Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 31
Текст из файла (страница 31)
НРЕ любых ~о, Ф Е 3(мге) срптествврет не более одного путна и(т, х), удввлетпввряннмегв уравнению Пи = О и начальным услввиан и(св, х) = 9т(х), и(Фв х) = бт(х). Доказательство. Достаточно проверить, что если ~р = ттт тн О, то и ег О. Но это сразу следует из того, что вдоль этого пути Н = сопгС = = О. Гамильтонова запись уравнения использует еще симнлентпическую форму нз Т'М. Симплектическая форме должна быть задана на каждом касательном пространстве к Т"М в фиксированной точке.
В нашем случае такое касательное пространство естественно отождествить с самим Т'М = ТМ, так что мы будем иметь Т(Т*М) = Т'М х Т'М = ТМ х ТМ. Элемент Т(Т'М) нужно записывать в виде четверки (и, о, би, бг), состоящей из функций, принадлежащих 3($Р). Сама симплектическая форма будет зависеть лишь от би, бг. Положим для краткости би = и, бо =,8. Тогда симплектическвя форма, по определению, имеет вид (это аналог употребляемой в классической механике 2-формы ~,'~, друд Л дат).
Полезно в качестве упражнения продумать, почему уравнение Пи = = О имеет гамильтонов вид при описанном введении симплектической структуры. Нам это не понадобится, и мы не будем этого делать. Нам 205 9.4. СФеРические ВОлны в ЗАдАчА КОшм важно, однако, что преобразование фазового потока гамильтоновой системы сохраняет свмплектическую форму (нли, квк говорят, является каноническим преобразованием). Сформулируем конкретный аналитический факт, из которого зто вытекает. Предложение 9.3.
Пустпь даян даа пртви и(1, х) и е($, х). РассмотЧим следряварю фрихиию отв 4 [и, е] = (ие — ие) дх. Тозда если Пи = Пе = О, шо [и, е] = сопяс. Доказательство. Имеем: — [и е] = / — (иб — ие) дх = Г д дт' /а вт (ий — ие) дх = а (и ° съе — съи ° е) дх = О, ва вв что и требоваяось. 9.4. Сферическая волна от мгновенной вспышвж и решение задачи Каши для трехмерного воввавого уравнения Вернемся к рассмотрению сферических волн и рассмотрим расходящуюся волну Г(з — ат) (9.8) Функция Г( — а$) характеризует интенсивность источника волны в момент времени 4.
Интересно взять волну, испускаемую при мгновенной вспьппке источника. Для этого положим Г(с) = Ю(с), Мы получим ВОЛНУ 6(г — ат) б(т — аз) (9.9) ат которой нужно етце придать точный смысл. Придать точный смыся волне (9.9) можно многими зквивалентвыми способами. Мы будем считать ее обобщенной функцией по х, зависящей от $ как от параметра. 19. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 206 Рассмотрим сначала волну (9с8) и возьмем в ней у = СА, где сь(с) б б Се (К ) ~А(~) )~ О, ссай) = 0 пРи ~(~ > 1(сй и сс ~ь(() (С~ = 1, так что УА(с) -+ 6(с) при й -+ +со. Теперь положим 6(Р— аС) = 1пп )А(т — аС), (9.10) еиррб(Р— аС) = (х: ф = аС). 1 1 Поскольку — = — бесконечно дифференцируема в окрестности т (х~ б(Р— аС) вирр 6(Р— аС) (при С ф О), то определена обобщенная функция причем б(Р - С) , СА(Р - аС) С О (9.11) А-(ас ас Докажем существование предела (9.10) при С > 0 и вычислим этот предел.
