Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ВАРНАЦионныв пРинЦипы Предложение В.В. ХХмеют место формулы Л1 = ппп РНО(АПО (У Ф) ЬСО(А) РЕЬ~.~О (Ф У) вии с=о (8.40) (8.41) ) =1,2, Если А — рвсширение по Фридриясу оператора Ао, 1по заменив п1ах на епр и ппп ив 1ПХ, можно вместо внлюченил ~о В Р(А) 10 и Е С Р(А) писвть у Е Р(Ао) 10 и Х С Р(Ао) соотвеп1ственно. Доказательство.
Докажем формулу (8.40). Если ~о = 1 ~, слрээ у и Е Р(А) (т.е. 2 . )с ~зЛВ < +со), то (Ау, у) = 2 1Л~!с~!э, (у, ~р) = (су(~. Поэтому (Ар, д) = ~Л~~ср!~ > Л1 ~~ (ср~~ = Л1(~р, у), уьа 1=1 Вернемся к собственным значениям оператора (-Ь) в ограниченной области й С й". Будем обозначать их Л (й), у = 1, 2, ..., а их функцию распределения Хэ'(Л) — через Жо(Л). В нашем случае Р(Ао) = З(й). Пусть теперь даны две области й1 и йэ, причем й1 С йэ. Тогда З(й1) С С З(йэ) и из предложения 8.5 следует, что МП1(Л) ( МП2(Л)Ф (8.42) поэтому Л (й1) > ЛХ(йэ),,у = 1, 2,...
(8.43) причем равенство достигается при ю = 1эм Отсюда и следует (8.40). Докажем (8.41). Пусть Ф вЂ” подпространство, натянутое на ~рм ..., у . Беря Х = Фо, мы видим, что правая часть (8.41) не меньше левой. Теперь нужно проверить, что правая часть не больше левой, т.е. что если Х С С Р(А), с1пп Ь = у, то существует такой ненулевой вектор ю 5 Х..", что (А~р, <р) ( лх+1(~о, ю). ыо как и в доказательстве предложения 8.5, легко проверить, что Фо+1 ПХ".
ф 0 (если бы оказалось, что Ф1~ 1 ПХ~ = О, то ортогональный проектор на Х мономорфно отображал бы Ф +1 в Х, что противоречит тому, что йип Ф +1 = у + 1 > у = бпп Х). Поэтому можно взять ~р б Фо+1 П Х.~, ~р ф 0 и тогда ясно, что (Аю, <р) ( Л1+1(~о, ю). Последнее утверждение предложения 8.6 проверяется так же, как в предложении 8.5. 192 88. Совственные знАчения и сОБстВенные Функции Собственные функции и собственные значения явно находятся, когда область П есть прямоугольный параллелепипед. Пусть он имеет вид П=(О,ад) х ... х(0, а„). Легко проверить, что собственные функции имеют вид йгявг . й„ггх„ вгвь,»„= св,,л„в1п ... Бш аг а„ где йг, ..., й„— натуральные числа, св, „А„— нормировочные посто- янные. Собственные значения имеют вид: Функция Лп(Л) в нашем случае равна числу точек вида ~ —, ...
уйггг 1аг' ..., — ) й Й", лежащих в замкнутом шаре радиуса Л с центром й»ЯЛ а„/ в точке О. Разрешая числам йг принимать любые целые значения, мы Уйггг йвггт получим, что точки ~ —, ..., — ) пробегают в 11а решетку, получаемую очевидными растяжениями из целочисленной решйткн. Легко проверить, что Мп(Л) при болыпнх Л оценивается с двух сторон через объем шара радиуса ~/Л, т. е. (8.44) где с, С вЂ” положительные постоянные.
Теперь заметим, что мы можем поместить в Й небольшой кубик и, наоборот, вложить й в достаточно большой куб. Учитывая (8.42), мы видим, что неравенства (8.44) верны для любой ограниченной области й. На самом деле, уточнял зти рассуждения, можно доказать следующую асимптотическую формулу Г.
