Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(10.7) (10.8) Если функция и 6 С (й ~ Г) является гладкой вплоть до Г с каждой стороны, то она однозначно определяет такую обобщенную функцию [и] 6 Э'(й), что [и] 6 Ь[„(й) и [и]] ~. — — и. Мы хотим сейчас научиться применять к [и] дифференциальные операторы с гладкими коэффициентами. Договоримся употреблять обозначение [и] только в случае, когда и — гладкая вплоть до Г с каждой стороны. Выбрав произвольную точку хе 6 Г, мы можем в некоторой окрестности У этой точки построить диффеоморфизм, превращающий Г в часть гнперплоскости (х: х„= О). Здесь х = (хы ..., х„ы х„) = = (х', х„), где х' = (хы ..., х„1) 6 )Йв 1.
Этот диффеоморфизм индуцирует замену переменных, превращающую дифференциальный оператор в другой дифференциальный оператор того же порядка (см. $1). Таким образом, достаточно рассмотреть малую окрестность У точки 0 6 К" и при этом можно предполагать, что координаты выбраны так, что 225 10.2. Функции, гллдкив вплоть до гглннцы Доказательства. Для любой функции др Е З(1 д) (дь1 ) ( дд ) / до / .зо .<о оо о =-/ *~/~чому ../~о —" .~= о Оо ~ д" 1дь)о*д/ ° ( ° ', о)д~ ', о)д,' — / ь' о)д~ ', о)дд = =/1 — ~ * 1дхдд1 = (('" ~, д) + /д.(д) д(*', О)Ь, Ф-1 аь(х )ход + ход а(я)(х д хдд)д (10.9) о=О С (дд) (здесь Ъ' — некоторая окрестность Г)и а(х, х„) где ал 6 С (Г), адлд) 6 1 6"а "(*') = -„, †, !. . "' хй *"-' хй О Лемма 10.2..Есле ф 6 С" (Г), шо а(х)(4~(х') Эб(х„)) = [ао(х')д/д(х')) Эб(х„), (10.10) (10.11) а(х) (Ед(х') З б'(х„)) = (ао(х') Ф(х')) Э б'(х„) — (а1 (х') д/д(х')1 ® б(х„).
что дайт формулу (10.6). Формула (10.7) получается повторным применением формулы (10.6), а формула (10.8) выводится из (10.6), если заметить,что '— ." = У1 как видно нз интегрирования по частям по переменной х . Пусть теперь а е С (й), а = а(х', х„). Нам надо научиться умно- (10.6)-(10.8), на гладкие функции. Для этого прежде всего напишем разложение Тейлора функции а(х', х„) по х„вблизи х„= О. Оно имеет вид 226 510. Свойстве поткнциллов и нх вычислвннв Доказательство. Ясно, что аь(х) хь (Ю(х') З у(х„)) = (аь(х') ф(х~)] З [х~ У(х„)1 для любой обобщенной функции У Е З'(Ж). Далее, а< ч1 (х', х„)х„(Ф(х ) З Дх„)) = а~лО(х', х„) (ф(х) З х„~(х„)). Прямое вычисление показывает, что х'„'б~ь1(х„) = 0 прн р > й, х„б'(х„) = — б(х„), так что учитывая представление а(х', х„) в виде (10.9), мы немедленно приходим к (10.10), (10.11). Лемма 10.3. Для любого набора Функций Фо, Фы ...Ф~ч Е С (Г) существует такал Функция и е С (й ~ Г), гладкая вплоть до Г с код"и ледой стороны, апо фь есть скачок производной — „на Г длл любого дхо й = О, 1, ..., Ф.
Доказательство. Мы можем взять, например, в описанных'вьппе локальных координатах (х) = Е Х14 (х"„)д( ), где д(1) — функция Хевисайда. Лемма 10.4. Пусть обобщеииол у1ункцня у Е 21'(й) имеет внд /(х) = (/о(х)1 + Ьв(х') З б(х„) + Ь1 (х') З б'(х„), (10.12) где Ьо, Ь1 Е С (Г).
