Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При этом из симметричности А вытекает симметричность оператора А 1. Из (8.14) вытекает и ограниченность оператора А 1. В самом деле, если и 6 .Р(А), то мы имеем: [[и[[~ ( е '(Аи, и) < я 1[[и[[ [[Аи[[, откуда [[и[[ ( я '[[Аи[), и 6 Р(А). Полагая и = Аи, мы получим: )[А 'е)[(я '[[е[[, и 6 Р(А 1), что н означает ограниченность оператора А 1. Проверим, наконец, что Р(А 1) = Я, т.е. что йп А = Я.
Мы хотим доказать, что если Х 6 Я, то существует такое и 6 Р(А), что Аи = Х. Но это означает, что и 6 Я1 ОР(Ао) и Аои = Х, т.е. (8Л5) (Аоу, и) = (у, Х), у 6 Р(Ао)- Учитывая (8.13), мы можем переписать это тождество в виде [у, и) = (~р, У), у 6 Р(Ао). (8.16) Теперь из теоремы Рисса ясно, что для любого у 6 Я существует такое и 6 Яы что выполнено тождество (8.16). Остается провернть, что и 6 Р(Ао). Но зто ясно из того, что благодаря (8.12) мы можем наоборот переписать (8.16) в виде (8.15), что и требовалось.
Теорема 8.3 доказана. 8.3, Дискгвтность спнктгя в огелничвнной овллсти 179 Перейдем теперь к рассмотрению конкретного примера, который служил для нас моделью. Пусть Ао — оператор ( — Ь) на З(й), где й — ограниченная область в К". Как мы уже видели, сопряженный оператор Ао переводит и в ( — Ьи), если и б 1.~(й) и Ьи Е Ь~(й) (оператор Ь применяется здесь в смысле теории обобщенных функций). В силу нераненства Фридрихса оператор Ао положителен, т. е. выполнено (8.7). Построим расширение по Фридрихсу оператора Ао.
Это такой оператор А в Ьи(й), что А, С А С А*, Р(А) = Н~(й) О Р(А;~), (8.17) т. е. Р(А) = (и: и Е Й(й), Ьи Е Ь~(й)). (8.18) По теореме 8.3 оператор А самосопряжен и положителен. Он называется обычно самосопряженным оператором в .т и(й), определяемым дифференциальным оператором ( — Ь) и граничными условиями Дирихле и~ „= О. Оператор А т всюду определен и ограничен. 8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограиичюной области Теорема 8.4. Оператор А, определяемый в Хи(й) даффереииаольаым оператором (-Ь) а ироничными условиями Дирихле, имеетп дискретный спектор.
Точнее, в Ьи(й) имеетоя ортоиормировонный бозио аэ собственных фуикиий тдэ (т' = 1, 2, ... ), тР1 Е Н'(й), ( — Ь)тРУ = Ать~", пра этом А. -+ +со при,у -+ +со. Доказательство. Сделаем вначале общее замечание о расширениях по Фридрихсу. Пусть Ао — положительный симметрический оператор, А — его расширение по Фридрихсу, Я1 — гильбертово пространство, полученное пополнением Р(Ао) по норме )Щ = (Аоот, у)т'з. Поскольку Р(А) С Яы то оператор А т отображает Я в Ню Докажем, что оператор А т, рассматриваемый как оператор ю Я в Нм непрерывен. Это проще всего вывести ю теоремы о замкнутом графике.
А именно, нужно проверить, что оператор А ': 'Н -+ Ят имеет замкнутый график, т. е. что ю условий ~оь -ь у в Н, А ~уь — > 7' в 'Ны вытекает, что А '~р = 7'. Но ю этих условий в силу непрерывности вложения Ят С Я следует, что А ~уь — ~ У в Н, а в силу непрерывности операто- раА ':Я-+ЯмыимеемА т~рь-+А трвЯ,откудаА тр=У,что н требовалось. 180 $8. Совстввнныв знлчвния я совстввнныв ехнкцвв Вернемся к нашей конкретной ситуации.
У нас 1(1 = Н1(Й), оператор вложения Н1(Й) С Ь~(Й) не только непрерывен, но ы компактен. Поэтому оператор А 1: Ьз(Й) -+ .У(Й), являющийся композяцией непрерывного оператора А ': 1Р(Й) -+ Н'(Й) ы компактного оператора вложения Н~(Й) с УР(Й), сам лвляется компактным самосопрлжевным оператором. По теореме Ральберта оператор А 1 имеет в ХР(Й) ортонормярованный базис из собственных функций ч)ю фз, ... ..., причем если р) — собственные значения, т.е. А 1Ф) = (и)Ф), то р -+ 0 при )' -+ +со. Отметим, что нуль не является собственным значением оператора А 1, поскольку яз опре)(еления А э лспо, что Кег А 1 = О.
