Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Например, используя свободу, даваемую преобразованием (М8), мы можем получить любое значение 6(я А' = Йя А + Йт 8габ ф = 6Ь А + Ьф, поскольку с помощью решения уравнения Пуассона Ьф = а(1, х), можно добиться любого значения Ь15 и, следовательно, 61т А. 9.1. Физичвокив задачи д/ дА ~,> сз го1 гоо А — — ~ — 8гаг( ~о — — ! = —. дг дг яо' Используя легко проверяемое тождество гоггогА = раб(йтА) — ЬА (лапласиан справа применяется покомпонентно), мы получаем из по- следнего уравнения — сзЬА + сз рог((йтА) + — 8гаду+ — = —. д дЯА д$ доз оо (М10) А теперь выберем йт А, пользуясь калибровочным преобразованием, так что йтА = — — -~. сз дГ' (М11) Точнее, пусть вначале даны какие-то потенциалы ~о', А', мы хотим так подобрать функцию ф в калибрсюочном преобразовании (М8), чтобы у и А удовлетворяли условию калибровки (М11).
Но зто дает для функции ф уравнение вида (М12) где д — известная функция. Мы получили неоднородное волновое уравнение. Предположим, что мы решили зто уравнение и, найдя функцию ф, получили потенциалы у и А, удовлетворяющие условию (М11). Тогда второй и третий члены в (М10) исчезнут и мы получим —,— с ЬА= —, дА з дг~ ео (М13) а уравнение (М9) приобретает вид — ~- 'А9 = — '".
дг~ ео (М14) Получим уравнения на А и ~о, используя два оставшихся уравнения Максвелла. Подставляя выражение Е через потенциалы в (М1), получим д — А~о — — йчА = Р. (М9) дг оо Подставляя Е и В в уравнение (М4), мы получаем 99. ВОлНОВОе уРАВНение 198 Таким образом, мы можем считать, что потенциалы ~р и А удовлетворяют неоднородным волновым уравнениям (М13), (М14), которые вместе с условием калибровки (М11) равносильны системе уравнений Максвелла. Калибровка (М11) называется калаброокой Лорекаа. Обозначим через 0 волновой оператор (или даламбертиан) дг П = — — его, дгг (М15) и пусть 0 г означает оператор свертки с каким-нибудь фундаментальным решением этого оператора.
Тогда П ~ перестановочен с дифференцированиями. Предположим, что П ~1 и 0 ~р имеют смысл. Тогда потенциалы А = П вЂ” и ~р = С1 — удовлетворяют уравнениям 1с р со со (М13) и (М14). Но будет ли выполнено условие калибровки Лоренца? Подставляя найденные А и у в (М11), мы видим, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда — +61У5 =О.
др дг (М16) Но это условие означает сохранение заряда. Таким образом, если имеет место сохранение заряда, то решение уравнений Максвелла можно найти, если уметь решать неоднородное волновое уравнение. Преобразование уравнений Максвелла к виду (М13), (М14) позволяет легко увидеть инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Лоренца, т.е. линейных преобразований пространства- времени 11~, сохраняющих метрику Минковского злгг л г лвг лзг 9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны Плоской волной называется решение уравнения (9.1), которое при фиксированном 1 постоянно на каждой из плоскостей, параллельных некоторой заданной плоскости.
Поворотом в х-пространстве легко добиться того, чтобы рассматриваемое семейство плоскостей имело вид В пустом пространстве (при отсутствии токов и зарядов) потенциалы ~р и А подчиняются волновому уравнению вида (9.1) при и = 3 и а = с. Отсюда следует, что компоненты векторов Е и В удовлетворяют тому же уравнению. 9.2. Плоскнв, севтичвскнв н цнлнндтичвскив волны 199 хг — — соввФ. Тогда плоская волна — зто решение уравнения (9.1), зависящее лишь от 1 н от хь Но тогда оно является решением одномерного волнового уравнения 2 ни=а и„„, т.е. имеет вид и($, х) = ~(хг — аФ) + д(хг +а$), 1 2 — ии —— и,„+ -и„. а т (9.3) Умножим обе части на т и воспользуемся тем, что бэ ти„„+ 2и„= — (ти). д,2 где у, д — произвольные функции.
