Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пример 10.1. Потпеннная равномерно заряженной суерьь Пусть à — сфера радиуса В в йз с центром в точке О. Пусть по сфере равномерно (с поверхностной плотностью оо) распределен заряд. Обозначим через Я полный заряд сферы, т.е. О = 4иВзпо. Найдем потенциал сферы и ее поле.
Обозначим искомый потенциал через и. Прежде всего, из соображений симметрии ясно, что и(х) = Ят), где т = ~х~, т.е. и зависит лишь от расстояния до центра сферы. Теперь воспользуемся тем, что вне Г потенциал и является гармонической функцией. Поскольку любая сферически симметричная гармоническая функция имеет вид С~ + —, то с А+ —, т< В; В У(т) = С+ —, т>В Здесь А, В, С, Ю вЂ” вещественные постоянные, которые нам необходимо определить. Прежде всего, В = О, поскольку функция и гармонична в окрестности нуля. Отсюда, в частности, и = сопеФ при )х) < В, откуда следует, что Е = — бтайи = 0 при )х) < В, т.е. внутри равномерно заряженной сферы поле отсутствует.
231 10.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ Для определениятрех оставшихся постоянных нужны ещетри условия на и. Их можно получить многими способами. Укажем простейшие из этих способов. 1'. Непрерывность и(х)на Г дает соотношение А=С+ —. Р В' х-. Из определения и(х) в виде интеграла ясно, что и(х) -+ О при )х) -> оо. Отсюда С = О. 3'. Рассмотрим интеграл, определяющий п(х), чуть более детально. Имеем: Г ооаи; Г 4Ъ и(х) =— 4гг / (х — у( 4я / (х( (х У ~ (л(=н Ы=и Ф! Ф = ~, 1 гг„(г+о(,1,)) = ~л!=п =+(г+о( —,,)) =,о (г~-о(-')) Отсюда ясно, что Р = —.
Я 4я Из 1о — 3 находим В = С = О Р = — А = —. Итак Ю 4гг' 4х11 — при (х( ( В, и(х) = 4™ — при )х) ) Н. 4ггг Это значит, что вне сферы потенциал такой же, как если бы весь заряд бьгл сосредоточен в центре. Таким образом, однородная сфера притягивает находящиеся вне ее заряды так, как если бы весь ее заряд был помещен в центре. Этот факт впервые был доказан Ньютоном, рассматривавшим гравитационные силы (Ньютон доказывая зту теорему иначе: с помощью непосредственного рассмотрения интеграла, дающего силу притяжения).
Укажем еще другие соображения, которые могли быть использованы для получения уравнений на А, С, Р. Теперь мы можем использовать их для проверки результата. 2зз 510. Свойства потвнциллов и их вычислвнив 4'. Скачок нормальной производной потенциала и на сфере должен быть равен — ао, т.е. — ~ = гго или Р = аоЯ = — Я 2 Ю 2 2 ~г=н 4кВз 4к' что согласуется с найденным значением Р. 5'.
Значение потенциала и(х) в центре сферы равно Г одяо Я А= — / = — ао 4хЯ 4в г В 4кВ 4кд' Ь!=н что согласуется с найденным значением А. Пользуясь полученным результатом, можно сразу найти притяжение (и потенциал) равномерно заряженного шара, суммируя потенпиалы (или притяжения) сферических слоев, составляющих шар. В частности, шар притягивает находящийся вне его заряд так, как если бы весь заряд шара был сосредоточен в его центре. Пример 10.3. Пошенциал двойного слоя сферы. Рассматривается сфера радиуса В, по которой равномерно распределены диполи с плотностью дипольного момента ао. Потенциал двойного слоя здесь — интеграл (10.5), где Г = 1х: х Е 11в, (х~ = В), а(у) = ао = сопвг.
Вычислим этот потенциал. Это можно сделать теми же средствами, что и в предыдущем примере, Однако можно сразу увидеть, что и(х) = 0 при ~х~ > Я, поскольку потенциал и(х) является пределом потенциалов простых слоев пары концентрических сфер, равномерно заряженных противоположными по знаку, но равными по величине зарядами. При выполнении предельного перехода эти сферы сближаются, а заряды растут обратно пропорционально расстоянию между сферами.