Пусть А — такой линейный дн44еренцнольиый оператор второго порлдка, что поверхность Г всюду нехарактернстнчиа длл А. Тогда длл 1юбого целого Ж > О существует такал функция и, определенная в окрестности й' гаперповерхности Г в й, что А[и) — у е С~(й'). (10.13) Доказательство. По лемме 10.3 дело сводится к выбору функций ~до, Ф1 ° °, Флч-з Е С~(Г), являющихся скачками нормальных производных функции и.
Из лемм 10.1 и 10.2 ясно, что обобщенная функция А(н] = У также имеет вид (10.12) (быть может, с другими уо, Ьо, Ь1). Мы должны подобрать скачки фо, Юы ..., бЧч+з таким образом, чтобы 10.2. Огункции, глядкие ВплОть до ГРАницы 227 дУо дУо скачки производных — „и — о на Г совпадали при й = О, 1, ..., Ф М М (отсюда очевидным обрезом вытекает, что У вЂ” У с С~(й), к чему мы и стремимся).
Заметим прежде всего, что нехарактернстичность Г по отношению к А означает, что оператор А может быть представлен в виде дг А = а(х) — г + А', дхг дг А= — г+А (10. 14) дх2 где А' — дифференциальный оператор второго порядка, не содержад2 щий — у. дх„ Начнем с выбора такой функции ио, что А[по) = [Уо(х)~ + 6о(х') Зб(х )+62(х') ®б'(х ), где Уо — любая функция (гладкая вплоть до Г с каждой стороны), 6о е С (Г).
Нз лемм 10.1 и 10.2 ясно, что для зтого достаточно взять гбо( ) (х') = 62(х'), где гас( ) — скачок функции ио на Г. Теперь мы можем переписать (10.13) в виде А[и — ио) = [У21 + 62(х') ® б(х„) (10.15) с некоторыми У1 и 6г, где 62 Е С (Г). Теперь выберем такую функцию и» что А[нг] = [Уг) +6г(х') Эб(х„), где 62 — такое же, как в (10.15), а Уг произвольна. Если (6о и (62 (2) (2) днг скачки функции иг и — на Г, то достаточно выполнения соотношедхо ний 26(» = О, 26'»(*') =6 (*')- д2 где а е С" (й), а(х', 0) )6 О, А' не содержит —,. Поскольку а(х) ~ 0 в дх„ окрестности гиперповерхности Г, мы можем разделить (10.13) на а(х) и свести дело к случаю а(х) гн 1. Следовательно, мы можем предположить, что 228 э10.
Свойств» пОтенЦиАлОВ и их Вычисление Полагая бэ = и — ие — иы мы видим, что условие (10.13) для и может быть сформулировано в терминах йэ как А[йг] — Щ Е С (й~), (10.16) А[0<»+2~1 — [уз] Е С» '(йв), (10.17) где й — неотрицательное целое число (при й = 0 зто сводится просто к условию п(21 с С (й ), т.е. к отсутствию скачков функций н(л1 и— 1 в бэ(г) дхи на Г).
Выберем такую функцию и(»+эр что А[и(»+з>3 — [721 Е С (й~) (10.18) Для этого паюжим вв»+з1 = ив»+21 + и»ээ, где и»+э 6 С» ы(й') (это нужно для сохранения (10.17) при замене и(»+э> на н(»+»1). Ясно, что А'[н»+з] Е С" (й'), откуда следует, что (10.18) сводится к соотноше- нию бг -[Ь]~С (й~), хй где Д = — (А[ив»+21] — [уз]) с С» '(й'). Этого можно добиться, поло- жив, например, чтобы скачки й-х производных функций и Д на Г совпали. . д [э»+э] бхй Таким образом, мы доказали возможность провести индукцию по вв', что завершает доказательство леммы.