Далее, условие А 'ф) = р)ф можно переписать в виде ч)) = р)Аф) нли Аф~ = Л)ф) где Л) = р '. Из положительности оператора А вытекает, что Л > О, а ыз условны р) -+ 0 следует, что Л) -+ +со при у -+ +со, что ы требовалось. 8.4. <Рундамеитальиое реиевие оператора Гвяьмгояьца в аваяитчгиюеть собственных функций оператора Лажяаса во внутренних точках области. Уравнение Бесселя Мы хотим доказать аналитичность собственных функции оператора Лапласа внутри областя. Поскольку собственные значения положительны, то достаточно доказать зналнтычность любого решения и 0 '1)'(Й) уравнения Ьв+йзи=О, й>0, (8.19) называемого уроеыеывем Гельмеольва Мы найдем явно фундаментальное решение оператора Гельмгольца Ь + йз.
Обозначим это фундаментальное решение через бе (х). Если окажется, что 8„(я) авалячично (ь) (ь) пры я )4 О, то любое решение и б '1У(Й) уравнения (8.19) будет аналитично в Й (см. $5, теорема 5.9). Учитывая, по оператор Ь + йз перестановочев с поворотами, естественно искать сфервчески симметричное фундаментальное решение. Пусть 8 (я) = у(г), где г = (х~, при х )е О. Тогда у(г) пры г > 0 (ь) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравненшо у" (г) + — у'(г) + й у(г) = 0 (8.20) (см. вычисление ЬДг) з $4, пример 4.10). Ясно, что для получения фундаментального решения надо ванты решение ~(г), имеющее пры г -+ +О 8.4. Фь ндлмвнтлльнов гвшвнив опвглтогл Гвльмгольцл 181 ту же особенность, что и фундаментальное решение Я„(х) = 8 (х) <о) оператора Лапласа.
Например, если окажется, что мы нашли такое решение Дг) уравнения (8.20), что у(г) = 8а(г)р(г), р Е С ((О, +со)), р(0) = 1, (8.21) то дословное повторение проверки того, что ЬЯ„(х) = б(х), приводит к тому, что (Ь+йя))'(!х~) = д(х). Мы сведем (8.20) к так называемому уравнению Бесселя. Это можно сделать даже для значительно более общего уравнения у "( ) + -„у'(г) + (й«+ —,) у(г) = О, (8.22) где а, )у, й — произвольные вещественные (или даже комплексные) по- стоянные. Уравнение (8.22) можно зависать в виде г'~Я(г) + агу'(~ ) + ()У+ йзгз) У(г) = О. Здесь три члена из четырех составляют оператор Эйлера яз Н Ь = 㫠— +сп — +)3, 8г« Иг Дг) = г «(г).
(8.23) ~'(г) =г «'(г)+мг 4«(г), ~в(г) = г~'«я(г) + 2мг «'(г) + м(м — 1) г" «(г), и после подстановки в уравнение (8.22) и деления на г" мы получаем для «(г) уравнение «"(г) + — «'(г) + ~йз + ~ «(г) = О. (8.24) примененный к у. Но оператор Эйлера перестановочен с гомотетиями прямой и имеет функции г" при любом к 6 С своими собственными функциями (замена переменной г = е переводит оператор Эйлера в оператор, перестэновочный со сдвигами по 1, т.е.
в оператор с постоянными коэффициентами). Поэтому естественно сделать в (8.22) следуимцую замену неизвестной функции 182 $8. Совотвенные знАчениЯ и соественные ФУнкЦии Мы можем распорядиться параметром и по своему усмотрению. Первое, что приходит в голову — взять и = — —, чтобы исчезло «'(1 ). 2' Тогда мы получим уравнение вида яя(г) + й~+ — 2(г) = О.
(8.25) Из (8.25) легко получить, что при й ~ О решения 2(г) этого уравнения при г -+ +со ведут себя так же, как решения уравнения и" (г) + йзи(г) = О. 21(г) = гйп Ь + 0 ( — ), 22(г) = сов Ь + 0 (-) . (8.26) Это можно доказать, перейдя к интегральному уравнению аналогич- но тому, как мы это делали при нахождении асимптотики собствен- ных функций и собственных значений оператора Штурма — Лиувнлля. А именно, перепишем уравнение (8.25) в виде 2 (г) + Й 2(г) = — 22(г) и будем искать 2(г) в виде 2(г) = С1(г) совйг+ Сз(г) в1пЬ'.