Уже до перехода к пределу потенциал этой пары сфер равен 0 вне наибольшей из них. Поэтому и(х) = 0 при )х( > В. Ясно также, что и(х) = сопвФ при ~х( < Я и из теоремы о скачке находим (если выбрана внешняя нормаль), что и(х) = оо при (х( < Я. Пример 10.3. Потенциал равномерно заряженной плоскости Определим и вычислим потенциал равномерно заряженной плоскости, с поверхностной плотностью зарядов оо. Пусть плоскость имеет в 31з уравнение хз — — О.
Заметим, что пользоваться определением потенциала как интеграла (10.4) уже нельзя (интеграл расходится). Поэтому необходимо вначале дать новое определение потенциала. Это можно сделать 233 10.4. Вычисление пОтЕнциАЛОВ несколькими способами. Мы укажем два нэ них. Первый состоит в том, чтобы сохранить основное уравнение (10.19) Ьи = -пзбг = -лоб(хз) и наибольшее возможное количество свойств симметрии потенциала (фиэики часто определяют величину из соображений симметрии, не задумываясь о том, чем заменить первоначальное определение). Если бы интеграл (10А) в нашем случае сходился, то было бы выполнено уравнение (10.19) и следующие свойства симметрии: а) и не меняется при сдвигах вдоль нашей плоскости, т.е. и = и(хз); б) и инвариантно при симметрии относительно выбранной плоскости, т.е.
и( — хз) = и(хз). Теперь попробуем вычислить функцию и(хз), пользуясь уравнением (10.19) и выписанными свойствами симметрии. При этом окажется, что с точностью до постоянной она однозначно определена. Поэтому можно ввести определение потенциала плоскости, состоящее в том, что это должна быть обобщенная функция и, удовлетворяющая (10.19), а) и б).
Иэ уравнения (10.19) ясно, что функция и(хз) линейна по хз отдельно при хз > 0 и при хз < О, т. е. 1 А+Вяз> хз >О; и(хз) = (С+.0х„х, <О. Уравнение (10.19) означает, кроме того, выполнение теоремы о скачках, т. е, непрерывность и на Г (отсюда А = С) и тот факт, что скачок ди производной — на Г равен — по (отсюда  — Р = -ао). Наконец, четдхз ность и(хз) (условие б)) дает еще раэ А = С и, кроме того, .0 = -В. ао Отсюда находим В = — В = — — и 2 и = и(хз) = А — — о)хз~.
2 Мы закончили вычисление и. Вспомним теперь, что напш основная цель — вычислить Е = = — бгои(и. Мы видим, что поле Е направлено всюду перпендикулярно плоскости и если считать положительным направление от плоскости, о'о то величина поля равна —. 2 Укажем аце два эквивалентных способа определения потенциала и. Во-первых, можно найти Е по закону Кулона (Е задается, как легко 234 110. Свойствл потвнцньлов и их Вычислвние сообразить, сходящимся интегралом!) и затем определить а из соотнощения Е = — игам и.
Поскольку свойства симметрии, очевидно, выполнены, а уравнение йч Е = аеб(хз) приводит к уравнению (10.19) на потенциал, мы можем применить тот же способ вычисления и. Тем самым, мы явно вычислили напряженность Е, задаваемую довольно сложным интегралом. Наконец, третий способ аккуратно определить и — перенормировка заряда в интеграле, задающем потенциал. Мы подробно комментировали этот способ при нахождении потенциала нити в $ 4. Поэтому теперь мы не будем на нем останавливаться, предоставляя читателю восполнить подробности в качестве упражнения.
Задачи 10-1. Вычислить потенциал равномерно заряженной окружности на плоскости. 10-3. Вычислить потенциал равномерно заряженного круга на плоскости. 10-3. Определить и вычислить потенциал равномерно заряженной поверхности прямого кругового цилиндра в м~. 10-4. Найти потенциал двойного слоя окружности в Кэ и поверхности прямого кругового цилиндра в йз с постоянной плотностью днполей.
