) = то, 1(в) = в+се, а (х(в), С(в)) — бихарактеристика гамильтонвана А(х, с). Поскольку сдвиг параметра на бихарактервстике ничего не меняет, мы можем считать, что 1е = О, т.е. 1 = в, и понимать х и с как функции от 1. Далее, если нас интересуют нулевые бихарактеристики, то мы можем произвольно задать х(0) = хю с(0) = со, тогда то однозначно определено: те — — — А(хе, Се). Таким образом, произвольные бнхарактеристики (х(1), с(1)) гамильтоннана А(х, с) находятся во взаимно однозначном соответствии с нулевыми бихарактеристаками для Н(Ф, х, т, с), начинающимися при Ф = О.
Лучи, соответствующие оннсзнвым нулевым бихарактеристикам, имеют ввд (1, х(1)). В частности, они трансверсальны всем плоскостям 1 = сопвС. Для уравнения (11.19) можно поставить задачу Коши, задав начальное условие и=о е(х)' (11.20) Из этого условия следует, что Я, ~, о — — —, а из уравнения находится 05~ оз — . Пазтому график Гя градиента функции о' известен над плоскостью М = ((С, х): С = О).
Поскольку лучи идут в начаяьный момент трансверсаяьно М, то Гя можно продолжать в определить Гя, а затем и Б над окрестностью М. А именно, мы должны положить в соответствиа с формулой (11.17) Я(С, х) = Яе(хе) + (те<В+ Я1)х(С)<й], е где (х(1), С(1)) — такая бихарактерастика гамильтониана А(х, С), что х(0) = хе, х(1) = х, т. е. точки хе и х соединены лучом (точка хе, разумеется, должна быть выбрана так, что асходяцвй вз нее луч попадает в точку х); кроме того, то = — А(хе> 4о) = -А(хе, 0 (хе)) = — А(х(1), ((1)) 05з (зто означает, что соответствующая бихарактеристика гамильтовиана Н(1, х, т, С) лежит на Гя).
Итак, мы имеем 8(1, х) = ое(хе) + Ыох - Авй), (11.21) 246 $11. ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ И КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ где интеграл от формы (со(х — Ай) берется вдоль такой траектории гамильтоновой системы с гамильтонианом А, что ее проекция соединяет хе и х. Вместо (11.21) можно также написать О'(с *) = зе(*е)+ Йпс, (11.21') где Ь = сй — А называется лагранжиаяоло, соответствующим гамильтониану А, а интегрзл опять берется вдоль траектории. Формулы (11.21) и (11.21') показывают, что функция Я аналогична функции дебсшвел классической механики (переменная С 6 И" играет роль импульса). Таким образом, волновые фронты являются поверхностями уровня функции действия. Мы не будем углубляться дальше в теорию уравнения Гамильтона— Якоби и ее связи с механикой и геометрической оптикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
