Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики (2-е изд., 2003) (1095475), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Теорема Лиувилля Теорема 5.19. Пусть оператор р(Р) имеет символ р(С), обращающийся в О (нри С ч К") лищь в точке С = О. Тогда если и Е 3'(Н"), р(Р)и = О, то и(х) — многочлен но переменному х. В частности, если р(Р)и = О, где и(х) — ограниченная измеримая функция на И", то и = сопвФ. 5.9, Твогвмл Ликвилля 119 Замечание. а) Условие и й $~(К") выполнено, например, если и й й С(К") и ~и(х)~ < С(1+~х)) при каких-нибудь С и )9. б) Если р(со) = 0 при некотором со ~ О, то уравнение р(Р)и = 0 имеет ограниченное решение ец'*, не являющееся постоянным.
Поэтому условие «(С) ~ 0 при С ф 0 необходимо для справедливости теоремы. в) Если р(5) ф 0 при всех с й Ка, то иэ условия р(Р)и = 0 при и й 5'(К") вытекает, как будет видно из доказательства теоремы, что и = О. Доказательство теоремы 5.19. Применяя преобразование Фурье, получаем: «(б) й(б) = О. (5.56) Поскольку р(5) ф 0 при 5 ф О, то ясно, что йЯ) сосредоточена в точке О. Подробнее: если ~р(С) й 11(К" ~0), то — й 'Р(К" ~0), а отсюда следует, Со(4) «(4) (й(~), «(5)) = (й(~), «(5) — ) = (р(~) й(б), — ) = О.
Итак, епррй(с) С (0). Поэтому й(х) = ~~~ а б~ )(С), а й С (а((~ Но отсюда и(Х) = ~ СаХ ю Са ~~ (а~(~ что и требовалось. Пример. Если и(х) — гармоническая функция всюду на К" и ~и(х)~ < М, то и = сопзС (это утверждение часто называют саеоремой Ли«вал ся длл га«моничесних фрннций). Если и(х) гармонична на М К" и ~и(х)) < С(1+ )х~), то и(х) — многочлен. Те же утверждения верны для решений уравнения Ь и = О. Для гармонических функций можно доказать более точное утверждение: если и гармонячна и ограничена с одной стороны, т. е.
и(х) > ) — С, х й Ка, то и = сопяС (см., например, Петровский (43)). Это утверждение неверно уже для уравнения Ь~и = О, которому удовлетворяет неотрицательный многочлен и(х) = )х~~. 25. СВеРткА и ЕРеоВРАЗОВАние ФРРье 120 ~ Приведем один пример применения теоремы Лиувилля. Пусть при в > 3 нам дана функция и(х), определенная и гармоническая во внешности некоторого шара, т.е.
при (х) > В, причем и(х) -+ О при (х) -+ +ос. Мы хотим описать поведение р(х) при )х) -+ +ос более детально. Для зтого можно поступить, например, следующим образом. Выберем функцию У(х) Е С~(й") так, что У(х) = О при )х~ < В+ 1, Х(х) = 1 при )х~ > В+ 2. Теперь рассмотрим функцию О(х) Е С '(К"), равную У(х)В(х) пРи )х) > В иб пРи )х) < В.Ясно, что ААО(х) = 7(х) Е Се (К").
Проверим, что (5.57) где 5„— стандартное фундаментальное решение оператора Лапласа. Ясно, что (с„А у)(х) -> О при )х~ -+ со, а по предположению то же самое верно для и(х) (и, значит, для Й(х), поскольку Й(х) = и(х) при ф > В + 2). Кроме того, Ь(Е„А,7) = ААЕ„А у = у, так что Ь(й — б„е у) = О всюду на 11А. Но по теореме Лиувияля отсюда получается, что б — с„* у' = О, что и требовалось. Формула (5.57) может быть записана в виде и(х) = с (х — у)у(у)йу, )х) > В+2.
(5.58) )Р((Е+2 Из явного вида б„вытекает теперь, например, что 3и(х)~ < — „2, )х) > В+2. ~х~П-2 ' (5.59) Приведенное рассуждение применимо и в более общих ситуациях. Для гармонических функций же более детальную информацию о поведении и(х) при )х~ -Р оо можно получить с помощью так назывземого преобразования Кельвпяа Это преобразование переводит функцню и(х) в функцию е(х) = ~х)2 "и — 2 и сохраняет гармоничность фун- 'А И~/ кции (при п = 2 зто замена переменной, индуцированная инверсией).