10-5. Найти потенциал равномерно заряженной сферы в Е" при и ) > 3. 10-0. На расстоянии И от центра заземленной проводящей сферы радиуса В (В < И) помещен точечный заряд величины Я. Найти полный заряд, индуцировэнный на сфере.
10-7. В условиях предыдущей задачи найти индуцированное распределение заряда по поверхности сферы. 10-8. Тонкую эллиптическую проволоку зарядили, сообщив ей заряд Я. Как этот заряд распределится по проволоке? $11. Волновые фронты и коротковолновое приближение длл гиперболических уравнений 11.1. Характеристики, как поверхности разрывов Пусть й — область в К", Я вЂ” гладкая гиперповерхность в й, т.
е. замкнутое (в й) подмногообрезие коразмерности 1. Пусть в й дан линейный дифференциальный оператор (см. 2 1): А=а(х, Р) = ~ а„(х)Р", )а)<щ (11.1) где а (х) Е С (Й), а(х, с) — полный символ оператора А (равенство (11.1) является определением как А, так и а(х, Р)). Напомним, что а(х, ~) = ~ а (х)~, ил<ой (11.2) а (х,с')= ~ а (х)~ . (а~=пи (11.3) Напомним, что поверхность 5 называется харакюиеристикоб оператора А, если для любой точки х Е Я нормаль не к Я в точке х удовлетворяет условию а (х,н)=0. (11А) Пусть теперь дана функция и Е С (й ~ Я), бесконечно дифференцируемая вплоть до Я с каждой стороны (см.
определение в 10.1). Используя те же обозначения, что н в 2 10, мы локально имеем й = й+ О ЯО й и существуют также функции и ~ Е С (Й+), и Е С (Й ), что и~ — + =и, и~ — — и Отметим сразу же, что фактнчески может случиться, что никаких разрывов нет, т.е. и продолжается до функции из С (й). Будем говорить, что Я вЂ” поверхность разрыва первого рода для и, если, во-первых, и бесконечно дифференцируема вплоть до 5 с каждой стороны и, во-вторых, для любой точки хе е Я существует такой так что а(х, Р) получается из а(х, с), если все с~ написать справа (как и сделано в (11.2)) и затем заменить ~ на Р. Главный символ а (х, ~) оператора А имеет вид 236 б11. Волновые ФРОнты и НОРотковОлновое НРивлижение мультииндекс О, что д и имеет разрыв в точке хв, т.е.
не продолжается до функции на П, непрерывной в точке хв. Реально это означает, что (два+)(хв) ф (дви )(хо). Отметим, что тогда то же самое будет верно на Я и при х близких к хо (с тем же мультииндексом а). Теорема 11.1. Если Я вЂ” поверхностпь разрыва первого рода утунниии и с 1~~ (й), лвллтошебсл в й решением уравнения Аи = з, где т' е С (П), тпо Я вЂ” харантперистпина оператпора А. Доказательство. Учитывая локальный характер теоремы и инвариантность понятия характеристики относительно выбора криволинейных координат, мы можем считать, что поверхность Я имеет вид Я=(х:хсй, х„=О), (11.5) где х = (х', х„) = (хт, ..., х„т, х„). Поскольку нормаль к Я имеет вид (О, О, ..., 1), то характеристичность поверхности Я означает, что а" на Я обращается в О коэффициент при — в операторе Аг Мы будх'„" дем доказывать теорему от противного.
Пусть поверхность Я нехарактеристична в какой-нибудь точке. Это означает, что коэффициент дат при,„отличен от О в этой точке и, значит, вблизи нее. Но тогда Хтт можно считать, что он отличен от О всюду в П. Разделив на этот коэффициент уравнение Аи = 7', мы можем считать, что оно имеет вид (11.6) где ат(х, Р') — дифференциальный оператор в П,не содержащий производных по х„ (он имеет порядок < т, хотя зто нам сейчас и не важно). Пусть функция и бесконечно дифференцируема вплоть до Я с каждой стороны, й~ = П П (х: ~х„) О) и и+ б С' (й~) таковы, что и~ = и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
