Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Теперь рассмотрим линейный оператор А: Е1 -+ Ею переводящий и в и~о . Проверим замкнутость графика оператора А. Надо доказать, что если и„-+ и в Е1 и Ан„— > е в Ез, то е = Аи, т.е. е = и~о . Но иэ условия и„-1 е в Е1 вытекает, что и -~ и слабо в 'Э'(Й1), откуда ясно, что и„~, -1 н~о слабо в 'Э'(Йз). Но мы знаем, с ДРУгой стоРоны, что и„~о -1 и в Ез (и, значит, слабо в Э'(Йз)).
Поскольку одна и та же последовательность не может иметь два разных слабых предела в Э'(Йз), то е = н~о, что и требовалось. 140 $6. УРАВнение теплОНРОВОднОСТН По теореме о замкнутом графике оператор А ограничен. Но зто означает, что ()н!)» < С» ~и(х)(~Ь, й1 откуда ввиду произвольности Ь следуют оценки (6.29). Применяя оче- видное неравенство ~е(х) ! <(х < С Вир !Н(х) /, лей й1 мы получаем и оценки (6.30).
Предложение 6.6 может быть доказано и без использования теоремы о замквутом графике с помоШью выражения решения через фундаментальное решение: см. доказательство того, что всякое решение и 6 ЯУ(й) уравнения Р(11) н = 0 на самом деле принадлежит С '. Уточняя проведенные там рассуждения, легко получить, что если и„-» н в З'(й) и Р(Р) и„= О, то н„~ и в топологии С'*'(й). В частности, отсюда следует, что из сходимости в 1 ~ (Й~ ) вытекает равномерная сходимость любых производных на йз.
Предложение 6.6 позволяет, например, получить информацию о росте или убывании производных решения уравнения Р(,0) и = О, когда аналогичная информация известна о самом решении. Приведем пример, важный для дальнейшего. Пример 6.1. Пусть решение и(1, х) уравнения теплопроводности (6.1) определено в полосе (8, х: $ 6 (а, Ь), х 6 И") и удовлетворяет там оценке ~е(1, х)~ < Сел'*~, (6.31) гдер> О,С > О,И6 К.
Тогдаесливзятьчутьменьшуюполосу(8, х: $ 6 6 (а', Ь'), х 6 Ж"), где а < а' < Ь' < Ь, то в ней выполнены аналогичные оценки производных /д и(1, х) ~ < С е (6.32) где постоянная р — та же, что и в (6.31), а С,„зависят от (я+1)-мерного мультииндекса а и от выбора а' и Ь'.
Для доказательства надо использовать предложение 6.6, взяв Й»=(Ф,х:$6(О,Ь), ~х(<1), Йз = (Ф, х: » 6 (О, Ь )1 1х$ < -~ 6.7. ЕДинс'Гвенность РешениЯ зАДАчи Коши 141 и применив оценку (6.30) к решению уравнения теплопроводности и„($, х) = и($, х+р), зависящему от р 6 Ж", как от параметра. В результате получим при ФЕ (а', Ь'): )д н(х, х)) ( С„епр )и(1, х')~ ( С,'„зир ех~* ~' < Схе~~*~, )х'-х)<1 )х'-х/<1 1Е(хд) что и требовалось, 6.7. Принцип Хольмгрена.
Единственность решения задачи Коши див уравнения теплпнроводности Принцип Хольмгрена состоит, если говорить совсем грубо, в том, что единственность решения задачи Коши для уравненвя — и = А(1)и й (6.33) вытекает из существования решения хсопряженнойэ задачи Коши в сто- рону убывания времеви: — „", = -А'(1)е, 1С се И=66 (6.34) Здесь и = и(1), о = е(1) — вектор-функции от $ со значениями в вектор- ных пространствах Е и Е', между которыми задано спаривание (, ° ), т.е. билинейная форма ( °, ° ): Е х Е' -+ С (Ап,е)=(Н,А'е), и6Е, о6Е'.
(6.35) 4н 66х Чтобы определить производные — и —, нужны какие-то топологии 166 6Ы ' в Е и Е', но мы сейчас не будем придавать им точный смысл, а вместо Это спаривание должно быть невырождено в том смысле, что если и Е Е н(п, 6Ь) = Одлялюбого6Ь 6 Е', тон = О. Далее, А(1) и А'(1) — зто зависящие от 1 операторы в Е и Е' соответственно, транспонированные друг к другу в том смысле, что зб.
УРАВненне теплОНРОВОДнОс'Гн 142 „— (и(Ф), о(1)) = ( — „(), о(1)) + (и(1), — ~~) = = (А(1)и(Ф), о(1)) — (и(1), А'(1)о(1)) = О, 0 <1 < йо (636) Это главная выкладка, нуждающаясв в последующем оправдании и объясняющая появление сопряженной задачи Коши. Из нее получаем (и(1), о(1)) = соввФ = (и(1о), ф = (и(0), о(0)) = О. (6.37) (предельные переходы при 1 -ь со и при 1 -ь 0 тоже надо оправдывать). Если теперь задача (6.34) разрешима (и решение обладает свойствами, позволяющими провести все предшествующие рассуждения) для такого класса начальных данных ф, что из равенства (и, ф) = 0 при всех ф вытекает, что и = О, то ясно, что и(1о) = О, но тогда и(1) — = 0 ввиду произвольности 1о.