Если и(х) определена при болыпнх ~х), то е(х) определена в проколотой окрестности точки О,т.е. в й ~ О, где й — окрестность точки О. Если. н(х) -+ О при )х) -+ +со, томы видим, что е(х) ° )х)" 2 -+ О при )х) -+ О, а тогда по теореме об устранимой особенности е(х) гармонична всюду в й. Заметим, что преобразование Кельвина обратно самому себе (или, ЗАДАЧИ 121 как говорят, является инволюцией), т.е. наоборот можно выразить и через с той же формулой и(д) = [д[~ "с ~ ~ ~.
Разлагая о(х) в ряд [2 Тейлора при х = О, мы видим, что и(д) в окрестности бесконечности имеет сходящееся разложение в ряд вида (д) = [д[ "~~ с„ а В частности, ясно, что при [д[ -+ +со п(д) = со[у[' "+ 0[[д[~ " ') Задачи 5-1. Найти преобразования Фурье следующих обобщенных Функций: 1 а) —. х+ 10' б) 6(г — ге), т = [х[, х Е К2; 21в(ге[я[) в), з Е г) я»д(я), Й Е х+. 5-2. Найти обратные преобразования Фурье следующих обобщенных функций: а) —, С Е К", в > 3; [б[' б) 2 зсЕК»; [2[2+ $2 ' в, С Е Кз. 1 ) [б[' — »'+»О' ~ 5-3.
Пользуясь результатом задачи 5-2б) найти фундаментальное решение для оператора -22 + Й2. 5-4, Будем говорить, что свертка 1' » д двух обобщенных Функций ~, д Е З(Кв) определена, если длялюбой последовательностид» Е 21(К"), д»(х) = 1 при [х[ < й, й = 1, 2, ..., предел У » д = йп У * (1с»д) существует в 21'(К") и не зависит от выбора последовательности Х». Доказать, что если 1, д Е 11'(К) и носители у и д лежат на полуоси [О, +ос), то свертками»д определена, причем операции сложения и свертки превращаот множество З'(К+) обобщенных функций с носителем на [О, +со) в ассоциативное коммутативное кольцо с единицей.
$5. СвеР'ГКА и пРВОВРАЗОВАние ФУРье 122 5-5. Доказать, что 6ОО(х) А Дх) = Х(А1(х) при Х Е З'(К'). 5-6. Определим для Х е Х ~„(К+ ) операцию интегрирования формулой 11 = ) Я)пс. Доказать что 11 = 1 Ад и операция 1 по непрерывности продолжается на З'(К+ ). 5-Т.
Пользуясь ассоциативностью свертки, доказать, что 1 Х=,,х ~д(х) «Х, т=1,2,..., при 1 е Э'(К+). 5-В, Положим х" = д(х)х", КеЛ > — 1, так что хл Е Е' (Кь) и, в частности, х+ е З'(К+) Определим дробный интеграл 1" формулой Л-1 ХАХ *~ .Х, К,Л>О. Г(Л) Доказать, что Х" 1" = ХЛ+", Ке Л > О, Ке р > О. 5-9. Определим при всех Л Е С дробный интеграл 1" формулой ХЛХ Р) ХА+А У 6 2у~(Ж ) где й Е Е+ таково, что КеЛ + й > О.
Доказать, что это определение корректно (т.е. результат не зависит от выбора Й е Ее). Доказать, что 1"Х" = Хл+" при любых Л, 1л. Доказать, что Хе Х = Х и Х АХ = х<А1 при й с Ее для любой обобщенной функции Х Е Э'(К+). 91. Урввныне тенлопроводностн 6.1. Физическии смысл уравнения теплопроводности Уравнение теплопроводности имеет вид — =а Ьи ди дг (6.1) Я = сгп(иг — иг) (коэффициент с называетсл удельной теплоемкостью).
2. Количество тепла Щ, передающееся через площадку площади Я ди эа время Ы пропорционально Я, Ы и скорости — роста температуры и по направлению нормали а к этой площадке (закон где коэффициент й > О называется коэффициентом теплопроводности и, как и удельная теплоемкость, характеризует свойства среды; знак минус означает, что тепло передается по направлению, противоположному направлению роста температуры.