Пусть (р е З(К~), Запишем интеграл (СА(Р— ОС), (Сс) в полярных координатахс (с(" с а~=) с ((*( Юе е(с*= СА(Р— аС) (сс(х) (1з„(СР = 0 а(=с СА(Р— аС) (сс(х) (СО„(СР, о ар=с (9.12) где сБ„— элемент площади поверхности сферы радиуса Р. Ясно, что интеграл ) „у(х) (СО'„является бесконечно диффереицируемой функцией от Р при г > О. Поскольку 1(сп СА(С) = 6(С), то мы имеем, очевид- А-а со но: '~ 0 (" — 'с сс= / а(*(сс. (а(=а( если предел существует в Ас((кз) (или, что то же самое в с'(Кз), поскольку носители всех функций )А(Р— аС) лежат в фиксированном компакте). Ясно, что предел существует при С < 0 и равен нулю, так что 6(Р-аС) = О при С ( О.
Мы увидим, что предел существует и при С > О. Тогда этот предел является обобщенной функцией 6(Р— аС) б 8((КЕ), причем ясно, что 9.4. СФеРические ВОлны и ВАЛАчА Коши 207 и, таким образом, предея в (9.10) существует, причем бб) — б),т)= / т)*)бб„. (9.13) )а)б аб Можно перейти здесь к интегрированию по единичной сфере, запн- (б(т — а8), бр) = а~со / бр((ае)х') Ю). 1*0=1 Отсюда ( „и) =" / тб)'б)*')бб (9.14) )аб=б Полезно изучить зависимость от параметра 1. Из формулы (9.14) ясно, что Н 6(т а1) =0 ( ) б1 6(т — а1) 1 ~Х /6(т — а1) (-, >=-( >= бе 'д/ бс ~ 'д/ з — У)б б)*')бб б бб / обб)б б)*')Ю.
)916) 1 дх. )аб)=1 )аб)м1 Отсюда, в частности, видно, что 1пп— д 6(т-а1) = 4яаб(х). 1-++о д$ т .(9.17) (первый из интеграяов в (9.10) стремится 4яа9)(0), а второй к нулю). Наконец, ввиду соотношения (9.11) ясноб что пб(т а1) 0 1) 0 т (9.18) 1-+о т 6(т — а1) и мы по непрерывности положим ~б о — — О. Наконец, из (9.14) ясно что 6(т — а1) бесконечно дифференцируема по 1 при 1 ) 0 б т (в слабой топологии). Производные по 1 легко вычисапотся. Напри- мерб 208 59.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 6(г — ай) Таким образом, обобщеннля функция является при 6 > О решением волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям = О, — ~ = 4яа6(х). (9.19) с=о ' Я „г=о 6(г + ай) Аналогично строится сходящаяся волна, которая равна О при $ > О, а при 6 ( О является решением волнового уравнения и удовлетворяет начальным условиям 6(1+ай)~ О д 6(г+™~)~ 4 ~( ) (920) а=о 1 Я г а=о 6(г+ ай) 6(г — ай) (все зто ясно, например, из того, что получается из г г заменой 1 на — 6). Кроме того, можно делать сдвиг по цространственным и временным переменным и рассмотреть волны 6(~х — хе~ — а(й — Фе)) Щх — хе ! + а(1 — 1е)) !х — хе! также являющиеся решениями волнового уравнения с начальными условиями (при 1 = $е), полученными заменой 6(х) на 6(х — хе) в условиях (9.19) и (9.Ю).
Теперь мы хотим применить теорему о сохранении симплектической формы (предложение 9.3) к произвольному решению ц($, х) уравнения Пи = О и к волне 6(~х — хе~+ а(й — се)) е(1, х) = Мы будем считать, что и б С| ((О, 6е) х 1А-,".) и выполнено уравнение Пи = О (оператор П применяется в смысле обобщенных функций). Тогда форма (и, е) имеет смысл: ив где скобки ( °, ) означают значение обобщенной функции переменного х на основной функпии ($ является параметром), что имеет смысл при и б С1 (а не и 6 Сеа~) благодаря явным формулам (9.14), (9.16). Теперь нам необходимо соотношение (и, е] = сопей, которое справедливо при 209 9.4.