Вайля." Мп(Л) (2гг) "аг шеей. Л"гв, Л -+ +Со, (8.45) где аг„— объем единичного шара в К', шев й — лебегов объем й. Задачи 8-1. Пусть П вЂ” ограниченная область в 11гг с гладкой границей. Пусть | — самосопряженный оператор в 1~(й), определяемый оператором Лапласа в области П с граничными условиями Дирихле. Функцией ЗАДАЧИ 193 Грима оператора Лапласа в Й называется ядро (в смысле Шварца) оператора А. 7, т.е. такая (обобщенная) функция С(х, д), х, д Е Й, что А "7(х) = С(х, д)~(д)72д. Доказать, что Ь»С(х7 д) = б(х — д), С1»сна = О, и что С однозначно определяется этими условиями. Дать физическую интерпретацию функции Грина.
8-2. Выяснить, какую особенность имеет функция Грина С(х, д) при х = д 6 Й. 8-3. Доказать, что функция Грина симметрична, т. е. С(х, д) = С(д, х). 8-4. Доказать, что решение задачи ААМ =,Г, и~ = 97 в области Й записывается через функцию Грина формулой: и(х) = С(х, д)у(д)7(д — е7(д) ' " ИЯю где а„— внешняя нормаль к границе в точке д, И߄— элемент площади границы в точке д.
8-5. Функцией Грина оператора Лапласа в неограниченной области Й с К" будем называть такую функцию С(х, д), х, д Е Й что Ь,С(х, д) = 6(х — д), С~ „= О и выполнено следующее условие на бесконечности: С(х, д) -ч О при ~х~ -ч +ос (при фиксированном д Е Й), если и > 3, С(х, д) ограничена при ~х~ -~ +со и при фиксированном д Е Й, если и = 2. Найти функцию Грина полупространства х„> О. 8-8. Пользуясь результатом предыдущей задачи, написать формулу для решения задачи Дирихле в полупространстве х„при и > 3.
Решить эту задачу Дирихле также с помощью преобразования Фурье по х' = = (х7, ..., х„7) и сравнить получившиеся результаты. 8-7. Найти функцию Грина круга в Н~ и шара в И". 8-8. Написать формулу для решения задачи Дирихле в круге и шаре. Вывести отсюда формулу Пуассона из задачи 7-2 (при п = 2). 8-8. Найти функцию Грина полушара. 7 Ш»б»» МА 194 $8. Совстввнныв знячвния и совстввппыв ьхнкцин 8-10. Найти функцию Грина четверти пространства Нз, т.е. области ((хд> хз> хз): хз > О, хз > О) С Из.
8-11. Функция Бесселя,У>,(х) задана рядом ( цз ~.,~и+ой Л~-~ 1с!Г(Й+и+1) ~2/ з=о Доказать, что если п б Е~, то,у „(х) = ( — 1)" У„(х). 8-12. Доказать, что если и с Е~., то уравнение Бесселя з р" + -'д'+ (1 — — ",) д = О наряду с решением у„(х) имеет решение вида 1пх ° х "~ сзхз, со фО.
я=о 8-13. Доказать, что разложение функции е1(~ ' ) в ряд Лорана по з (при 1 16 О, со) имеет вид ей(' >) = ~~,>„(х)з". 8-14. Доказать, что разложение функции е'*"" и в ряд Фурье по ~р имеет вид е>ям" е = .Уо(х) + 2 ~~> ~Хз»(х) сов 2п>>о+ з>>з» ~(х) зш(2п — 1) у~. »=1 8-1$. Найти собственные значения и собственные функции оператора Лапласа в прямоугольнике. Доказать, что полученные таким образом функции составляют полную ортогональную систему. 8-16.