Следует иметь в виду, что обе гипотезы являются лишь приближениями, как и вытекающее из ннх уравнение (6.1). Как мы увидим где и = и(1, х), 1 Е й, х 6 и", Ь вЂ” оператор Лапласа по х, а > О. Это уравнение являетсл примером уравнения аараболическоео типа.
Этому уравнению подчиняется температура однородной и изотропной среды (в этом случае и(г, х) — температура среды в точке х в момент времени 1). Точно также этому уравнению удовлетворяет плотность диффундирующего вещества„например, плотность броуновских частиц в случае, когда частиц достаточно много, так что мы можем говорить об их плотности и об изменении этой плотности как о непрерывном процессе.
Поэтому уравнение 16.1) часто называют также рравиеииел ди4Фузии. Вывод уравнения теплопроводности для температуры и(1, х) основан на следующих естественных физических гвпстезах: 1. Количество тепла Я, необходимое для нагрева куска рассматриваемого вещества массы ти от температуры иг до температуры иг, пропорционально пг и иг — иг. 124 $6. УРАвнвнив твплопговодности ниже, из уравнения (6.1) следует, например, что скорость распространения тепла бесконечна, что физически абсурдно.
Однако в большинстве техническвх задач сделанные предположения и уравнение (6.1) в достаточной степени оправданы. Более точная модель теплопередачи должна была бы учитывать молекулярную структуру вещества, что приводит к задачам статистической физики, неизмеримо более сложным, чем решение модельного уравнения (6.1). Отметим, впрочем, что независимо от физического смысла уравнение (6.1) и аналогичные уравнения играют важную роль в математике. Они используются, например, для изучения эллиптических уравнений. Приведем вывод уравнения теплопроводности (при и = 3).
Используем закон сохранения энергии (в данном случае тепла) в некотором объеме П С Из. Будем считать, что П имеет гладкую границу дй. Скорость изменения тепловой энергии вещества в объеме П равна, очевидно, 4О 4 — = — 1 срисй~, 4С а/ где р — объемная плотность вещества, <Л~ — элемент объема в Жз. Считая с = солей, р = сопзС, мы получим Пусть теперь Р— скорость истечения тепла через границу дй. Ясно, что Р= — / й — ИЯ ди / д где и -ч внешняя нормаль к дй, оо' — элемент плошади дй.
В правой части здесь написан поток вектора -йбгаби через границу дй. По формуле Гаусса- Остроградского имеем: Р = — ЙЬ(йбгж1и) Л~, или при й = сопв1 Р = -й Лил 6.2. Пгоствйшив кгяевыв задачи 125 Закон сохраневия тепловой энергии при отсутствии источвиков тепла означает, что 11 Подставляя иайденные вылив выражения для — и Р, получаем оЦ ос что ввиду произвольности й лайт уравнение (6Л), в котором а й ср 6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплипроводности и уршшевия Лапласа Физическая интерпретация ураввевия теплопроводности подсказывает естественные постановки краевых задач для этого уравнения.
Простейшей является задача Коши: — =а Ьи, с>0, х62с"; Е 2 =у( ), *е К'. (6.2) (6.3) Физический смысл ее состоит в определевии температуры среды во все моменты времени 1 > О, если ювестно распределение температур при С = О. Часто нам бывает незачем следить за температурой всего пространстве„а важно лвшь то, что происходит в области Й с й'. Тогда на грзвзше дй нужно задать дополнительные усвовия: иапример, температуру или поток тепла. Так мы приходим к двум краевым задачам, а именно: Первая краевая задача: — =аЬи, $>0, хай; ди з и~, = у(х), х 6 Й; и~ о=а(с,х), хбдй, 1>0. Вторая краевав задача получается заменой последнего ю условий (6.3) ва условие — =д(1,х), хбдй, с>0, (6.4) где и озиачает внешнюю нормаль к границе дй.
эб. УРАВиеиие теплопеоводности 126 При стационарных (не зависящих от времени) граничных условиях часто интересно бывает узнать, что происходит с температурой при 1 -~ +со. Предположим, что при 1 ~ +со существует предел и(х) решения и(1, х) уравнения теплопроводности (или, как говорят, происходит встабилизацияв решения и(в, х)). Тогда естественно ожидать, что и(х) удовлетворяет уравнению Лапласа Ьи(х) = О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