СФЯРические ВОлны и 3АдАчА Коши и Е Сз и доказывается аналогично предложению 9.3 (или может быть получено с помощью аппроксимации и и о гладкими финитными по х решениями волнового уравнения, что можно сдавать, например, с помощью операции усреднения). По существу нужно лишь проверить, что д — [и, и] = [и, и] + [и, 9], что видно, например, из явных формул (9.14), (9.15), задающих функционалы и и 6. Теперь мы выпишем явно соотношение (9.21) Положим и[, = ~р(х), — !, = ф(х). Тогда ди д /Ю([х — *о[+ а(1 — 1о)) [и, о]! = — 1, 9о(х)/ [ д1 ~1 [х — хо! ) [о=о 4([х — хо[+ а(1 — 1о)) [х — хо! / [о=о д /4([х — хо! — аЬ) 1 /4([х — хо! — айо) 1 д 1 а1о / дно а$о (а — ао!=айо !*- о!=аа Далее, в силу (9.20) имеем: [и, о][, = — 4ка(6(х — хо), и(со, х)) = — 4каи(со, хо).
Поэтому соотношение (9.21) записывается в виде: 1 Г д 1 — 4иа и(1о, хо) = — — ! од(х) о1о',и — — — 1 оо(х) о1о,м айо / дно айо !а-ао!=ам !а-ао!=аао Заменяя со, хо на $, х, мы получаем отсюда: и(4~ х) = з / оа(9) идой + з / ооа(9) учао (9.22) д 1 Г 1 до 4ха 1 4ха~6 )Р-а!=ай [Р-а)=ао где аЯ о — элемент площади сферы (д: [д — х! = ай). 210 99. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Мы получили формулу, дающую решение задачи Коши Ои = О, в~с о — — у(х), ~ю о — ф~).
(9.23) Формула (9.22) называется формрлоб Кирхгофа. Сделаем некоторые выводы из нее. 1. Решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от начальных данных при подходящем выборе топологий (например, если ф непрерывно меняется в С(жз), а у непрерывно меняется в С1(ИЕ), то и(1, х) непрерывно меняется в С(жз) при каждом с > О). 2. Значение п(С, х) решения в момент времени 1 в точке х зависит лишь от начальных данных вблизи сферы (р: ~у — х~ = ае). Предположим, что при 1 = 0 начальное состояние отлично от О лишь в некоторой малой окрестности одной точки хе.
Но тогда в момент времени 1 возмущение будет отлично от 0 лишь в малой окрестности сферы (х: ~х — хе~ = ас). Это значит, что возмущение распространяется со скоростью а и при этом через некоторое малое время совсем исчезает в каждой данной точке наблюдения. Таким образом, распространяющаяся волна имеет передний и задний фронты.
Резко жжзлизованное начальное состояние наблюдается позднее нз другой точки как явление, столь же резко локализованное. Это явление называется вренЕепом Гюбгеиса. Благодаря тому, что принцип Гюйгенса имеет место для волнового уравнения при и = 3, мы можем передавать информацию при помощи звука или света. Как мы увидим ниже, при и = 2 принцип Гюйгенса уже не имеет места (рэз начавшись, колебания никогда не кончаются — например, волны на воде).
Тем самым, жителям Флатландии (плоского мира) было бы очень трудно передавать информацию на расстояние. Мы еще не доказали существование решения задачи Коши (9.23). Но это проще всего сделать, взяв функцию и(с, х), построенную по формуле Кирхгофа (9.22), и проверив, что она является решением задачи (9.23). Выполнение уравнения (Зп = 0 можно вывести из того, что в формуле (9.22) написана сумма двух сверток у * —— д 1 б(Р— а1) и д14е г 1 б(Р— а1) фР— (свбртки берутся по переменной х Е мз, а 8 считается 4е параметром) функций у и ф с обобщенными функциями по х, гладко зависящими от 8 и удовлетворяющими в естественном смысле волновому уравнению (при 1 > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