До поворота каждое из слагаемых имело, очевидно, вид у(т . х — аХ), где т б Й", ~т( = 1. Другой способ записи: у(й ° х — ~Л), где й — уже не единичный вектор. Такой способ применяется, чтобы сделать аргумент функции 7 безразмерной величиной, и чаще всего используется в физике и механике.
Если $ измеряется в секундах, а х в метрах, то ы имеет размерность 1/сек, а й — размерность 1/м Подставляя у'(й х — ~Л) в (9.1), мы видим, что ыг = аг(й~г нли а = —. Ясно, что скорость движения фронта плоской волны у (й х — ыс) (й)' (плоскости, где у имеет данное значение) равна а — уравнение такого фронта й х — оМ = сопвФ, где й и ы таковы, что юг — агапэ = О. Важный пример плоской волны — волна еды* б (обычно так пишут, подразумевая, что берется действительная или мнимая часть). В этом случае каждая фиксированная точка х соверпшет сннусоидвльные колебания с частотой ы, а при фиксированном 1 волна синусоидально зависит от й ° х, так что происходит синусоидвльное изменение по направлению вектора й со скоростью ~й(. Вектор й часто называют еолиоеыл вектором Соотношение ыг = а~~цг называется законом дисперсии для рассматриваемых волн (в физике встречаются и более общие законы дисперсии вида ы = ы(й)).
На самом деле много решений волнового уравнения можно получить суперпозицией плоских волн с различными значениями й. Однако мы непосредственно получим важнейшие типы таких волн. В дальнейшем будем считать, что и = 3 и изучим сферические волям — решения уравнения (9.1), зависящие лишь от 8 и от т, где т = ~х~. Итак, пусть и = и($, т), где т = (х~. Тогда уравнение (9.1) запишется в виде 39. ВОлнОВОе УРАВненне 2ОО Тогда получим, очевидно, 1 — (ти) «« — — (ти),, а2 (9.4) откуда та(З, т) =1(т — а»)+д(т+а») и и(с,т)= + Г(« — ае) д(» + ае) (9.5) Г ГЦх — хез~ — аз) Й Г д(~х — хезби+ а») — / Положим ° =! — * 1=/РЗТ* -*т, «= /*Г+л Ясно, что и(», х) не зависит от хз и зависит лишь от 3 и р.
Мы можем считать в (9.6), что хз = О. Тогда под знаками интегралов стоят четные функции от х и интеграл достаточно сосчитать от О до +со. Введем еще т в качестве переменной интегрирования вместо х, так что Йт = — Йх, Йх = -Йт = Йт. т х Гтз рз Это общий вид сферических волн. Волна т 'Г(т — а$) расходится от точки О 6 Жз, волна же т 'д(т+а»), наоборот, сходится к ней. В зяектродинамике обычно рассматривают лишь волну, расходящуюся от «источника», отбрасывая второе слагаемое в (9.5) вз физических соображеняй.
Функция Г(т) в этом случае характеризует свойства источника. Фронтом расходящейся сферической волны естественно считать сферу т — аз = сопя». Видно, что скорость движения фронта по-прежнему равна а. Перейдем к рассмотрению цилиндрических волк — решений уравнения (9.1), зависящих лишь от 3 и от расстояния до оси хз.
На самом деле цилиндрическая волна зависит лишь от $, хм хз (и даже только от 3 и р = ч'хз» + хзз), так что она является решением волнового уравнения (9.1) с в = 2. Однако удобно считать ее решением волнового уравнения с и = 3, но решением не зависящим от хз. Один из способов сконструировать цилиндрические волны таков: нужно Взять суперпозицию одинаковых сферических волн, расходящихся из Всех точек Осн х3 (нли сходящихся ко Всем точкам Оси х3) Пусть ез — единичный вектор, направленный по оси хз Тогда мы получим цилиндрическую волну, написав 9.3. ВОлнОВОе УРАВнение КАК ГАмильтОнОВА системА 201 Учитывая, что г меняется от р до со (при з Е (О, оо)) мы получаем н(8, р) =2/ Й +2( г ГУ( — 8) ГУ(+ м) 1 1~ -г Ф =2 ) У()к +2 Г УВЖ (97) 'Е+ ~):Р 1 ~т:ЕР:Р' р-ы Р+Ы Все зти выкладки имеют смысл, когда написанные интегралы сходятся.