В соответствие с методом вариации постоянной для функций С,(г) по- лучаются уравнения < С,(г) сов ег+Св(г) счпЬ = О, — ЙС1(г) вш йг+ ЙСз(г) сов йг = — — 2(г), г Точнее, пусть, например, й > О (нам наиболее важен этот случай). Тогда существуют решения 21 (г) и 22(г) уравнения (8.25), имеющие при г -+ +ос асимптотики: 8А. Фьндлмвнтлльнов гашении опввятовя Гвльмгольцл 183 из которых получаем С1(г) = А+ I — Рх(р)йр, гю Сх(г) =  — — х(Р)ЙР. рх я х(г) = Асолйг+Вл1пЬ + — ~ — л1пй(г — р)х(р)йр, (8.27) с 1 1 ~,/ г г являющееся интегральным уравнением относительно х(1 ).
Перепишем его в виде (1 — Т) х = А сол Ь' + В л1п Ь, где Т вЂ” интегральный оператор, переводящий х(г) в последнее слагаемое в (8.27). Рассмотрим зто уравнение в пространстве Сх([ге, +со)) ограниченных непрерывных функций на (ге, +со), где гс ) О. Пусть Йхй = лпр)х(г)). Тогда ясно, что г>гг 8Тх8 < — 1 — с(р8х8 = — ЙхЙ, Если гл Достаточно велико, то бТЙ < 1 и интегРальное УРавнение (8.27) разршпимо. Но его непрерывные ограниченные решения являются ре- шениями уравнения (8.25), причем если х(г) — такое решение, то ~ х(г) — А сол йг — В лш Ь ~ < С ~ — др = —, 1 С р 1 г т. е. при г -Ф +со х(г) = А сох йг+ Вл!и йг+ О(-).
(8.28) Мы хотим добиться того, чтобы было С1(г) -+ А и Сх(г) -э В при г -+ +со. Но тогда естественно взять гс = +со и написать для х(г) выражение 184 $8. СОБСТВЕнныЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТБЕННЫЕ ФУНКЦИИ г1 лн(г) + -г'(г) + ~й~ — — ~ г(г) = О. (8.30) Положим еще г = й гх нли х = йг. Вводя х в качестве нового независимого переменного, мы получим вместо (8.30) уравнение для 'функции у(х) = г(й 'х) (нли г(х) = у(йх)); г~ у"(х) + -у'(х) + 1 — — ~ у(х) = 0 (8.31) (здесь вицественную переменную х > 0 не надо путать с ранее использовавшимся х Е К" ).
Уравнение (8.31) называется уравнением Бесселя, а его решения называются Ннлнндрическнма Функвнлмн. Цилиндрические функции возникают при нахождении собственных функций для оператора Лапласа в круге, а также при решении задачи Дирихле в круговом цилиндре конечной или бесконечной высоты (отсюда термин «цилиндрические функцииэ).
Ликвидируя, как мы делали выше, у'(х) в уравнении (8.31), мы видим, что любая цилиндрическая функция имеет при х -г +оо асимпто- тику у(х) = — зш(х — хе) + О (-) . А У1т ~/х х (8.32) Кстати, подставляя все параметры, мы видим, что уравнение (8.24) 1 в нашем случае (при а = 1, и = --, Й = 1, ф = — й) имеет вид 23 Итак, при любых А и В уравнение (8.25) имеет решение с асимптотикой (8.28). В частности, имеются решения г1(г) и гг(г) с асимптотиками (8.26).
Ясно, что они линейно независимы. Асимптотику (8.28) можно также записать в виде г(г) = СБ1пй(г — гс)+ О (-), (8.29) откуда видно, что если г(г) вещественно (зто так, например, если все используемые постоянные вещественны), то решение г(г) имеет бесконечно много нулей, ведущих себя при г -+ +со приблизительно так же, как нули функции Бш й(г — тс). Вернемся к уравнению (8.24) и теперь выберем параметр х так, чтобы получилось а + 2м = 1. Тогда мы получим для г(г) уравнение вида 8.4. Фундлмкитлльнок гкшкннк опкглтогл Гельмгольца 185 д(х) = — (Асоех+ Вешх), 1 ~/х В частности, мы можем явно решить при и = 3 уравнение (8,20), возникающее нз уравнения Гельмгогъца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