Теперь, вооружившись абстрактной схемой принципа Хольмгрена, доквлсем единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема 6.1 (теорема А. И. Тихонова). Пусть функция и(1, х) непрерывна в волосе (О, Т) х И", удовлетворяет в открытой полосе (О, Т) х Ж" уравнению 1аенлонроводцостн (6.1), и оценке ~и(1, х) ( < Сед*~ . (6.38) Тогда если и(0, х) = О, х 6 И", тон(Ф, х) Рд 0 во всей рассматриваемой полосе. Доказательство. Рассмотрим сопряженную задачу Коши = — а Ь,о(1, х), 1 < 4о, < до(Ф, х) г дс о~,, =6(х), этого опишем схему доказательства единственности решения задачи Коши для уравнения (6.33), которая должна служить идейной основой такого доказательства в конкретной ситуации.
Таким образом, мы откладываем придание точного смысла последующим рассуждениям до рассмотрения конкретной ситуации. Итак, пусть и(1) — решение уравнения (6.33), определенное при 0 < 1 < Т и удовлетворяющее нулевому начальному условию и~, = О. Мы хотим доказать, что и($) = О. Для этого рассмотрим при каком-нибудь 1о 6 (О, Т) решение о(1) сопряженной задачи Коши (6.34). Имеем: 143 6.Т. Единственность Решения зАдАчи КОши где вР е 'Э(Й").
Выпишем решение этой задачи с помощью интеграла Пуассона: Р(4, х) = Г(1е — 8, х — Н)4(И))р. Ввиду финитности функции вд зто решение при $ < 1е — е, где е > О, удовлетворяет оценке 1Р(в, х)1 < С, епр ехр(- ~ < С, ° ехр( — ), РевиРРЕ ' 4а (ве — в) а Йа— где с > О, 1х~ > В > О и В достаточно велико. Такал же оценка верна и для любой производной д Р(1, х), где а— (и + 1)-мерный мультииндекс. Пусть 1е > О выбрано столь малым, что — > Ь, т.е. Ье < —. Тогда интеграл 4а~$е 4а Ь (и(4, х), е(1, х)) = и(4, х)Р(1, х)в(х имеет смысл и равномерно сходится при О < 4 < 8е — е.
Как показывает имер 6.1, интегралы, полученные заменой и или Р на их производные пример по 1нли х также равномерно сходятся при О < е е — , д <в<в — е г ечисло е > О произвольно. Поэтому функция 1в (М) = (и($, х), Р(1, х)) непрерывна при Ф б [О, се), обращается в О при 4 = О и при Ф 6 (О, 1е) имеет производную ф~(~) /' д(п($, х) Р(1, х)) дв (в" '+ в") в = ~/[(в.
Р— (в. )) '*. =Л-' "-') -' Последний интеграл равен нулю, так как его можно по формуле Грина записать в виде 1пп ~(вз,и)е-п(Ь Р)1в(8= йп ~ ~ — Р— и — ~в(Я=О, н-к,/ 1 1Р1<н 1Р1=Я ск у '"и '~ эк — — экспоненциально стремятся к О при 1х~ — > +оо, ба а Таким образом, т(4) = сопес = О. Теперь проверим, что /" и(1е, х) ув(х) «1х = 1пп п(1, х) е(1, х) в(х зб. УРАВнение теплОпРОВОДнОоти 144 (правая часть на самом деле равна 1пп с(1) = 0). Имеем: с-+с,-о и(Р,, х) о(1, х)бх = и(4, х) Г(со — 1, х — у) Яу) бус3х = l Г(1о — С, х — у)н(с, х)пх ф(у)пу — + и(го у)р(у)оу с-+м-о д поскольку рассуждения, проводившиеся нами при рассмотрении инте- грала Пуассона, показывают, что 1пп / Г(со — 4, х — у) и(1, х) бх = н(1о, у) с-+со-о у равномерно на любом компакте в Ж",.
Итак, ясно, что н(со, х) Р(х) бх = О, 0 » (Ьо < Б, Ф б Э(Й"), 6.8. Схема репшипя первой и второй краевых задач методом Фурье Попробуем решить первую краевую задачу с нулевыми граничными условиями — = а~1зн, 4 > О, х б Й, дс и~ еоо = О, 1 > О, х б дй, н~, = 1о(х), х б Й, методом Фурье. Если функция н(4, х) = ф(1) о(х) удовлетворяет первым двум условиям в (6.39), то мы получаем Р (1) 11о(х) озб(1) «(х) = — = — Л, о~ =О, (6.40) если б < —. Позтому и(1, х) = 0 при 0 < 1 < б. 4а Ь Но теперь мы можем перейти к заданию начальных данных при Ь = Ю и доказать, что и(1,х) = 0 уже при 0 < 1 < 26 и т.д.
В итоге получаем: н(1, х) Ре 0 во всей полосе, что и требовалось. ° Итак, в классе функций, удовлетворяющих оценке (6.38), решение задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно. 6.8. Решение пеРВОЙ и ВТОРОЙ КРАБВых зАПАч 145 откуда для е(х) получается задача на собственные значения для опера тора — Ь с нулевыми граничными условиями на дй: -ЬВ=ЛО, хай, н) = О. (6.41) и(1, х) = ~ сье ""~ 'еь(х). (6.42) Коэффициенты сь подбираются кз начального условия и~ = ср(х) н представляют собой коэффициенты разложения у(х) по ортогональной системе (ол(х))„ ,. Аналогично решается 2-я краевая задача — = а Ьи, 1 > О, х 6 дй, дв да — -О, Ф>0, хедй, п), =у(х), хб й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