Например, еслн у, д — непрерывные функции от С, то достаточно, чтобы они при С -+ +со вели себя так, что !Уа!ж <+ Г !ВВН <+ / !с! ' / К! где М > О. Можно показать, что формула (9.7) дает общий вид цнлнндрнческих волн. Опишем кратко другой способ получения цилиндрических волн.
Если искать цилиндрическую волну вида о($, р) = е' '((р), то для У(Р) получается уравнение Бесселя порядка 0: ~н+-~'+йзу =О, й = —. Р а Теперь можно взять суперпозицию таких волн (они называются емонохроматическнми»), интегрируя по ы. 9.3. Волковое уравнение как гвмнвьтонова система Выше при и = 1 мы уже обсуждаен возможность записи волнового уравнения как уравнения Лагранжа некоторой системы с бесконечным числом степеней свободы. Теперь сделаем кратко то же самое при п = 3, вводя соответствующие величины по аналогии с одномерным случаем. Кроме того, мы обсудим и возможность перехода к гамильтонову формализму.
Для простоты мы будем рассматривать лишь такие функции и($, х), которые являются гладкими функциями от $ со значениями в Я(11з), т. е. будем исследовать уравнение (9.1) в классе быстро убывающих по х функций. Введем терминологию, аналогичную терминологии, употребляемой в классической механике. 9.3. ВОлнОВОе УРАВнение кАК ГАмильтОнОВ А СИСТЕМА 203 Лаг аижиаиом или функцией Лагранжа назовем функцию Ь = К— -Ц на ТМ. Действием вдоль пути и(1, х), 1 с [8о, ~], н Лаграижиаиом или $ ] назовем интеграл вдоль этого пути Я = Я[и] = / Х,ас, где с=ц( Ао,ао,,~о=1]ьр,*у~*' — —;1~ .уж,оРь. ив Е9 Волновое уравнение (9.1) может быть записан д овви еаза=О,где оо — вариация (или дифференциал) функционала Я, которал беретва и п ти, т.е.
гладкая функция от $ Е [$о, 11] со значениями в 3(Ц), причем Ои(ФО, х) = = би(1м х) = О, то для такой вариации пути оЯ имеет внд и ц и=Ан~ + о д~,,=Оа(в)ю а — 'О., ю.ша= оЯ вЂ” — Я и+с и миз Фо еэ Ог где 0 = — э — а Ь, — двламбертиан. М Пи = О, Теперь ясно, что у словие БЯ = О равносильно уравнению т.е. волновому уравнению (9. ). 1~ б б Для перехода к гамильтонову формализ у м теперь надо было ы ввельиое асслоеиие Т'М.
Но в июнем случае на каждом касательном пространстве ТМ„, имеется скалярное и Т'М й ф мой К, что позволяет отождествить ио ваемое квадратичной формой, ч Гамильгаониаи илн энергия — это следующая функция я=ни., в =к+о=-,'1 ч ~ь+ —,1) .~ ~~ г. И1 и1 Если дан путь и(8, х), то Н((и, й)) вдоль этого пути является функцией времени. 204 29. Волновое уРАВнение Предложение 9 1 (закон сохранения энергии). Энергия носптоянна вдоль любого нутаи и($, х), удввлетаввряютцего уравнению Ои = О. Даквзательство. Вдоль пути и(т, х) имеем — = / ии тЬ + а / и ° и дх = ЙН ... 2 а ! 2 ' ййтЬ вЂ” аг тяи ° йдх = (Пи) ° итЬ = О, что и требовалось. Следствие 9.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
