Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Здесь полезно вначале заметить, что имеет место Лемма 6.6 (принцип максимума). Пусть Функиив и(», х) эадаетсв интегралом Пуассона (6.16). Тоеда (6.19) ш» у(х) < и(», х) < епр ~р(х). вей При этом если одно иэ неравенств здесь обуви»летов в равенство при каких-нибудь» > 0 и х 6 И", то и = соне». Докезательство. Имеем: и(», х) = Г(», х — у) р(у) Йу < епр ьа(х) / Г(», х — у)»»у = епр ~р(х). вей вей" Аналогично доказывается второе неравенство в (6.19). Поскольку Г(», х) > 0 прн всех» > О, х 6 Кн, то равенство возможно лишь если 1а(х) = соне» почти всюду, а тогда и = сопя», что и требовалось. ° Закончим доказательство соотноше»ия (6.18).
Пустыр — финитная непрерывная функцил, ~рь, й = 1, 2, ..., — такая последовательность функций из Се~(И"), что епр ~1с(х) — 1аь(х)~ -~ 0 при й -~ +оо (повей" следовательность уь можно построить, например, с помощью операции зб. Углвнвнне тнплопвоводностн 1З4 топологии 3(Щ) — см. точно такое же рассуждение в доказательстве предложения 5. 2) . Поскольку с(1, ) -+ ф(.) при 1-++О в топологии 3(п"), то 1пп и(Ф, х)ф(х)пх = (~р, ф), аэто назначает, что 1пп и($, ) = р() в 3'(Ж").
$-++О Выше мы уже отмечали, что 1пп Г(1, х) = б(х) в 3'(И"), Это соот- ~-++о ношение часто записывается более коротко в виде Г~, = б(х) (6.20) где постоянные См Ь1 зависят от р и В. Оказывается, что ршпение, удовлетворяющее такой оценке, единственно — мы докажем это ниже. В то же время оказывается, что оценка (и(Ф, х)~ < Се~1*~ ни при каком е > 0 не обеспечивает единственность. Единственность решения обеспечивает естественность применения интеграла Пуассона для нахожденвя разумного решения (как правило, быстро растущие решения не имеют физического смысла). Например, имеется единственность решения в классе ограниченных функций. Благодаря принципу максимума (лемма 6.3) задача Коши корректна в и является частным случаем только что доказанного утверждения.
Наконец, пусть оценка (6.17) выполнена для любого Ь > 0 (с постоянной С > О, зависящей от Ь). Тогда интеграл Пуассона н, следовательно, решение задачи Коши определены при любом 1 > О. Так будет, например, если ~~р(х) ~ < С ехр(Ь(х1~ ') при некотором е > О, и, в частности, если функция ~р(х) ограничена.
Если ~р 6 ЕР(В" ) при каком-нибудь р 6 [1, оо), то интеграл Пуассона сходится в силу неравенства Гельдера. В этом случае )йп и(1, ) = ~р(.) ~-н е по норме 1Р(НЯ) (докззательство аналогично рассуждениям, доказывающим сходимость усреднений по ХР-норме — см. и. 4.2). Легко проверить, что если ~р(х) удовлетворяет оценке (6.17), то для функции и(1, х), задаваемой интегралом Пуассона, верна аналогичная оценка ~и(1, х) ~ < С1е '1*1, 0 < 1 < В < — з, (6.21) 4а Ь 6.5.
Фундлмкнтлльнок гкшкник. Фогмьлл Дюлмкля 135 классе ограниченных функций (если у равномерно мало меняется, то равномерно мало меняется и и(Ф, х)), В заключение заметим, что тот факт, что Г(1, х) > 0 при всех 8 > О, х 6 Ж", означает, что имеется ьбесконечная скорость распространения теплел (ведь начальное возмущение сосредоточено в нуле!). Однако функция Г(1, х) быстро убывает при ~х~ -+ +со, что практически равносильно конечной скорости распространения тепла.
6.5. Фундаментальное решение дия оператора теплапроводиости. Формула Дюамеля Теорема 6.4. Фундаментальным решением оператора — — а Ь, е 2 де Й"+1 яеллетсл локально интегрируемая функция Я(8, х) = д(Е)Г(1, х) = (2аь/нг) "д(8) ехр(- — г), (6.22) где д(1) — фунниня Хееисадда (д(1) = 1 при 1 > О, д(1) = 0 при 1 < <0). Доказателъство. Приведем вначале эвристическое обоснование того, что Я(ь, х) — фундаментальное решение. Мы видели, что Г(1, х)— непрерывная функция от 8 со значениями в 3'(Й") при 1 > О. Функция Я(с, х) = д(ь) Г(ь', х) не является непрерывной функцией от 1 со значениями в $'Щ ), а имеет при 1 = 0 скачок, равный б(х). Поэтому после применения оператора — мы получим б(1) ® б(х) + 1(г, х), где у(ь', х) в д аналогичном смысле непрерывна по $.