Пусть й н Е+ и азл < сц,з < ... все нули функции Бесселя ,>ь(х) при х > О. Доказать, что н 7а( — '" г) Уз( — ''" т) гйг = О, т ф и. т о 8-12, Используя результат задачи 8-16, найти полную ортогональную систему собственных функций оператора Лапласа в круге. 8-18.
Описать схему решения методом Фурье задачи Дирвхле в прямом круговом цилиндре (конечной высоты). $9. Волновое уравнение 9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению Существует много физических задач, приводящих к волновому ура- внению ии — — а Ьи, (9.1) где и = и(1, х), с е К, х е К", Ь вЂ” лапласиан по переменным х. Часто встречается также более общее неоднородное уравнение исс = а'Ьи+ У(С, х) (9.2) с(1чЕ = —, Р ао дВ госЕ = —— дс 1 с(Ь В = О, сзгоФВ = — + —. 3 дЕ еа дс ' (М1) (М2) (МЗ) (М4) Здесь Е,  — векторы напряженности электрического и магнитного полей (это трехмерные векторы, зависящие от с и от х, х е Кз), р — скалярная функцвя от с и х (плотность электрических зарядов), 1 — трехмерный вектор плотности электрического тока, также зависящий от Ф и от х (если заряды, имеющие в данной точке и в данньш момент времени плотность р, движутся со скоростью и, то 1 = рв.
Числа с, еа — универсальные постоянные, зависящие от выбора системы единиц — скорость света и сдиэлектрическая проницаемость вакуумаэ, Мы уже видели, что малые колебания струны подчиняются уравнению (9.1) (при и = 1), а при наличии внешней силы — уравнению (9.2). Можно показать, что малые колебания мембраны удовлетворяют аналогичным уравнениям, если под и = и(с, х), х е К, понимать вертикальное смещение мембраны от положения равновесия.
Аналогично, при малых колебаниях газа (звуковых колебаниспс) его параметры (например, давление, плотность, смещение частиц газа) подчиняются уравнению (9.1) (с п = 3). Важнейшим примером, в котором уравнения вида (9.1) и (9.2) играют важную роль, является электродинамика. Остановимся на этом несколько подробнее. Уравнения электродинамики (щсааиеиил Максвелла) имеют вид 59. Волновов угавннннв 196 Уравнения Максвелла следует для их приложений дополнить формулой для силы Лоренца — силы, действующей на движущийся заряд. Эта сила имеет вид Е = 9(Е+и х В), (М5) где д — величина заряда, и — его скорость, а косой крест означает векторное пронзведение.
Формула (Мб) может служить для экспериментального измерения цолей Е и В (или, если угодно, для определения их как физических величин). Обсуждение экспериментальных фактов, лежащих в основе уравнений (М1)-(М5), можно найти в учебниках физики (см., например, [52, книги 5 и 6)). Преобразуем уравнения Максвелла, введя скалярный и векторный потенциалы ~Р и А. А именно, из уравнения (МЗ) следует, что В = го$ А, где А — векторная функция от 1 и от х, определенная с точностью до такого поля Ае, что гоВАе = О, т. е. поля Ае = 8табф, где ф — скалярная функция.
Подставляя выражение В = го1 А в уравнение (М2), дАт дА мы получаем, что го1(Е + — ~ = О, откуда Е + — = — 8габу, где у — скалярная функция. Итак, вместо уравнений (М2) и (МЗ) можно написать: В = го1А, дА Е = — 8гаоф — —.
д1 (Мб) (М7) Вектор-функция А называется еектпорным пошеициалом, а скалярная функция <Р— скалярным пошеицвалом. Заметим, что уравнения (Мб) и (М7) не определяют потенциаиж А и у однозначно. Мы можем, на- пример, не меняя полей Е и В, заменить А на А' и у на ~р', где дМ( ~Р = ~Р д1 А' = А + 8габ ф, (М8) (это преобразование потенциалов называется калибровочным преобразоваяием). Можно использовать преобразование (М8) для получения более простых уравнений на потенциалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