где функция уэ является гладкой вплоть до Г с каждой стороны. Мы докажем возможность такого выбора кэ индукцией по в"в', начиная с М = -1, где С '(Йв) означает просто множество все< функций, гладкнх вплоть до Г с каждой стороны. Предположим, что мы уже выбрали такую функцвю йв»+яр что 10.3. Спячки потвнцньлов 229 10.3. Скачки потенциалов Теперь мы можем доказать основную теорему о скачках потенциалов.
Теорема 10.5. 1) Пусть и — один из потенциалов (10.3)-(10.5). Тогда и является функцией, гладкой вплоть до Г с каждой стороны. 2) Если и — объемный потенциац то и к С~(Кн). 3) Если и — потенциал простого слоя, то и й С(К"), а скачок ди производной = на Г равен — о, где о — плотность заряда на Г, определяюи4ая и.
4) Если и — потенциал двойного слоя, то скачок и на Г равен (-о), где о — плотность (диполей) на Г, определяюи4ая и. Доказательство. По лемме 10.4 мы можем длл каждого из потенциалов найти такую функцию ик, гладкую вплоть до Г с каждой стороны, что Ь [им]+ / 6 С~(К" ) (здесь 1 — такая же обобщенная функция, как в 4юрмуле (10.1)). Следовательно, Ь(и — ик) = ~к е С~(К").
Выведем отсюда, что и — им 6 Со (К"). Без ущерба для общности мы можем предположить, что ии и ~к имеют компактный носитель. Нотогдаьь(и — ик — с„ьДк) = О,откудаи — ик — с„ь1к к С' (Кв). Вто же время легко видеть, что с„* Д» 6 С (К"), поскольку представляя зту свертку в виде интеграла 8 (у)Ук(х — у)ду, мы можем Ж раз дифференцировать по х под знаком интеграла. Итак, и — ик е С~(К"). Отсюда производные У"и с ~а~ < Ж непрерывны вплоть до Г с каждой стороны. Поскольку Л провзвольно, мы получаем первое утверждение теоремы. 2) Пусть и — объемный потенциал. Ясно, что ик й С (К" 1Г).
В окрестности каждой точки гиперповерхности Г мы можем выпрямить Г и использовать уравнение Аи = -/, получаемое заменой переменных вз уравнения Ьи = — /. Поскольку оператор Ь эллиптичен, оператор А тоже эллиптичен, так что Г нехарактеристична. Но тогда из включения 1 к Ь~'„(К") и лемм 10.1, 10.2 вытекает, что ик й С'(К") (если бы это было не так, то применение формул (10.6) — (10.8), (10.10) и (10.11) привело бы к появлению сингулярной обобщенной функции типа йв(х') ® б(х„) или Фо(х') Е б'(х„) в правой части уравнения Аи = -у). 3) В окрестности точки хв е Г можно так ввести новые координаты (х', х„), что ~х„, ~ — расстояние от точки (х', х„) до Г по нормали к Г. ззо $10.
Свойства потенциалов и их вычисление д дз д дз Тогда — и — превращаются в — и — и утверждения 3) и 4) выди днз дха дхз, текают из лемм 10.1, 10.2 и уравнения Ьи = — ~, которое превращается в Аи = — у, где А имеет вид 10.14. Замечание. Аналогичным образом можно найти скачки любых производных рассматриваемых потенциалов. 10.4. Вычисление потенвиаопв Мы приведем здесь простейшие примеры явного вычисления потенциалов. Такое вычисление в рассматриваемых примерах становится возможным с помощью следующих средств: а) соображения симметрии; б) уравнение Пуассона, которому удовлетворяют потенциалы; в) теоремы о скачках; г) асимптотика на бесконечности. Как правило, из рассмотрения всех этих аспектов мы получаем даже избыточную информацию, позволяющую проверить результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