Но тогда ( — — а~Ь,) Я(1, х) = б(1) З б(х) = б(ь', х), д ехр(--~ < С т при т > О поскольку непрерывное по $ слагаемое должно исчезнуть ввиду того, что ( — — а ьь,,) Я(1, х) = 0 при )С! + (х~ ~ О. Это важное рассуждение гд позволяет писать фундаментальное решение во всех случаях, когда мы умеем писать решение задачи Коши в виде интеграла типа интеграла Пуассона Однако возиться с его обоснованием мы не будем, поскольку проще непосредственно проверить, что Я($, х) — фундаментальное решение.
Начнем с проверки локальной интегрируемости Я(ь', х). Легко видеть, что Я(1, х) Е Соь(ж"+' 1 0), так что нужно лишь проверить локальную интегрируемость в окрестности начала координат. Поскольку $6. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТН 136 для любого а > О, то ,а ~Е($ х)~ ( С„Е "1я ( — ) = С, 8 О1з+~(х) НО (6.23) ~, (х/ Пустьа с (- — 1 — ~1 такчто--+а > — 1и — 2а > — и. Из(6.23) мыви- 2), 2 дим, что функция Е(Ф, х) мажорируется интегрируемой в окрестности точки 0 е Й"+~ функцией, так что она сама локально интегрируема. Пусть теперь 1(Е, х) с СОО'(И"+~). Имеем: (( — — а Ь,)Е($, х), Щ х)) = = (Е(Е, х), (- — — а Ь, )1($, х)) = = ° /яи, )( — — *л)ур,*~ма. д (6.24) е-++О де д Перебросим в интеграле производную — и лапласиан Ь обратно на Е(Е, х).
Поскольку ( — — О~Ь,) Е(Е, х) = 0 при 1 > О, то в результате д получится лишь граничный интеграл по плоскости Е = е, возникающий д от переброски — интегрированием по частям: а Е(е, х) у(е, х) пх = 1'(е, х) У(е, х) пх. / Последний интеграл представляет собой и,(е, 0), где и,(1, х) — интеграл Пуассона с начальной функцией у,(х) = 1(е, х). Рассмотрим еще интеграл Пуассона п(1, х) с начальной функцией у(х) = 1(0, х). По принципу максимума /и(е, 0) — и,(е, 0) / < впр!у,(х) — ср(х) ! = Епр~Де, х) — 1(0, х)~.
Отсюда ясно, что и(е, 0) — и,(е, 0) -+ 0 при е -+ +О. Но, как мы уже видели, и(е, 0) -Ф ф(0) = ~(0, 0) при е -+ +О. 6.5. Фьндлмвнтлльнов евшвннв. Фогмулл ДюАмелЯ 137 Отсюда 1пп е,(с, 0) = у(0, 0), что дает тождество о-о+Е оь ~о(о,*>( — —,'ь,)ло,*>ооа =со,о), О означающее в силу (6.24) справедливость утверждении теоремы. ° Следствие 6.5.
Если и(с, х) Е Тоо(й), где й — область е Н"+1, е ( — — а Ь )и = О, шо и 6 С (й). д Таким образом, оператор теплопроводности представляет собой пример гипозллиптического, но не эллиптического оператора. Отметим, что уравнение теплопроводностн имеет бесконечно дифференцируемые, но неаналитические решения (например, с(с, х) в окрестности точки (О, хе), где хе 6 Й" 10). Знание фундаментального решения позволяет решать неоднородное уравнение.
Например, решение в($, х) задачи — — а оьо,и = Щ х), $ > О, х Е Н" о (6.25) о~, = ~о(х) х Е ий, имеег вид и($, х) = Е($ — т, х — у) у(т, у) йтйу+ Г(1, х — у) ор(у) ду = т)е с(т Г(с — т, х — у)у(т, у) ду+ Г(с, х — у) р(у) с(у (626) =/ е н при надлежащих предположениях относительно 1(8, х) и од(х), которые мы не будем точно формулировать. Интересен первый интеграл в (6.26). Его внутренний интеграл с(т, С, х) = Г(с — т, х — у)у(т, у)ф представляет собой решение задачи Коши ~ — — а озос) е(т, 1, х) = О, с ) т, х 6 Ж Е тд (6.27) с~ = у(т, х).
