Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(11.36) Мы видим, что нахождение волновых фронтов (поверхностей постоянной фазы) сводится в этом случае к решению уравнения Гамвлътона-Якоби. Предноложив, что для уравнения Гамильтона-Якоби (11.35) выполнены условия разрешимости задачи Коши (шшример, оператор А гиперболическвй относителъно какой-то переменной, обозначаемой через $), мы можем строить волновые фронты методами геометрической оптвки, исходя из вх расположения на началъном многообразии (в момент времени 8 = О в гиперболическом случае). называемому в геометрической оптике еравиеииеи эйиоиала и являющемуся уравнением Гамильтона- Якоби в случае, когда главный символ а (х, С) Вещественнозначен (только этот случай мы и будем рассматривать в дальнейшем).
Уравнение (11.35) обеспечинает выполнение уравневия Аи = О»в первом приближенви». Точнее, еслв и(х) имеет вид (11.33), то уравнение (11.35) равносильно условию 252 $11. Волновые ФРОнты и кОРОткОВОлнОВОе НРивлижение Теперь попробуем удовлетворить уравнению Аи = 0 более точно. Оказывается, что дяя этого надо искать решение и в виде и = е1"е1*) Ь(х, Л), (11.37) где ь(х, л) = ~~~ ь (х) л у=а (11.38) есть формальный ряд по степеням Л, называемый аиплитудоб. 'Хаким образом, и = н(х, Л) также является формальным рядом.
Придадим смысл выражению Ан. Легко видеть, что А(у(х)еы~<*1) = ем~1 )~Л"' ~ (А1~), !=о (11.39) где А1 — линейные дифференциальные операторы. применяя А к й-му члену в ряде (11.37), мы получим тп А(е'"еббЬ«(х)Л «) =еще~">~л ' «(А~ь«). 1=О (11.40) Через Аи будем обозначать ряд Ан = еыЩ*) ~~О (х)Л л=е (11.41) и им(х, Л) = е««е1*1~~ Ьу(х)Л '. у=о (11.42) полученный применением А к каждому члену ряда (11.37), задающего и, и последующей группировкой чшнов с одинаковыми степенями Л (членов, содержащих каждую степень Л, будет лишь конечное число, как зто видно из формулы (11.40)). Ряд и будем называть асниншотичесним решением или быстиро осчпллирующни решением, если Ан = 0 (т.е. ряд Ан обращается в 0 в том смысле, что все коэффициенты пу равны О). Пусть н — асимптотическое решение вида (11.37).
Рассмотрим конечный отрезок ряда, задающего и: 11.4. Угявнение эйконллл и углвнвния пвгвносл 253 Тогда им — уже настоящая функции от х, зависюцая от Л как от параметра. Ряд и — им начинается с Л ~ ~. Поэтому ряд А(и — им) начинается с Л ~ '+ . Но Аи = О, так что А(и — иж) = — Аиж откуда видно, что Аим = О(Л ~ '+ ). (11.43) Таким образом, если мы знаем асимптотическое решение и(х, Л), то его конечные отрезки им(х, Л) при больших Л являются «почтн решениями» с тем большей точностью, чем бояыпе Ж. Аналогичные соображения применвмы к неоднородному уравнению Аи = у' и к граничным задачам для этого уравнения.
Если граничная задача для уравнения Аи = у такова, что она имеет единственное решение, непрерывно зависящее от у (это часто получается, например, из энергетических оценок), то найдя такие им, что Аим = ~~д мало отличается от у (при больших значениях Л), мы увидим, что ввиду уравнения А(и — им) = у — ~~д приближенное решение им мало отличается от истинного решения и (мы считаем, что им удовлетворяет тем же граничным условиям, что и и).
Впрочем, «истинное решение» имеет не больший физический смысл, чем приближенное, так как в физике сами уравнения обычно являются приближенными. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о приближенных решениях, не вспоминая об «истинном». Отметим, впрочем, что приближенное решение хорошо удовлетворяет уравнению лишь при болыпих значениях Л (при «высоких частотах» или на «коротких волнах»). Как же находить асимптотические решения? Отметим сразу же, что можно считать, что Ье(х) ~ О (если Ьс(х) = О, то можно вынести Л за скобку и изменить нумерацию коэффициентов Ь ). Может случиться, что Ьо(х) ~ О, но Ьо~ гн О для некоторого открытого подмножества П С И".
В этом случае на П и на дополнении к У надо проводить рассмотрение отдельно. Учитывая эти замечания, будем считать,что Ье~ ф О ни для какого открытого У С П. Но тогда старший член в ряде Аи имеет вид Л а, (х, о,(х))Ьо(х)еыл® (11А4) и если мы хотим, чтобы он обратился в О, то необходимо потребовать выполнения уравнения Гамильтона-Якоби (11.35) на фазу о(х) (и если 254 611. Волновыв фгонты и коготковолыовов пгиелижвыив о (х) = ~~с (АсЬл), (11.45) у = О, 1, 2, ..., с+о=у о<с< о=о с,г,...
где Ас — линейные дифференциальные операторы, зависящие от о и определяемые формулой (11.39). Суммирование в (11.45) идет по тем 1 Е (О, 1, ..., пс) и целым Й ~~ О, для югторык 1+ Й = у и потому сумма конечна. При у = О она состоит вз одного слагаемого АоЬо = = а„,(х, Ял(х)) Ьо(х). Отсюда ясно, что Ао = О в силу выбора фазы 8(х). Поэтому реально в (11.45) суммироваыие по 1 от 1 до пс. Име- юс = АсЬо, ог = АсЬс + Агйо, оз = АсЬг+АгЬс + АзЬо, Отсюда условия ег = О, .у = О, 1, 2, ...
