Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 25
Текст из файла (страница 25)
И По и — 21(и + 1г)] = — [н+ 1», и+ 1я]], = [и, я]+ [я, и] = 2Ке[и, я]. Стационарность дает: Ве[и, я] = 0 для любого я е Н'(й). По мы можем заменить л на 1л, откуда [и, я] = 0 при любом з е Н1(й), что дает условие (7.20). Теорема 7.10 доказана. В заключение укажем без доказательства правильное описание гладкости решений по информации о функции ~р в граничной задаче (7.19) 168 57. Пгосттзнствл Соволевл и злдзчз Дитихле для области Й с гладкой границей. Мы уже говорили, что если и Е е Н'(Й), г е Е»., з ) 1, топ[ „ 6 Н' 17з(дй). Оказывается,что верно и обратное: если ~р Е Н' '7з(дй), где з 6 Е»., з ) 1, то существует и единственно решение и 6 Н'(й) задачи (7.19) (см.,например, Лионе и Мадженес [34)).
Аналогично, если ~р е С» '(дй), где тп е Ет, 7 е (О, 1), то существует (и единственно) решение и е С"'» "(Й). Объединяя описанные свойства гладкости решений задач (7.15) и (7.19), легко получить, что отображение и + (Ьи, и[„) продолжается до изоморфизма Нз(й) -т Н' ~(й) Ю Н~ ~7~(дй), з Е Е+, з ) 2, а также до изоморфизма С + +'(й) -т С +т(й) Ю С'а+~» '(дй), т 6 Е+, у 6 (О, 1). Аналогичные теоремы могут быть доказаны и для общих эллиптических уравнений с общими граничными условиями, удовлетворящими алгебраическому условию, называемому условием эллиптичности (или коэрцитивности, накрывания, Шапиро — Лопатинского). Изложение общей теории эллиптических граничных задач можно найти, например, у Лионса, Мадженеса [34) или Хермандера [55-2].
7-1. Решить методом Фурье следующую задачу Дирихле: найти такую функцию и = и(х, у), что Ьи = О в круге т < а, где т = »lхз + у~, [ . = (*' - 9') [„. 7-2. Решить методом Фурье задачу Дирихле в круге т < а для произвольной граничной функции Ду), где у — полярный угол, т. е.
найти такую функцию и = и(х, у), что Ьи = О в круге т < а, и[ = 7(~р). Обосновать решение для гладкой функции Ду). Получить в этом случае формулу Пуассона: 1 / (а — т )7(а)й~ и(т, у) =— з' 2я у а — 2ат сов(х — а) + т о ЗАДАЧИ 7-3. Используя положительность ядра Пуассона р — г К(г, у, о) = Я 2я(р — 2аг сор(у — о) + г ] доказать принцип максимума для решений задачи Дирихле, полученных в предыдущей задаче. Вывести из принципа максимума разрешимость задачи Дирихле для любой непрерывной функции Д~р).
7-4. Найти функцию и = и(х, у), для которой 1зи = хз — уз при т ( а и и~„= О. 7-5. В ииьце 0 < а ( т ( Ь < +оо найти такую функцию и = и(х, у), что 1хи = О, и), = 1, — ~„ь = саяр ~р. Т-6. Найти методом Фурье решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике 0 < х < а, 0 < у < Ь.
Граничные усровия имеют Вид и~ = фр(у)~ и~ = ри(у) (О (~ у < Ь); и~ = фр(х), и)„р = ф,(х) (О < х < а); причем ~рр(0) = фр(0), рр(Ь) = ф1(0), 1о~(0) = 4ъ(а), ~р~(Ь) = бч(а) (условие непрерывности граничной функции), Описать схему решения общей задачи и затем решить задачу для следующего частного случая: ур(у) = Ау(Ь вЂ” у), фр(х) = Врш у)(у) =рч(х) = О. 7-7, В полуплоскости ((х, у), у ) О) решить задачу Д р уравнения Лапласа в классе ограниченных функций. Для этого, воспользовавшись преобразованием Фурье по х, получить для убывающих по х решений формулу где у(х) = и(х, 0). Затем исследовать общий случай ограниченной непрерывной функции у. 7-8. Выяснить, при каких и, р и а (а > -и) функция и(х) = (х(а принадлежит пространству Н'(В~), где В~ — шар радиуса 1 с центром в точке 0 Е Й". 7-9.
Принадлежит ли функция и(х):— 1, х с ( — 1, 1), пространству Й~(( 1, 1))7 170 58. Совотввиныв зилчвния и совстввниыв ьхикпии $8. Собственные значении и собственпые функции оператора Лапласа 8.1. Симметрические и свмосопрюкенвые операторы в гильбертовам пространстве Пусть Я вЂ” гильбертово пространство. Напомним, что лииебиььи опсрашором в Я называется совокупность двух объектов: а) линейного многообразия Р(А) С Я (т. е.
линейного подпростраиства, вообще говоря, незамкнутого); б) линейного отображения А: Р(А) -+ Я. В этом случае пишут, что задан линейный оператор А: Я -+ Я хотя, строго говоря, никакого отображения Я -+ Н не имеется, так как оператор А не определен, вообще говоря, на всем пространстве Я. Здесь Р(А) называется областью определения оператора А.
Линейные операторы можно складывать и умножать. А именно, если Аг, Аз — два линейных оператора в Н, то мы полагаем Р(Аг + Аз) = = Р(Аг) П Р(Аз) и (Аг + Аз)х = Агх+ Азх, х б Р(А, + Аз). Далее, по определению, Р(АгАз) = (х: х Е Р(Аз), Азх б Р(Аг)) и при этом (АгАз)'х = Аг(Азх) при х с Р(АгАз).