еб. УРАВнение теплОНРОВОДнОсти 1ЗВ Представление решения задачи Коши (6.25) с нулевой начальной нк ей в в е 6.6. Оценка производных решения гипозлетггического уравнения Напомним, что оператор Р(Р) с постоянными коэффициентами в Кп называется гипозллиптическим, если он имеет фундаментальное решение Я(х) 6 Эр(йп) П С (йп ~ 0) или, что равносильно, всякое решение и 6 Й'(й) уравнения Р(Р)и = 0 на самом деле принадлежит Ст(й). Примерами гипоэллиптических операторов являются операторы Лапласа и теплопроводности. Предложение 6.6. Пусть йы йг — две такие ограниченные обвести в Нп, что йг С й1 (черта здесь означает замыкание в Нь), Р(Р) — гипозллиптический оператор в й".
'Говда на рераениях и 6 6 Сьь(й1) уравненил Р(Р) и = 0 выполнены опенки ° р /Р НЕ) < о. ~/ Р))~ лепр (6.29) где а — произвольный мультииндекс, постоянные Са не зависят отп выбора и. В частности, верны опенки гпр ~д~и(х)! ~ (Са впр ~и(х)! (6.30) *Нор ьеор (здесь С,', — другие постаанные, такхсе не зависящие от и).
фу пи ер ид и(г, х) = е(т, г, х)дт, (6.28) о где е(т, с, х) — решение задачи Коши (6.27) (уже для однородного уравнения!), называется формулой Дюамелл. Аналогичное представление возможно для любых эволюционных уравнений. В частности, точно д такое же представление годится для операторов вида — — А(х, Р,), где А(х, Р ') — линейный дифференциальный оператор по х с переменными коэффициентами; разумеется агйрь в (6.27) надо в этом случае заменить на А(х, Р,).
Формальная проверка очень проста: при применении оператора — — А(х, Р,) к обеим частям (6.28), мы получим справа д ь е(г, г, х) + ( ~ — — А(х, Рь)) о(т, г, х) Йт = е(г, г, х) = Дг, х), Г д о что и требовалось. 6.6. ОценкА пРОизводных Решения 139 Доказательство. Мы используем теорему о замкнутом графике в следующей формулировке: если Еы Ез — два банаховых пространства и линейный оператор А: Е1 -1 Ез всюду определен и имеет замкнутый график (т.е.
множество пар (х, Ах), х 6 Еы замкнуто в Е, х Ез или, иными словами, если х„-1 х и Ах„— > у, то Ах = у), то этот оператор непрерывен (или, что то же самое, ограничен). В качестве Е1 возьмем подпространство в 1.'(Й1) состоящее из решений уравнения Р(Р) и = О (оператор применяется в смысле 'Э'(Й1)). Важно, что Е1 — это замкнутое подпространство в Ь'(Й1). В самом деле, если и„-~ н в Ь'(Й~) и Р(Р) и„= О, то и„-1 и слабо в 'Э'(Й1), т.е. (и„, ~р) -1 (и, ~р) для любой функции у б 'э(Й1).
но тогда (и„, Р(Э)д) -+ (а, Р(Э)у) для любой функции у 6 'Э(Й,), поскольку в этом случае Р(Ю)~р б 'Э(Й1). Последнее предельное соотношение означает, что Р(Р) и„-+ Р(Э) и слабо в З'(Й1 ), откуда Р(Э) и = О, что и требовалось. Таким образом, Е1 — банахово пространство. Отметим, что на самом деле Е1 с С'х'(Й1) в силу гипозллиптичности оператора Р(Э). В качестве Ез возьмем банахово пространство таких и Е С (Йз), что Р(Э) и = О и все производные функции н до порядка й включительно (здесь й б Е+ любое) ограничены.
На Е2 введем обычную норму '6ибл = ~~~ епр ~д и(х)~. ~ АФЕО2 Если и„-+ и по норме 6 ° ЙА и Р(Э)н„= О, то ясно, что Р(Э)н = О (в З'(Йз)) и, следовательно, и б С (Йз). Поэтому Ез — банахово пространство (оно является замкнутым подпространством в банаховом пространстве функций н е С"(Йз), имею~цях ограниченные производные до порядка я включительно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