дают, помимо уже вы- писанного уравнения Гамильтона-Якоби, линейные дифференциаль- ные уравнения на функции 61. Эти уравнения можыо записать в ви- де Асбо = О АЬ =-АЬ, АсЬг = — АгЬс — АзЬо т.е. все они имеют вид АсЬ- = Д, (11.46) где уу выражается через Ьо, ..., 6, с. Уравнения (11АО) нзэывщотсл уравысииллси перекоса Из них видыо, что важную роль играет оператор Ас. зто уравнение выполнено, то старший член (11.44) обращается в О независимо от поведения Ьо(х)).
Итак, пусть 8(х) — решение уравнения Гамильтона — Якоби. Теперь попробуем подобрать 61(х) так, чтобы и следующие члены обратились в О. Для этого нужыо более подробно выписать коэффициенты оу в ряде для Аы (см. формулу (11.41)). Пользуясь введенными вьппе обозначениями, имеем, очевидно: 11.4. УРАВНЕНИЕ ЗЙКОНАЛА И УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 255 Вычислим оператор А1. Мы считаем, что фаза Я(х) удовлетворяет уравнению зйконела (11.35). Тогда оператор А1 определяетсл из формулы: АЦ(х)е'"Я(*)) = е'"Я(*) Л ' (А11) + О (Л з) .
(11.47) Прямое вычисление, использующее формулу Лейбница, показывает, что при (а~ = РП ра(у(х) е'"я~*)) = Ая<*) +Л -~~~,', (В,(х))" "ЩДх)) е' (*)+ 1=1 +Л вЂ” А.(х) Р(х) 'А'(*) + О(Л '), где 11~ — — 4 —, е — мультииндекс, в котором на у-м месте стоит 1, .1д дх ' а остальные — нули. Поскольку а~ '~= — С д41 то вычисляя Афх)еыя(') ), мы получим: А(Л )еыЩ*)) = е = Ле' 1 ~~~) — ~ (Ц1(х)) + с(х) 1(х))~е'Ая~*) + 0 (Л'" ), 3 откуда видно, что А1 = ~ — ~4 я (,.0 +с(х) = 4 'Х,~+с(х), 3 (11.48) да х=— д дет дх где Ь~ — дифференцирование вдоль векторного поля (11.49) Каков геометрический смысл поля Р'(х)? Напишем гамильтонову систему с гамильтонианом а„,(х, С): 256 211.
ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ И КОРОТКОВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИŠ—.— 51(хЯ) + с(х(М)) Ьу(хЯ) = ЯхЯ), (11.50) т.е. являются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями вдоль лучей. Тем самым, значение ЬЕ (х(1)) вдоль луча х(С) однозначно определяется значением 51(х(0)). Пример 11.5. Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение в неоднородной среде 2 —. — с~(х) 21п = О, х с из, (11.51) где с(х) — гладкая положительная функция от х.
Будем по общему рецепту искать быстро осциллирующее решение вида п(С, х, Л) = е'л™ ~~ Ьу(1, х) Л 2. 1«О (11. 52) Главный символ соответствующего волнового оператора имеет вид н(8, х, т, ~) = — т + с2(х)~ф~, так что для фазы Я(1, х) имеем следующее уравнение эйконела: ( — ) -с2(х)( — ) =О. Уравнения а карактеристик: 1= -2т, х = 2с2(х)~, т=О, С = -2с(х)($2 11тг д« .
— — т~, 1 = — 2теп + 1е (и — параметр вдоль бихарактеристип2). Поскольку нас интересуют лишь нулевые бихарактеристики, и будем брать бикарактеристики, лежащие на графике градиента Я, т.е. такие бихарактеристики (х(1), ((1)), для которых С(1) = Я, (х(1)) . Но тогда 1' (х(1) ) — касательныи вектор к лучу х(г), соответствующему такой бихарактеристике. Поэтому уравнения переноса (11.46) имеют вид 11.4. УРАВнение зйконАЛА и УРАВнениЯ пеРенОсА 257 нужно также считать, что т~ = с~(х)фз нли т = ~с(хЩ. Отсюда при ф ф 0 находим: 4х х 2с (х)5 Й 1 — 2то Щ В частности, скорость движения луча по величине равна с(х). Отсюда легко следует, что с(х) будет скоростью движения волнового фронта в каждой точке.
Из первого и последнего уравнений бихарактеристик находим также 44 — 2с(х) (5)зся(х) Ж -2то Итак, х(1) и с(1) удовлетворяют системе уравнений ( ) о = -1;Н 1со(х)~, 45 со(х) — = тНо —. Ж с(х) (11.54) Теперь подставляя найденное из первого уравнения выражение для ~ Но 4х с (х) <Й (11.55) во второе уравнение, мы получаем (11.55) Итак, мы показали, что всякий луч х(Ф) удовлетворяет дифференциальному уравнению 2-го порядка (11.56). Это нелинейное дифференциальное уравнение (точнее система нз п таких уравнений). Оно может быть Эта система гамнльтонова с гамнльтонианом Н(х, с) = ~с(хЩ В частности, вдоль траекторий с(хЩ = Но = сопоФ. Выбор постоянной Но (определяемой начальными условиями) не повлияет на расположение лучей х(1), поскольку вместе с (х(1), С(1)) решением системы (11.53) является, очевидно (х(1), ЛС(8)) при произвольном Л ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