Положим КегА = (х: х с Р(А), Ах = 0), Ьп А = (х: х = Ар; р с Р(А)). Если КегА = О, то определен обраглиыб оператор А г. А именно, по определению в этом случае Р(А ') = 1ш А и А гх = р, если х = Ар. Если есть два таких линейных оператора А, В в Я, что Р(А) С Р(В) и Ах = Вх при х б Р(А), то пишут, что А С В и говорят, что оператор В является расширсииаи оператора А. Оператор А называется свммеглричесиии, если (Ах, р) = (х, Ар), х, р б Р(А). (8.1) В дальнейшем мы введем также понятие самосопряженного оператора (для неограниченных операторов симметричность и самосопряженность — это не одно и то же!).
Пусть А — такой линейный оператор, что Р(А) плотно в Н. Тогда определен сопрлхсеииыб операвюр А'. Это делается с помощью тождества (8.2) (Ах, р) = (х, А'р). 8.1. Симметгичвокие н ОАмосОпРяженные ОпеРАтОРы 171 Точнее, пусть .0(А') состоит из таких у Е Н, что существует такой вектор г Е Н,что (Ах, у) = (х, з), х Е Р(А). Поскольку Р(А) плотно в Н, то вектор з однозначно определен и мы полагаем А'у = ж Если оператор А имеет плотную область определения и сямметричен, то ясно, что А С А'.
Оператор А называется самосопрвхсеаиым, если А* = А (здесь подразумевается, что А имеет плотную область определения и Р(А') = = Р(А)). Ясно, что всякий самосопряженный оператор является симметрическим. Обратное, вообще говоря, неверно. Назовем зрафиком оператора А множество Сл = ((х, Ах), х Е Р(А)) С Н х Н. Оператор называется замкнутым, если его график замкнут в Н х Н, т.е. Ез того, что х, Е .0(А), х„-+ х и Ах„-+ у (сходимость понимается по норме пространства Н), вытекает, что х Е Р(А) и Ах = у. Самосопряженный оператор всегда замкнут.
Более общий факт: оператор А' всегда замкнут. В самом деле, если у„Е Р(А'), у„-ь у, А'у„-+ г, то переходя к пределу в тождестве (Ах, у„) = (х, А*у„), х Е Р(А), мы получим (Ах, у) = (х, г), х Е .0(А), откуда у Е Р(А') и А*у = ж Если Р(А) — замкнутое подпространство в Н (в частности, если Р(А) = Н, т. е.
А всюду определен), то по теореме о замкнутом графике замкнутость оператора А равносильна его ограниченности. В частности, самосопряженный всюду определенный оператор А обязательно ограничен. Укажем один способ конструкции самосопряженных операторов. Предлажение 8.1. Пусть А — самосопрлжспиыб опсрвтпор в Н и КегА = О. Тозда оператор А 1 самосопрлхсси. Доказательство.
Будем через Е~ обозначать ортогональное дополнение к подмножеству Е С Н, а именно Е~ =(у: у Е Н, (х, у) =О длялюбого хЕ Е1. 172 58. Совстввнныв знлчвния и совстввнные еьнкцни Если дан линейный оператор А и Р(А) плотно в Я, то из определения А* легко следует, что КетА' = (1шА)-". (8.3) В самом деле, тождество (Ах, у) = О для любого х Е Р(А) в силу (8.2) в точности означает, что у с Р(А') и А'у = О. Отметим, что условие Еь = О равносильно тому, что линейная оболочка множества Е плотна в Я. Поэтому, если оператор А самосопряжен и Кет А = О, то из (8.3) вытекает, что Р(А ') = (тп А плотно в Н.
Таким образом, операторы А т и (А т)' определены. Остается проверить, что (А ')' = А т. Условие у е Р((А т)') и (А т)'у = л равносильно тому, что (А 'х, у) = (х, л), х б 1ш А. (8.4) Полагая х = Ат, т й Р(А), мы видют, что (8.4) ргвносильно условию (У, у) =(Ау, г), У'е Р(А), что означает включение г Е Р(А*) и равенство А'г = у.
Но поскольку А' = А, то это то же самое, что включение г б Р(А) и равенство Аг = у, которое можно также переписать в виде г = А ту. Мы доказали, что условие у е Р((А т)') с равенством (А т)'у = г равносильны включению у Е Р((А ")) с равенством А 'у = г. Таким образом, (А т)' = А т, что и требовалось. И Важность самосопряженных операторов видна из спектральной теоремы. Прежде чем ее сформулировать, приведем пример самосопряженного оператора. Пусть М вЂ” пространство с мерой дц, т.е.
множество, в котором выделена и-алгебра его подмножеств и на ней задана счетно-аддитивнзя мера (со значениями в [О, +ос]). Построим обычным образом пространство Ь~(М, дц), состоящее нз классов измеримых функций на М, имеющих интегрируемый квадрат модуля. Тогда Ьг(М, др) — гильбертово пространство. Пусть а(тп) — вещественнозначнгя измеримая и почти везде конечная функция на М.
Оператор А умножения на а(тп) определяется по формуле Ау(тп) = а(тп) 1(тп), где У'Е Р(А) = (У: У' Е Ь'(М, др), аУ С Вл(М, др)). Следствие 8.2. Пустпь дан ограниченный всюду определенныб симметпричесний оператор В и пусть Кет В = О. Тогда оператпор А = В самосопрлзсен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
